Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Lần 3) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Lần 3) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Nga Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN 3 CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH MÔN: TOÁN 7 ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi: 23 tháng 02 năm 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điểm). 1) Thực hiện phép tính: 1 2 1 5 1 4 1 212.35 46.92 510.73 255.492 a) A b) B 6 3 2 5 3 7 6 35 41 22.3 84.35 125.7 59.143 1 1 1 1 c) C ( 1).( 1).( 1) ( 1) 22 32 42 20232 a b c a + b b + c c + a 2. Cho = = . Tính giá trị biểu thức : P = + + . b + c c + a a + b c a b Câu II. (4,0 điểm). 1. Tìm x,y,z thỏa mãn: 4x 3y;4y 3z và 2x y z 14 2. Tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố 3. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x + y)4 = 40x + 41. Câu III. (4,0 điểm). a c a.c 2022a 2 2023c 2 1. Cho . Chứng minh rằng b d b.d 2022b 2 2023d 2 2. Cho A x100 100x 99 100x 98 100x 97 100x 2122 . Tính A khi x=99 Câu IV. (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. a) Chứng minh: MD = ME. b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I, đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm của DK và SC vuông góc với AK. c) Chứng minh: MD + ME AD + AE. Câu V. (2,0 điểm). 1 1 1 1 2023 Cho A = 1+ + + + + , chứng minh rằng: A> . 2 3 4 22023 - 1 2 HẾT
2. PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI: Toán 7 Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Câu Phần Nội dung Điểm I a 1 2 1 5 1 4 1 A 4đ 2 5 3 7 6 35 41 1đ 1 2 1 5 1 4 1 2 5 3 7 6 35 41 1 1 1 2 5 4 1 ( ) ( ) 2 3 6 5 7 35 41 0.25 3 2 1 14 25 4 1 ( ) ( ) 6 6 6 35 35 35 41 0.25 1 1 1 1 1 2 2 41 41 41 0.25 1 Vậy A 2 41 0.25 b 212.35 46.92 510.73 255.492 b. B 1đ 2 6 4 5 3 9 3 2 .3 8 .3 125.7 5 .14 212.35 (22 )6.(32 )2 510.73 (52 )5.(72 )2 212.35 212.34 510.73 510.74 0.25 2 6 3 4 5 3 3 9 3 212.36 212.35 59.73 59.23.73 2 .3 (2 ) .3 (5 ).7 5 .(2.7) 212.34 (3 1) 510.73 (1 7) 0.25 212.35 (3 1) 59.73 (1 23 ) 212.34.2 510.73 ( 6) 1 10 1 20 7 0.25 212.35.4 59.73.9 6 3 6 6 2 7 0.25 Vậy B= 2 c 1 1 1 1 C ( 1).( 1).( 1) ( 1) 1đ 22 32 42 20232 1 22 1 32 1 42 1 20232 3 9 15 4092528 . . . . 22 32 42 20232 22 32 42 20232 0.25 3 9 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 . . . . 22 32 42 20232 22 32 42 20232 0.25 1.3 2.4 3.5 2022.2024 1.3.2.4.3.5 2022.2024 . . 22 32 42 20232 22.32.42 20232 0.25 (1.2.3.4.5 2022)(3.4.5 99.2024) 1.2024 1012 (2.3.4.5 99.2023)(2.3.4.5 2023) 2023.2 2023 0.25 1012 Vậy C 2023 d + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 1đ 0.25 Khi đó P ( 1) ( 1) ( 1) 3 a b c a + b + c 1 + Nếu a b c 0 thì : = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 0.25 Suy ra b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c
3. a + b b + c c + a 2c 2a 2b 0.25 Khi đó P = + + = + + = 6 c a b c a b 0.25 Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. II a Ta có: 4đ x y x y y z y z 1,5đ 4x 3y ;4y 3z 3 4 9 12 3 4 12 16 x y z 0.5 9 12 16 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: 0.5 x y z 2x 2x y z 14 1 9 12 16 18 18 12 16 14 0.25 Suy ra: x 9;y 12;z 16 Vậy x 9;y 12;z 16 0.25 b a, Giả sử với p 2 là số nguyên tố => p 2 42 là hợp số=> p 2 l 0.25 +Với p 3 là số nguyên tố p 6 93 là hợp số=> p 3 l 1,5đ 0.25 +Với p 5 là số nguyên tố => p 2 7, p 6 11, p 8 13, p 14 19 đều là số nguyên tố 0.25 +Với p 5 p 5k 1, p 5k 2, p 5k 3, p 5k 4, k N -Nếu p 5k 1 p 14 5k 1 14 5k 155 và lớn hơn 5 p 14 là hợp số p 5k 1 l -Nếu p 5k 2 p 8 5k 105 và lớn hơn 5 p 8 là hợp số 0.25 p 5k 1 l -Nếu p 5k 3 p 2 5k 55 và lớn hơn 5 p 2là hợp số p 5k 3 l -Nếu p 5k 4 p 6 5k 4 6 5k 105 và lớn hơn 5 p 6 là hợp số p 5k 4 l 0.25 0.25 Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm c Do x, y nguyên dương nên 40x < 41x, 41 41y. Khi đó, ta có: 1đ (x + y)4 = 40x + 41 < 41x + 41y < 41x + 41y = 41(x + y) (x + y)3 < 41 < 64 = 43 x + y < 4 (1) 0.25 Do x nguyên dương nên 40x + 41 ≥ 40.1 + 41 = 81 (x + y)4 ≥ 81 x + y ≥ 3 (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra x + y = 3 mà x, y N* nên (x; y) = (1; 2), (2; 1) 0.25 Qua thử lại được x = 1, y = 2. 0.25 2 2 III a a c a c a c a.c a 2 c 2 Ta có . 4đ 2đ 2 2 1 b d b d b d b.d b d a.c 2022a 2 2023c 2 2022a 2 2023c 2 0,75 b.d 2022b 2 2023d 2 2022b 2 2023d 2 a.c 2022a 2 2023c 2 Vậy 0,25 b.d 2022b 2 2023d 2 b Thay x=99 vào biểu thức A ta được:
4. 2đ A 99100 100.9999 100.9998 100.9997 100.99 2122 0,25 99100 (99 1).9999 (99 1).9998 (99 1).9997 (99 1).99 2122 0,5 99100 99100 9999 9999 9998 9998 9997 992 99 99 2023 0,5 2023 Vậy Khi x=99 thì A 2023 0,5 0,25 IV 6đ Vẽ hình ghi GT,KL 0.5 đ A D E H Q C I M P B K F S a -Ta có: A· MD A· ME 900 (MD  ME) và A· ME C· ME 900 (AM  1,5đ BC) A· MD C· ME 0,5 -c/m: B· AM A· CM 450 ; AM = MC 0,25 -Xét AMD và CME có: 0,5 AM = CM ; A· MD C· ME ; M· AD A· CM 450 AMD = CME (g.c.g) MD = ME 0.25 b Hạ DP, KQ vuông góc với BC tại P và Q 2đ 0,25 Chứng minh: I là trung điểm của DK Chứng minh: BDP = CKQ suy ra DP = KQ 0,25 Chứng minh: PID = QIK suy ra DI = IK, hay I là trung điểm của DK 0,5 Chứng minh: SC  AK Chứng minh: ABS = ACS suy ra A· BS A· CS (1) 0,25 · · Chứng minh: SBD = SCK suy ra SBD SCK (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: A· CS S· CK 0,25 Mà A· CS S· CK 1800 A· CS 900 SC  AK 0,25 c Gọi giao điểm của DM với SC là F. chứng minh MDB= MFC MD=MS M là trung điểm của DF 2đ 0,5 Từ F kẻ FH  AB tại H. Chứng minh FAH= AFC FH = AC 0,5
5. Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC. 0,5 Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,5 Mặt khác DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE - Dấu “=” khi MD  AB. V Ta có : 2đ æ ö æ ö æ ö 1 ç1 1÷ ç1 1 1 1÷ ç 1 1 ÷ 1 0.25 A = 1+ + ç + ÷+ ç + + + ÷+ + ç 2022 + + 2023 ÷- 2023 2 èç3 4ø÷ èç5 6 7 8ø÷ èç2 + 1 2 ÷ø 2 æ ö æ ö æ ö 1 1 ç 1 1 ÷ ç 1 1 1 1 ÷ ç 1 1 ÷- A> 1+ + ç 2 + 2 ÷+ ç 3 + 3 + 3 + 3 ÷+ + ç 2022 + + 2023 ÷ 2023 0.5 2 èç2 2 ø÷ èç2 2 2 2 ø÷ èç2 2 ø÷ 2 1 1 1 1 1 A> 1+ + 2. + 22. + + 22022. - 2 22 23 22023 22023 0.5 1 1 1 1 1 1 A> 1+ + + + - = 1+ 2016. - 0.25 2 2 2 22006 2 22016 æ ö 2023 ç 1 ÷ 2023 = + ç1- 2023 ÷> 0.25 2 èç 2 ø÷ 2 1 1 1 1 2023 Vậy A = 1+ + + + + > 2 3 4 22023 - 1 2 0.25 Hết