Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Hà (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Hà (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 219.273 15.49.94 1) Rút gọn biểu thức A 69.210 1210 5 5 5 5 2) Thực hiện phép tính B 4.9 9.14 14.19 44.49 Câu 2 (2,0 điểm). a c ac a2 c2 1) Cho các số a,b,c,d 0 thoả mãn . Chứng tỏ rằng b d bd b2 d 2 2) Tìm x, biết x 1 x 2 x 3 4x Câu 3 (2,0 điểm). 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + 2y = 11. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. Câu 4 (3,0 điểm). Cho ABC có góc A nhọn, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC. 1) Chứng minh AM  xy. 2) So sánh các cạnh của AMB . 3) Gọi O là điểm nằm trong AMC . Chứng minh OA + OC < MA + MC Câu 5 (1,0 điểm). Cho x; y; z không âm thoả mãn x 3z 2022 và x 2y 2023. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2:
2. UBND HUYỆN THANH HÀ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 1) A 0,25 69.210 1210 39.29.210 220.310 219.39 5.218.39 0,25 39.219 220.310 2 5 = 0,25 2 4.3 3 0,25 14 5 5 5 5 Câu 1 2) B 2,0đ 4.9 9.14 14.19 44.49 1 1 1 1 1 1 0,25 4 9 9 14 44 49 1 1 0,25 4 49 49 4 0,25 4.49 45 0,25 196 a c a a c a a2 ac 1) . . , b d b b d b b2 bd c2 ac tương tự ta có d 2 bd 0,25 a2 c2 ac 0,25 b2 d 2 bd ac a2 c2 a2 c2 0,25 bd b2 d 2 b2 d 2 ac a2 c2 Vậy 0,25 Câu 2 bd b2 d 2 2,0đ 2) x 1 x 2 x 3 4x (1) Vì x 1 x 2 x 3 0 4x 0 x 0 0,25 nên x 1 x 1 x 2 x 2 0,25 x 3 x 3 Do đó từ (1) ta có: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x 0,25 Tìm được x = 6 (T/M) 0,25 Câu 3 1) xy − 3x + 2y = 11
3. 2,0đ x.(y−3)+2.(y−3)+6=11 0,25 (x+2).(y−3)=5 0,25 x+2 - 5 - 1 1 5 x - 7 - 3 -1 3 y−3 - 1 - 5 5 1 0,25 y 2 - 2 8 4 Vậy cặp (x,y) là (-7;2); (-3;-2); (-1;8); (3;4) 0,25 2) Ta chứng minh p 1 ( p 1)  24 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p  3 và p  2 Có p  2 nên p 1 và p 1 là hai số chẵn liên tiếp ( p 1).( p 1)8 (1) 0,25 Mặt khác: p  3 p có thể có 1 trong 2 dạng là p 3k 1 hoặc p 3k 2 ( k ¥ * ) Nếu p 3k 1 p 13 p 1 ( p 1)3 Nếu p 3k 2 p 13 p 1 ( p 1)3 p 1 ( p 1)3 (2) 0,25 Mà 24 3.8 và ƯCLN (8,3) 1 (3) 0,25 Từ (1), (2) và (3) p 1 ( p 1)24 (đpcm) 0,25 Vẽ hình đúng đến phần 1) được 0,25 x A y 0,25 O B M I C Câu 4 3,0đ 1) C/m AMB AMC(c.c.c) (1) 0,5 C/m AM  BC 0,25 C/m AM  xy 0,25 B· AC 0,25 2) Từ (1) B· AM C· AM 2 · 0 · 0 · 0 mà BAC 90 (gt) BAM 45 suy ra ABM 45 0,25 ·AMB ·ABM B· AM 0,25 AB AM BM (qh giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 0,25
4. 3) Gọi I là giao điểm của AO và MC Xét AIC có : AI < AM + MI (BĐT trong tam giác) Xét OIC có : OC < OI + IC (BĐT trong tam giác) 0,25 Suy ra: AI + OC < AM + MI + OI + IC 0,25 AO + OI + OC < AM + MC + OI AO + OC < AM + MC (đpcm) 0,25 Ta có: x 3z x 2y 2022 2023 2 x y z z 4045 0,25 Câu 5 Vì z 0 2 x y z 4045 0,25 1,0đ 4045 Suy ra P 2 0,25 1 Dấu “=” xảy ra z 0; x 2022; y . 2 0,25 Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa