Đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Trung Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Trung Nguyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát 30/3/2021 Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (3,0 điểm) xx2 2 2 x 2 1 2 a) Cho biểu thức A 2 2 3 1 2 . Tìm giá trị nguyên của x 2x 8 8 4 xxx 2 xx để A có giá trị nguyên. b) Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn x + y + z = 0. Tính giá trị của biểu thức: (xy 2 z2 )( yz 2 x 2 )( zx 2 y 2 ) B = . (2xy2 2 yz 2 2 zx 2 3) xyz 2 Câu 2. (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xxy2 2014 x 2015 y 2016 0. b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là các số chính phương. Biết rằng một trong ba số chính phương trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng: P a b 3 b c 3 c a 3 chia hết cho 81. 4 4 4 Câu 3. (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a , b , c và a + b + c = 6. 3 3 3 a b c 6 Chứng minh rằng: + + . a2 +1 b 2 +1 c 2 +1 5 Câu 4. (2,5 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. AB CA a) Chứng minh = . 4BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH. c) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Câu 5. (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; 4 và 5 được chia bằng mọi cách thành hai nhóm. Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhóm ta luôn có hai vận động viên mà hiệu các số họ mang trùng với một trong các số mà người của nhóm đó mang. –––––– Hết –––––– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC HDC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Câu 4 hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. Đáp án và thang điểm. Thang Câu Phần Nội dung điểm x 0 ĐK: 0,25 x 2 xx2 2 2 x 2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4 xxx 2 xx a. xx2 2 2 x 2 xx 2 2 0,25 2 2 2 2(x 4) 4(2 xxx ) (2 ) x 2 2 2 2 xx 2 2 x ( xx 1)( 2) xx ( 2) 4 xxx ( 1)( 2) 0,25 2 2 2 2 2 2(xxxx 4) ( 4)(2 ) 2( xx 2)( 4) x xxxxx3 4 2 4 4 2 1 xx ( 2 4)( x 1) x 1 . 0,5 2(x2 4) xxx 2 2 2 ( 2 4) 2 x Nhận xét : A nguyên khi x+1 chia hết cho 2x => 2x +2 chia hết cho 2x 0,25 => 2 chia hết cho 2x => 2x là ước của 2 1 1 TH1: 2x = 1 => x = (loại). 2 1 TH2: 2x = -1 => x =- (loại). 2 0,5 TH3: 2x = 2 => x = 1 (thỏa mãn). TH4: 2x = -2 => x =-1 (thỏa mãn). KL: Vậy x = 1 thì A có giá trị nguyên . Ta có: x + y + z = 0 => x + y = -z. Do đó: xy 2 z2 = xy z2 zx( y ) = (z - x)(z - y) Tương tự : yz 2 x2 =(x - y)(x - z) 0,5 zx 2 y2 =(y - z)(y - x) b. => Tử số của B là : - (xy )(2 yz )( 2 zx ) 2 2 2 2 Hs cm được : 2xy 2 yz 2 zx 3 xyz =(x-y)(y-z)(z-x) => mẫu số của B là : (xyyzzx )( )( )2 0,25 Vậy B = -1. 0,25
3. xxy2 2014 x 2015 y 2016 0 xxyx 2 2015 x 2015 y 2015 1 xxy( 1) 2013( xy 1) 1 ( x 2015)( xy 1) 1 0,5 x 2015 1 x 2016 ) ; x y 1 1 y 2016 0,25 a. x 2015 1 x 2014 ) . 0,25 x y 1 1 y 2016 x 2016 x 2014 0,25 KL : Vậy phương trình có nghiệm là : ; . 2 y 2016 y 2016 -Vì 3 số 2a+b, 2b+c, 2c+a đều là các số chính phương nên 3 số này chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 0,25 - Chứng minh nếu x+y+z=0 thì x3+y3+z3=3xyz 0,25 Vì trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3 và b. (2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c)3 nên suy ra 3 số cùng chia hết cho 3. 0,25 Mặt khác : 2a+b=3a-(a-b) a-b3. Tương tự chứng minh được b-c, c-a đều chia hết cho 3. Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a)27 0,25 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên 3 3 3 0,25 P=(a-b) +(b-c) +(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a)3.2781. 4 Vì a (3a 4)(a 2)2 0 3 3a3 16a 2 28a 16 0 25a 16a2 16 3a 3 3a 25a (a2 1)(16 3a) (*) 0,5 2 a 16 3a Chia cả hai vế của (*) cho 25( a 1) ta được 2 3. a 1 25 b 16 3b c 16 3c Tương tự ta có : ; b2 1 25 c2 1 25 a b c 483(abc)306 Do đó : a2 1 b 2 1 c 2 1 25 25 5 0,25 Dấu “=” xảy ra a=b=c=2. a b c 6 Vậy . 0,25 a2 1 b 2 1 c 2 1 5 y x D I M 4 C K A H O B
4. Chứng minh: ΔOAC∽ ΔDBO (g-g) 0,5 OA AC OA.OB AC.BD 0,25 a. DB OB AB AB AB CA . AC.BD (đpcm) 0,25 2 2 4BD AB OC AC Theo câu a ta có: ΔOAC∽ ΔDBO (g-g) OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC∽ ΔDOC (c-g-c)  ACO  OCM +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC MC 0,25 Ta có ΔOAC=ΔOMC OA OM;CA CM OC là trung trực của AM b. OC  AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông tại M OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi 0,25 qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH +) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 Tứ giác ABDC là hình thang vuông 1 S (AC BD).AB ABDC 2 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có 0,25 AB2 1 c. AC BD 2 AC.BD 2. AB S AB2 4ABDC 2 AB Dấu “=” xảy ra AC BD OA 2 0,25 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA thì diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Ta chia các số 1; 2; 3; 4; 5 thành hai nhóm sao cho trong một nhóm hiệu hai số không trùng với một số nào trong nhóm. Ta có hai số 2 và 4 không thể ở trong cùng một nhóm vì 4-2=2. Số 1 0,5 cũng không thể ở trong cùng một nhóm với số 2 vì 2-1=1 5 Như vậy số 1 phải ở cùng một nhóm với số 4. Số 4-1=3 phải ở cùng nhóm với số 2. Ta có hai số 1 và 4 cùng nhóm; hai số 2 và 3 cùng một nhóm còn lại. 0,5 Nhưng còn lại số 5, số này không thể ở trong bất cứ nhóm nào vì 5-1=4 và 5-2=3(Mâu thuẫn).Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Hết