Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 7 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1. (4,5 điểm) 32 1 32 1 1) Rút gọn: A : . 25102312 2) Tìm x biết, 2xxx 21 .3 .5 10800 . 3) So sánh : (-32)27 và (-18)39 Câu 2. (4,5 điểm) 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, và tổng a+b+c 0 thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b b a c . Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . c a b a c b 2) Đồ thị hàm số y = f(x)= ax đi qua điểm A(2;4) a) Xác định hệ số a b) Tìm x, sao cho f(x) - x2= 0 c) Biết B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Hãy tính giá trị biểu thức K= 1007.(4 x0 + 2) : (y0 + 1) n 2 Câu 3. (3,0 điểm. 1) Tìm số nguyên n để biểu thức P = có giá trị lớn nhất. n 7 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết, n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm. Cho xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . 1 ) Chứng minh K là trung điểm của AC. 2 ) Chứng minh KMC là tam giác đều. 3) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh của AKM. Câu 5. (2,0 điểm). 1) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên và a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) luôn chia hết cho 23. Chứng minh rằng các số a, b, c đều chia hết cho 23. 2) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn : x2 - 2y2 =1. Hết 1
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 7 Năm học 2013 - 2014 Câu Nội dung Điểm 1) (1,5 điểm) 15 4 1 18 8 1 12 11 A : : 0.5đ 10 10 10 12 12 12 10 12 612 72 . 511 55 0.5đ 72 Vậy A 55 0.5đ Câu 1 2 ) (1,5điểm) (4,5 điểm) Ta có 2xxx 21 .3 .5 10800 2 x .2 2 .3 x .3.5 x 10800 x 0.75đ 2.3.5 900 0.25đ 30x 302 x 2 Vậy x 2 là kết quả cần tìm 0.5đ 3 ) (1,5điểm) 3227 = (25 )27 = 2135 -1839 (-32)27 > (-18)39 0.75đ 1) (2.0 điểm) Vì a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: a b c b c a c a b abcbcacab 0.5đ = = 1 abc c a b abc bca cab mà 111 = 2 Câu 2 cab 0.5đ ab bc ca (4.5điểm) => =2 0.5đ cab bacbacabc 0.5đ => B = 1 1 1 ( )( )( ) =2.2.2= 8 acb acb Vậy B= 8 2
3. 2) (2.5 điểm) a) a= 2 0.5đ b) Hàm số được cho bởi công thức y = 2x 0.25đ Từ f(x) - x2= 0 2x- x2= 0 x(2- x)= 0 x= 0 hoặc x= 2 0.75đ Vậy x= 0 hoặc x= 2 c) Vì B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số nên y0 = 2 x0 0.5đ Suy ra K= 1007(4 x + 2): (y + 1) = 2.1007.(2 x + 1): (2 x + 1) 0 0 0 0 0.5đ = 2014(2 x0 + 1): ( 2x0 + 1) = 2 014 1) (1,5 điểm) 9 0.25đ P = 1+ n 7 Khi n 7 thì P> 1. Do đó ta cần tìm max của P khi n> 7 9 0.25đ P max đạt max n – 7 đạt min n 7 0.25đ Vì n nguyên và n> 7 nên n= 8 Câu 3 Vậy P max = 10 n= 8 0.25đ (3 điểm) Vậy số cần tìm là n 32 . 0.25đ 0.25đ 0.75đ 0.25đ V ẽ hình , GT _ KL 0.25đ Câu 4 (6 điểm) 1) (1,75 điểm) ABC cân tại B do góc CAB= góc ACB (= góc MAC) và BK là 1.0đ đường cao BK là đường trung tuyến 0.75đ K là trung điểm của AC 3
4. 2) ( 2,5điểm) ABH = BAK ( cạnh huyền - góc nhọn ) 0.25đ 1 0.25đ BH = AK ( hai cạnh tương ứng ) mà AK = AC 2 1 0.5đ BH = AC 2 1 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC 2 0.25đ CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 ) 0.25đ Mặt khác : góc MCB = 900 và góc ACB = 300 0.5đ góc MCK = 600 (2) 0.25đ Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều 0.25đ 3) (1,5 điểm) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm 0.25đ ( có thể chứng minh các tam giác cân) Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK = AB22 BK 16 4 12 0.25đ 1 Mà KC = AC => KC = AK = 12 2 0.25đ KCM đều => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = 4 0.25đ AH = BK = 2 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) 0.25đ => AM = AH + HM = 6 Vậy các cạnh của tam giác AKM là : AM = 6 cm; AK =MK= 12 cm 0.25đ 1) (1,0 điểm) Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 23 0.25đ f(1) và f(-1) chia hết cho 23 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 23 0.25đ Suy ra 2a + 2c= 2(a + c) chia hết cho 23, mà c chia hết cho 23 nên a chia hết cho 23 ( do (2;23) = 1) 0.25đ Vì a+b+c chia hết cho 23, suy ra b chia hết cho 23 0.25đ Câu 5 Vậy a,b,c đều chia hết cho 23 (2,0điểm) 2) (1,0 điểm) Từ : x2-2y2=1 suy ra x2-1=2y2 0.25đ Nếu x chia hết cho 3 và x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 ( thỏa mãn) Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 ( ) do đó 2y2 chia 0.25đ hết cho 3 Mà (2;3)=1, nên y chia chia hết cho 3 khi đó, y= 3 suy ra 0.25đ x2=19 (không tìm được x nguyên tố) Vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn là (2;3) 0.25đ Lưu ý: - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài thi không làm tròn. 4