Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Đông Hưng (Có đáp án)

1. UBND HUY ỆN ĐÔNG H ƯNG ĐỀ KH ẢO SÁT CH ỌN NGU ỒN H ỌC SINH GI ỎI PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO NĂM H ỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Đề chính th ức Th ời gian làm bài 120 phút Câu 1 (4,0 điểm). −+2 2 −+ 5 2022 0,4 2,5 1,25 a) Th ực hi ện phép tính sau A= : 11 13 + 3 7 7 1 2023 1,4−+ 3,5 −+ 2 1,75 11 13 3 32023 − 4 32022 − 4 b) Cho B = và C = . Hãy so sánh B và C . 32022 − 1 32021 − 1 Câu 2 (4,0 điểm). 1 1 21 a) Tìm x, bi ết 3 :4 − .2x − 1= . 2 3 22 b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức F= x − 2022 + x − 2023 Câu 3 (4,5 điểm). bz− cy cx − az ay − bx x y z a) Bi ết = = (a, b, c≠ 0 ). Ch ứng minh r ằng = = . a b c a b c 1 1 b) Lúc ban đầu ba kho có t ất c ả 710 t ấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở kho I, số 5 6 1 thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì s ố thóc còn l ại ở ba kho b ằng nhau. H ỏi lúc đầu m ỗi kho 11 có bao nhiêu t ấn thóc? Câu 4 (6,5 điểm). 1. Cho tam giác ABC , M là trung điểm c ủa BC . Trên tia đối c ủa tia MA lấy điểm E sao cho ME= MA . a) Ch ứng minh r ằng: AC= EB và AC/ /BE. b) G ọi I là m ột điểm trên AC ; K là m ột điểm trên EB sao cho AI= EK . Ch ứng minh ba điểm I, M, K th ẳng hàng. c) Từ B k ẻ BP⊥ AM , t ừ C k ẻ CQ⊥ AM (P, Q ∈ AE). Ch ứng minh AP + AQ= 2AM . 2. Cho tam giác ABC có BAC
   = 150,
   ABC = 45 0 , trên tia đối c ủa tia CB lấy điểm D sao cho CD= 2CB . Tính s ố đo ADC
   . Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba c ạnh c ủa m ột tam giác. Ch ứng minh r ằng ab++≤ bc ca a2+ b 2 + c 2 ≤ 2(ab ++ bc ca) . Hết Họ và tên thí sinh : S ố báo danh .
2. UBND HUY ỆN ĐÔNG H ƯNG HƯỚNG D ẪN CH ẤM PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ KH ẢO SÁT CH ỌN NGU ỒN H ỌC SINH GI ỎI NĂM H ỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM −+2 2 −+ 5 2022 0,4 2,5 1,25 a) Th ực hi ện phép tính sau A= : 11 13 + 3 2023 7 7 1 1,4−+ 3,5 −+ 2 1,75 11 13 3 32023 − 4 32022 − 4 b) Cho B = và C = . Hãy so sánh B và C . 32022 − 1 32021 − 1 −+2 2 −+ 5 2022 0,4 2,5 1,25 A =: 11 13 + 3 7 7 1 2023 1,4−+ 3,5 −+ 2 1,75 11 13 3 22−+ 2 555 −+ 2022 =: 5 11 13 + 2 3 4 0,5 77 7 7 17 2023 −+ −+2 5 11 13 2 3 4 a 111 111 2. −+ 5. −+ (2,0 đ) 2022 51113 234 =: + 0,5 2023 111 111 7. −+ 7. −+ 51113 234 Câu 1 2022 2 5 (4,0 điểm) =: + 0,5 2023 7 7 2022 = 0,25 2023 2022 Vậy A = 0,25 2023 32023 − 4 32022 − 4 Cho B = và C = . Hãy so sánh B và C . 32022 − 1 32021 − 1 Ta có : 0,5 342023−1 34 2023 − 1 B = B = =1 − 312022−3 3333 2023 − 2023 − b 342022−1 34 2022 − 1 (2,0 đ) C = C = =1 − 0,5 312021−3 3333 2022 − 2022 − 1 1 Vì 32023− 33 > 2022 − 3 1 − B> C 0,25 32023− 3 3 2022 − 333 Vậy B> C 0,25 1 1 21 Câu 2 a) Tìm x, bi ết: 3:4 − .2x − 1 = . 2 3 22 (4,0 điểm) b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức F=− x2022 +− x 2023
3. 1 1 21 Tìm x, bi ết: 3:4 − .2x − 1 = . 2 3 22 1 121 4− .2x − 1 = 3: 3 222 0,5 1 11 4− .2x − 1 = 3 3 a 1 − 1 đ . 2x 1 = (2,0 ) 3 3 0,5 2x − 1 =1 211x+= 20 x = x = 0 0,75 2112x+=− x =− 2 x =− 1 Vậy x∈{0; − 1 } 0,25 Lưu ý : H ọc sinh làm thi ếu m ột tr ường h ợp cho 1,5 điểm Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức F=− x2022 +− x 2023 Ta có : F=− x2022 +− x 2023 0,5 = x−2022 + 2023 − x b Vì x−2022 ≥ x − 2022 dấu = có khi x−2022 ≥ 0 x ≥ 2022 0,5 (2,0 đ) 2023−x ≥ 2023 − x dấu = có khi 2023−x ≥ 0 x ≤ 2023 0,5 F=− x2022 + 2023 − x ≥−x2022 + 2023 − x F ≥ 1 x ≥ 2022 0,25 Dấu = có khi 2022≤x ≤ 2023 x ≤ 2023 Vậy Min F = 1 khi 2022≤x ≤ 2023 0,25 bz− cy cx − az ay − bx a) Bi ết = = (a, b , c ≠ 0 ). a b c x y z Ch ứng minh r ằng = = . a b c 1 b) Lúc ban đầu ba kho có t ất c ả 710 t ấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở 5 1 1 kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì s ố thóc còn l ại ở ba 6 11 kho b ằng nhau. H ỏi lúc đầu m ỗi kho có bao nhiêu t ấn thóc? Câu 3 bz− cy cx − az ay − bx (4,5 điểm) Bi ết = = (a, b , c ≠ 0 ). a b c x y z Ch ứng minh r ằng = = . a b c a Từ gi ả thi ết ta có abc, ,≠ 0 a 2+b 2 + c 2 ≠ 0 (2,0 đ) bz− cy cx − az ay − bx abz(− cy )( bcx − az )( cay − bx ) 0,5 = = = = = a b c a2 b 2 c 2 Áp d ụng tính ch ất c ủa dãy t ỉ số bằng nhau ta có abz(− cy )( bcx − az )( cay − bx ) 0 0,5 = = = = 0 a2 b 2 c 2 abc 222+ +
4. y z bz− cy = 0 = b c z xx y Tươ ng t ự ta có =; = 0,75 c aa b x y z = = . a b c x y z Vậy = = . 0,25 a b c 1 Lúc ban đầu ba kho có t ất c ả 710 t ấn thóc. Sau khi bán đi số thóc ở kho 5 1 1 I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì s ố thóc còn l ại ở ba kho 6 11 bằng nhau. H ỏi lúc đầu m ỗi kho có bao nhiêu t ấn thóc? Gọi s ố thóc lúc đầu ở kho I, II, III l ần l ượt là x, y , z (t ấn) 0,5 x+ y + z = 710 Sau khi bán đi một s ố thóc thì s ố thóc còn l ại ở ba kho I, II, III 4 5 10 0,75 còn l ại lần l ượt là x; y ; z . (t ấn) 5 6 11 Theo bài ra ta có : b 4510 4 5 10 (2,5 đ) xyz= = x= y = z 5 6 11 5.20 6.20 11.20 0,5 x y z xyz+ + 710 === == 10 25 20 22 71 71 x=250; y = 240; z = 220 0,5 Vậy số thóc ở kho I, II, III lúc đầu lần l ượt có 250 tấn, 240 0,25 tấn, 220 t ấn. 1. Cho tam giác ABC , M là trung điểm c ủa BC . Trên tia đối c ủa tia MA lấy điểm E sao cho ME= MA . Ch ứng minh r ằng: a) AC= EB và AC / /BE. b) G ọi I là m ột điểm trên AC ; K là m ột điểm trên EB sao cho AI= EK . Câu 4 Ch ứng minh ba điểm I, M, K th ẳng hàng. (6,5 điểm) c) T ừ B k ẻ BP⊥ AM , t ừ C k ẻ CQ⊥ AM (P, Q ∈ AE). Ch ứng minh AP + AQ= 2AM . 2. Cho tam giác ABC có BAC
   = 150,
   ABC = 45 0 , trên tia đối c ủa tia CB lấy điểm D sao cho CD= 2CB . Tính s ố đo ADC
   .
5. A I P B C M Q K E Xét ∆AMC và ∆EMB có: MA= ME( gt ),
   AMC = EMB
   (đối đỉnh), MB= MC( gt ) 1,0 1.a ∆AMC = ∆ EMB( c. g . c ) (2,0 đ) AC= EB (hai c ạnh t ươ ng ứng) 0,5 Vì ∆AMC = ∆ EMB() cmt MAC
   = MEB
   vì MAC
   ; MEB
   ở vị trí 0,5 so le trong nên AC/ / BE . Xét ∆AMI và ∆EMK có : AM= EM( gt ); MAI
   =∆=∆ MEK
   ( AMC EMB ); AI = EK ( gt ) 0,75 1.b ∆AMI = ∆ EMK(. c g .) c
   AMI= EMK
   (1,5 đ) Mà
   AMI+ IME
   = 180 0 (hai góc k ề bù) 0,25 EMK
   + IME
   = 1800 IMK
   = 180 0 0,25 Vậy ba điểm I, M , K th ẳng hàng. 0,25 Xét ∆BMP và ∆CMQ có BPM
   == CQM
   900 ; MB = MC ( gt ); BMP
   = CMQ
   (đối đỉnh) 0,5 1.c ∆BMP =∆ CMQch( − gn ) (1,0 đ) MP= MQ 0,25 Ta có AP+= AQ AM −++= MP AM MQ AM + AM = 2 AM 0,25 Vậy AP+ AQ = 2 AM D 2 C (2,0 đ) E F A B Kẻ DE⊥ CA 0,5
6. Xét ∆ABC , có
   ACB =1800 − 45 0 − 15 0 = 120 0
   ACD = 60 0 hay ECD
   = 600 EDC
   = 30 0 Trên tia đối c ủa tia EC lấy điểm F sao cho EC= EF . Ta ch ứng minh được ∆DCF đều 0,5 1 CE= CD CE= CB 2 CBE
   = CEB
   =30 0 = EDC
   ∆EBD cân t ại E 0,5 EBA
   =15 0 ∆ BEA cân t ại E. EA= EB = ED ∆AED vuông cân 0,25
   ADE = 45 0 Vậy
   ADB=
   ADE + EDB
   = 75 0 0,25 Cho a, b , c là độ dài ba c ạnh c ủa m ột tam giác. Ch ứng minh r ằng : ab++≤++≤ bc ca a2 b 2 c 2 2( ab ++ bc ca ). Ta có ()0ab−2 ≥ a 2− 2 abb + 2 ≥ 0 ab 22+ ≥ 2 ab 0,25 Tươ ng t ự ta có b2+ c 2 ≥ 2 bc ; c2+ a 2 ≥ 2 ac 2(a2++ b 2 c 2 )2( ≥ abacbc ++ ) 0,25 Câu 5 a2+ b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc (1) (1,0 điểm) Áp d ụng b ất đẳng th ức trong tam giác, ta có : a+ b > c ac+ bc > c 2  2 222 0,25 a+ c > b ab+ bc > b a++ a ab+ ac > a  Từ (1) và (2) ta có ab++≤++≤ bc ca a2 b 2 c 2 2( ab ++ bc ca ). 0,25 Lưu ý : H ọc sinh làm cách khác đúng, lập lu ận ch ặt ch ẽ vẫn cho điểm t ối đa!