Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 18 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 18 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6,0 điểm). Tính: 1 1 1 a) A = 4.( )3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 b) B : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : : 1 . 2 2 3 4 5 6 100 4 6 .9 5 6 9 .120 c) C = 8 4 .3 12 6 11 Bài 2: (4,0 điểm). x y a) Tìm x,y Biết = và x.y = 112 4 7 b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số khác 0 thoả mãn: ab ac bc ba ca cb a b c thì 2 3 4 3 5 15 Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2013 x 2014 x . b) Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 36 và các chữ số của nó tỷ lệ với 1 ; 2 ; 3. Bài 4: (4,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A ( Bµ Cµ 400 ). Kẻ phân giác BD ( D AC ). Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = BC. a) Chứng minh BD + AD = BC b) Tính ·AMC Bài 5: (2,0 điểm). Tìm các số a,b,c nguyên dương thoả mãn a 3 +3a 2 +5 = 5b và a + 3 = 5c Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 18
2. Bài Phương pháp-Kết quả Điểm 1 1 1 Bài 1 a) A = 4.( )3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1 ( 6 điểm) 2 2 2 1 1 3 0.5 đ = 4.( ) - 2. +1 8 4 2 1 1 3 = - +1 0.5 đ 2 2 2 3 = - 2 0.5 đ 3 Vậy A = - 2 0.5 đ b) 1 1 1 1 1 1 1 B : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : : 1 2 2 3 4 5 6 100 1 3 4 5 6 7 101 0.5đ : : : : : : : 2 2 3 4 5 6 100 1 2 3 4 5 6 100 (có 50 thừa số âm ) . . . . . 2 3 4 5 6 7 101 0.5đ 1.2.3.4.5.6 100 1 . 0.5 đ 2.3.4.5.6.7 101 101 Vậy 1 0.5 đ B 101 c) C = 6 5 9 4 .9 6 .120 4 12 11 8 .3 6 0,5đ 6 5 = 2 2 . 3 2 2 9 .3 9 .2 3 .3 .5 3 4 12 11 11 2 .3 2 .3 0,5 đ 212.310 212.310.5 = 212.312 211.311 212.310 1 5 0,5 đ 211.311 1 2.3 2.6 4 4 0,5 đ 3. 5 5 5 Bài 2 x y x 2 x.y 122 a) Ta có = = = (4 điểm) 4 7 16 4.7 28 0.5 đ
3. 16.112 0.5 đ x2 = = 64 28 x = 8 hoặc x = -8 0.5 đ 8 y Nếu x = 8 = y = 14 0.5 đ 4 7 8 y Nếu x = - 8 = y = - 14 4 7 b) Ta có: ab ac bc ba ca cb 2 3 4 ab ac bc ba ca cb 2 3 4 2 ( ab bc ca ) 9 0.5 đ ab bc ca 4 ,5 ab bc ca ab ac bc 4 ,5 2 2 ,5 ab bc ca bc ba ca 0.5 đ 4 ,5 3 1,5 ab bc ca ca cb ab 4 ,5 4 0 ,5 0.5 đ ab ac bc Do đó: 0 ,5 1,5 2 ,5 0.5 đ 1,5 ab 0 ,5 ac 3 b c ( a , b , c 0 ) 1,5 bc 2 ,5 ac 5 a 3 b a b c 5 a 3 b c . 3 5 15 Bài 3 a) Áp dụng BĐT a b a b (4 điểm) Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu (HS không làm phần này vẫn cho điểm tối đa) 0.5 đ Ta có P = 2013 x 2014 x = x 2013 2014 x P x 2013 2014 x 1 1 0.5 đ Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi (x-2013) và (2014-x) cùng dấu 0.5 đ Hay 2013 x 2014 0.5 đ
4. Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 x 2014 b) Gọi ba chữ số của số phải tìm là a, b,c ta có : a b c áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được 1 2 3 0.5 đ a b c a b c = (*) 1 2 3 6 Do số phải tìm chia hết cho 36 nên số đó chia hết cho 9 suy ra a+b+c chia hết cho 9 Mà a, b, c là các chữ số có ít nhất một chữ số khác 0 nên a+b +c chỉ có thể nhận 0.5 đ một trong ba giá trị : 9; 18;27 a b c a b c Nếu a+b +c = 9 Từ (*) ta có = => a= 9/6 (không thoả mãn vì 1 2 3 6 a là chữ số) Nếu a+b +c = 18 kết hợp (*) ta có a =3 ; b = 6; c = 9 vì số phải tìm chia hết cho 36 nên chữ số hàng đơn vị chẵn ta có số 396; hoặc 936 0.5 đ Nếu a +b + c = 27 từ (*) => a=27/6 (loại) Thử lại ta thấy cả hai số 396 và 936 đều thoả mãn 0.5 đ Vậy số phải tìm là 936 và 396 . Bài 4 A (4 điểm) E D B F C M a) Từ D kẻ DE//BC, trên BC lấy điểm F sao cho BDN = BF (1) Chứng minh được DE = BE (tam giác BED cân) 0.5 đ Do tam giác AED cân nên AD =AE suy ra BE = CD 0.5 đ Vậy DE = CD Tam giác BDF cân có D· BF 200 nên B· FD 800 D· FC 1000 suy ra 0.5 đ D· FC E· AD 1000 Vậy tam giác DFC có F· DC 400 Chứng minh được ADE FCD (g.c.g) AD CF (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 0.5 đ b) Dựng tam giác đều AMN sao cho N và C ở cùng một phía so với AB. 0.5 đ Vì AC chung;BC AN( AM ); ·ACB C· AN 400 0.5 đ
5. BAC NCA Suy ra AC = CN = AB vậy MC là trung trực của AN 0.5 đ 1 0.5 đ Nên ·AMC ·AMN 300 2 Bài 5 Do a Z + => 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c (2 điểm) => 5b > 5c => b>c 0.5 đ => 5b  5c => (a3 + 3a2 + 5)  ( a+3) => a2 (a+3) + 5  a + 3 Mà a2 (a+3)  a + 3 [do (a+3)  (a+3)] 0.5 đ => 5  a + 3 => a + 3 Ư (5) => a+ 3 { 1 ; 5 } (1) 0.5 đ Do a Z+ => a + 3 4 (2) Từ (1) và (2) => a + 3 = 5 => a = 5 – 3 =2 => 23 + 3 . 22 + 5 = 55 25 = 5b 52 = 5b b = 2 0.5 đ 2 + 3 = 5c 5 = 5c 5 = 5c c = 1 Vậy : a = 2 b = 2 c = 1 Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.