Đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Bồ Lý (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Bồ Lý (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS BỒ LÝ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3 điểm) Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 a. Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) b. Tính giá trị của M(x) khi x = 0, 25 c. Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không? Câu 2. (6 điểm) yz 1 xz 2 yx 3 1 a. Tìm các số x; y; z biết rằng: x y z xyz x 4 x 3 x 2 x 1 b. Tìm x: 2010 2011 2012 2013 c. Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2014x Câu 3. (4 điểm) x 1 a. Cho A Tìm số nguyên x để A là số nguyên x 3 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x 15 x2 3 Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a. AC = EB và AC // BE b. Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng c. Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o; MEB =25o. Tính HEM và BME Câu 5. (2 điểm) Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với 2 2 2 2 2 2 BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN + BP + CM = AP + BM + CN Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. TRƯỜNG THCS BỒ LÝ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung chính Điểm Câu 1 a. M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 – 2(x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3) + x4 + 4x3 + 3x2 0,5 3 – 8x + 4 16 = (2x5 -2x5) + (x4 + 4x4) + (– 4x3 +4x3) + (x2 – 2x2 +3x2) + (-2x 3 +10x-8x) + 2- 6 + 4 16 3 0,5 = 5x4 + 2x2 + 16 b. Tính giá trị của M(x) khi x = 0, 25 Thay x = 0, 25 vào biểu thức M(x) ta được: 3 5.( 0, 25 )4 + 2( 0, 25 )2 + 0,5 16 3 = 0,3125 + 0,5 + 16 0,5 = 1 3 c. Ta có: M(x) = 5x4 + 2x2 + 16 1 1 3 1 5(x4 2 x 2 5 25) 16 5 1 1 5(x2 ) 2 5 80 1 1 M(x) = 0 5(x2 ) 2 = 0 0,5 5 80 3 x2 ( Vô lí ) 20 0,5 Vậy không có giá trị nào của x để M(x) = 0 a. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : yz 1 xz 2 yx 3 1 x y z xyz yz 1 xz 2 yx 3 2( xyz ) 0,5 = 2 Câu 2 xyz xyz ( Vì x+y+z 0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có: 0,5 0,5 x 10,5 y 2 0,5 z 3 1,5 x 2,5 y 2,5 z 2 tức là 2 x y z x y z 1 1 5 5 Vậy x ; y ; z 2 6 6
3. x 4 x 3 x 2 x 1 b. 2010 2011 2012 2013 x 4 x 3 x 2 x 1 0,5 1 1 1 1 2010 2011 2012 2013 1 1 1 1 0,5 (x 2014)( ) 0 2010 2011 2012 2013 x 2014 0 0,5 x 2014 0,5 Vậy giá trị x cần tìm là : x = -2014 c. Ta có : x2+2014x = x(x+2014) 0,5 x - -2014 - 0 + 0,5 x+2014 - 0 + + x(x+2014) + - + 1 Vậy x2+2014x > 0 khi x 0 x 1 x 3 4 4 0,5 a. A 1 x 3 x 3 x 3 0,5 Để A là số nguyên thì x 3 là ước của 4, tức là x 3 1; 2; 4  1 Vậy giá trị x cần tìm là : 1 ; 4 ; 16 ;25 ;49 x2 15 x2 3 12 12 0,5 b. B = = = 1 + x2 3 x2 3 x2 3 2 Câu 3 Ta có: x 0. Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0 0,5 x 2 + 3 3 ( 2 vế dương ) 12 12 12 12 4 1+ 1+ 4 0,5 x2 3 3 x2 3 x2 3 B 5 Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0 0,5 Vậy Max B = 5 x = 0. Câu 4 .Vẽ hình A I 0,5 B M C H K E
4. Câu Nội dung chính Điểm a. Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) 0,5 Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB 0,5 (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 b. Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Câu 4 Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) 0,5 EMK + IME = 180o 0,5 Ba điểm I;M;K thẳng hàng c. Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HEB = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 Câu 5 Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có: AN2 =IA2 – IN2; CN2 = IC2 – IN2 0,5 CN2 – AN2 = IC2 – IA2 (1) 0,5 Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = IA2 – IB2 (2) 2 2 2 2 MB – CM = IB – IC (3) 2 2 2 2 2 2 Từ (1); (2) và (3) ta có: AN + BP + CM = AP + BM + CN 1 Lưu ý: Nếu học sinh có cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.