Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang). Câu I (4,5 điểm). x 3 xx 15 2 Cho hai biểu thức P và Q , với x 0,x 4 x 2 x 2 x 4 1. Tính giá trị của biểu thức P khi x 10 ( 4 2 3 7 4 3) 2. Rút gọn biểu thức Q . P 3. Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Q Câu II (4,5 điểm). : 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng dy1 :2 x , d2 yx 23 k, d3 : ykxk 2( 1) 3 ( k là tham số). a) Tìm giá trị của k để đường thẳng d2 đi qua gốc tọa độ. b) Tìm giá trị của k để đường thẳng d1cắt đường thẳng d2 tại một điểm nằm trên trục hoành. c) Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng d3 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. 22 2. Giải phương trình sau: xx 9 x 1 Câu III (3,5 điểm). 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2012xy2015 2013 2018 2015 2. Cho các số thực x,,yz thỏa mãn đồng thời các điều kiện x222 y z xy yz zx và xyz2015 2015 20153 2016 . Tìm x,,yz. 3. Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn điều kiện xy (1 x22 )(1 y ) 1. Tính giá trị của biểu thức: Tx 11 y22 y x Câu IV (6,0 điểm). Cho đường tròn (;)OR và đường thẳng d cố định, d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d . Qua M kẻ hai tiếp tuyến MAMB, tới đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d ( Hd ). Nối A với B , AB cắt OH tại K và cắt OM tại I . Tia OM cắt (;)OR tại E . a) Chứng minh rằng năm điểm A,,,OBHM , cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng OK OH OI OM . c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,5 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: abcabcbcacab444 HẾT
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 (HDC gồm 04 trang). Câu Ý Nội dung Điểm 1 x 10 ( 4 2 3 7 4 3) = 10 ( ( 3 1)22 (2 3) 0,5 Câu (1,0) = 10 ( 3 1 2 3) 10 1 9 I 93 12 Với x 9 P 12 0,5 92 32 2 (1,5đ) xxx 15 2 1 5 x 2 với x 0,x 4 ta có Q 0,5 xxxx 22(2)(2)x 4 (1)(2)52xx x xx 2 Q = 0,5 x 4 (2)(2)xx x(2)xx = 0,5 (2)(2)(2)xx x 3 (2,0đ) P Với x 0,x 4 thì được xác định. 0,25 Q Px 33 x 0,5 Q x x 3 Áp dụng BĐT AM-GM ta có x 23. 0,5 x 3 Đẳng thức xảy ra khi x x 3 0,5 x Vậy MinQKhix 23 3 0,25 II 1 : 0,5 a) d2 yx 23 k đi qua gốc tọa độ thì x 0,y 0 và 30 k k 3 b) Ta thấy d1 và d2 luôn cắt nhau 0,25 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(2;0) 0,25 k 3 Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm B(;0) 0,25 2 2 Để hai đường thẳng d1 , d2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì A  B k 3 0,5 tức là 2 k 7 2
3. Vậy k 7 0,25 2 Giả sử M (;xy00 ) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho luôn đi qua thì phương trình 2(kxy 1) 30k (1) luôn đúng với mọi k 00 0,5 Ta có (1) (2xkxy000 1) 2 30 1 x 210x 0 ĐK để phương trình này luôn đúng với mọi k là 0 2 0,5 2xy 30 y 2 0 00 1 M (;2) 0,25 2 1 Thay tọa độ điểm M (;2) vào d3 ta thấy luôn đúng với mọi k . 2 0,25 1 Vậy điểm cố định cần tìm là M (;2) 2 ĐK x 0 0,25 22 8 42x PT xx 99 xx 0,25 x 11x 1 x 9142xx 842xx 0 10 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 22x 2 22x 1 (1)0 18xx 1 x (TMĐK) 0,25 x 1 x 1 7 III 1 Với mọi x nguyên thì 2012x2015  4 nên là số chẵn 0,25 +) Nếu y chẵn thì y 2018 là số chẵn nên 2013 y 2018 là số chẵn 0,25 2012xy2015 2013 2018 là số chẵn mà 2015 là số lẻ nên PTVN 0,25 +) Nếu y lẻ thì y1009 là số lẻ, Đặt ykk1009 21, 0,5 2013yk2018 2013(2 1) 2 2013(4 kk 2 4 1) = 4.2013(kk2 ) 2013 chia cho 4 dư 1 nên 2012xy2015 2013 2018 chia cho 4 dư 1, mà 2015 chia cho 4 dư 3. Vậy không có số nguyên x, y nào thỏa mãn ycbt 0,25 2 Từ x222 y z xy yz zx ()()()0xy222 yz zx 0,25 x yz 0,25 Khi đó x2015 yz 2015 201533 x 2015 2016 x 2015 3 2015 x 3 0,5
4. Vậy x yz3 0,25 Từ xyxy (122 )(1 ) 1 (1 xyxy 22 )(1 ) 1 (1x22 )(1 yxy ) (1 ) 2 0,25 2 2 22 22 3 112x yxy xyxy 0,25 x22yxyxy20()0 2 yx 0,25 Với yx Tx11110 y2222 y x x x x x 0,25 IV 6,0 điểm d M A E I 0,25 K H O N J B a) MA là tiếp tuyến của đường tròn ()O OAM 900 0,25 A đường tròn đường kính OM Tương tự ta có B đường tròn đường kính OM 0,25 OH d (gt) OHM 900 H đường tròn đường kính OM 0,25 Vậy 5 điểm A,,,OBHM , cùng thuộc đường tròn đường kính OM 0,25 b) Ta có MAMB ( theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,5 M trung trực của AB (1) OA OB() R O trung trực của AB (2) 0,5 Từ (1) và (2) OM là trung trực của AB OM AB tại I 0,5 Xét OIK và OHM   0  Có I H 90 , O chung OI OK 1,0 OIK# OHM(.) g g OK OH OI OM OH OM c) Ta có MI là tia phân giác của AMB (theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) 0,25
5. Lại có IAE IEA 900 , IEA OAE (vì OAE cân tại O ) 0,25 OAE IAE 900 mà OAE MAE 900 IAE MAE 0,25 AE là tia phân giác của M AB (4) Từ (3) và (4) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp MAB 0,25 d) OAM vuông tại A , có AIOM OI. OM OA2 R2 0,25 Theo chứng minh trên OK OH OI OM R2 OK. OH R2 OK . 0,25 OH R, OH không đổi K cố định OK không đổi Gọi IN là đường cao của OIK , J là trung điểm của ON IN. OK 0,25 Ta có SS lớn nhất IN lớn nhất OIK2 OIK OK OK 0,25 Lại có IN IJ IN  N JIOK vuông cân 2 max 2 OMH vuông cân MHHO Vậy diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất khi MHHO 0,25 Câu 1,5 V điểm Vì abc,, là các số thực dương nên Áp dụng BĐT AM-GM ta có: bc ac ab 0,25 abcbcacaba    b c 222 abcbcacababbcca 3 (1) 0,25 Mặt khác 3(abc444 )( abc 2222 )( abbcca )9 2 0,5 3 abc444 (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có ĐPCM 0,25 Chú ý: 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.