Đề khảo sát học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Phúc Thọ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Phúc Thọ (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN PHÚC THỌ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2022 – 2023 Môn: Toán lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề) (Đề có 01 trang) Bài 1: (4,5 điểm) 2+ +1 1 2 − 2 Cho biểu thức P = ∶ ( – + ) 2 − 2 + 1 1− 2 − a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P; −1 b) Tìm x để P = ; 2 c) Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Bài 2: (4 điểm) a) Cho x, y là các số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= |x − 12| + 2y2 - 16y + 2055 1 1 1 21 b) Giải phương trình: + + = 2 2+5 +2 2 2+15 +22 2 2+33 +121 11 Bài 3: (3 điểm) a) Tìm các số tự nhiên n để A = (푛2 − 8)2 + 36 là số nguyên tố. b) Đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4, chia cho 2 + 1 dư 2 + 3. Tìm đa thức dư khi chia ( ) ℎ표 ( + 1)( 2 + 1). Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh 퐹̂ = ̂ . 2 b) Chứng minh BH. BE + CH . CF = . c) Chứng minh điểm H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF. d) Trên đoạn thẳng HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (1,5 điểm) Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3. 3 Chứng minh rằng: + + ≥ 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số BD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2022 - 2023) Bài Nội dung Biểu điểm a) Tìm được ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 Bài 1: 2 2 Rút gọn được P = (5 −1 điểm điểm) b) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 −1 2 −1 Ta có P = khi = 2 −1 2 => 2 2 = − + 1 1 1 Giải được x = -1 (loại); x = ( nhận) điểm 2 1 Vậy x = 2 c) Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có: 2 2−1+1 1 P = = = x + 1 + −1 −1 −1 Với x là số nguyên thì x + 1 nhận giá trị nguyên, khi đó P nhận giá trị nguyên khi 1,5 1 nhận giá trị nguyên ⇔ x - 1 휖 { -1; 1} điểm −1 +) x -1 = -1 ⇔ x = 0 (loại) +) x - 1 = 1 ⇔ x =2 (thỏa mãn) Vậy x = 2 thì P nhận giá trị nguyên. Bài 2: a) A= |x − 12| + 2y2 - 16y + 2055 (4 Ta có: điểm) |x − 12| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi x = 12. 2y2 - 16y + 2055 = 2(y2 - 8y + 16) + 2023 = 2(y − 4)2+ 2023 ≥ 2023, 2 dấu “=” xảy ra khi y = 4 điểm Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2023 đạt được khi x = 12 và y = 4 Tìm ĐKXĐ: 1 2 2 + 5 + 2 ≠ 0 ⇔ ( + 2)(2 + 1) ≠ 0 ⇔ ≠ −2 푣à ≠ − 2 11 2 2 + 15 + 22 ≠ 0 ⇔ ( + 2)(2 + 11) ≠ 0 ⇔ ≠ −2 푣à ≠ − 2 11 2 2 + 33 + 121 ≠ 0 ⇔ ( + 11)(2 + 11) ≠ 0 ⇔ ≠ −11 푣à ≠ − 2 1 11 ĐKXĐ: ≠ −2; ≠ − ; ≠ − ; ≠ −11. 2 2 2 3 7 11 21 điểm ó: + + = 2 2+5 +2 2 2+15 +22 2 2+33 +121 11 3 7 11 21 ⇔ + + = ( +2)(2 +1) ( +2)(2 +11) ( +11)(2 +11) 11 1 3 7 11 21 ⇔ . [ + + ]= 2 ( +2)(2 +1) ( +2)(2 +11) ( +11)(2 +11) 22 3 7 11 21 ⇔ + + = 2( +2)(2 +1) 2( +2)(2 +11) 2( +11)(2 +11) 22
3. 3 7 11 21 ⇔ + + = (2 +4)(2 +1) (2 +4)(2 +11) (2 +22)(2 +11) 22 1 1 1 1 1 1 21 ⇔ - + − + − = 2 +1 2 +4 2 +4 2 +11 2 +11 2 +22 22 1 1 21 21 21 21 21 ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 2 +1 2 +22 22 (2 +1)(2 +22) 22 (2 +1)(2 +22) 22 Suy ra: (2 + 1)(2 + 22) = 22 2 4 + 46 + 22 = 22  4 2 + 46 = 0  2x(2x +23) = 0 +) x = 0 (thỏa mãn) +) 2x+23 = 0  x = - 11,5 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = - 11,5. Bài 3: a) A = (푛2 − 8)2 + 36 (3 = 푛4− 16 푛2 + 64 +36 điểm) 4 2 = 푛 − 16 푛 + 100 = 푛4+ 20 푛2 + 100 − 36푛2 = (푛2 + 10)2 - (6푛)2 = (푛2 + 10 − 6푛)(푛2 + 10 + 6푛) 1,5 Có (푛2 + 10 − 6푛) < (푛2 + 10 + 6푛) ( vì n là số tự nhiên) điểm Để A là số nguyên tố thì 푛2 + 10 − 6푛 = 1 ⇔ 푛2 − 6푛 + 9 = 0 ⇔ (푛 − 3)2 = 0 ⇔ 푛 − 3 = 0 ⇔ 푛 = 3 Thay n = 3 có A = (32 − 8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố. Vậy n = 3 là giá trị cần tìm. b) Do ( + 1)( 2 + 1) có bậc 3 nên khi chia f(x) cho ( + 1)( 2 + 1) thì đa thức dư có dạng 2 + + . Gọi thương của chúng là Q Ta có ( ) = ( + 1)( 2 + 1). Q + 2 + + Vì đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4 mà x+1 = 0  x = -1 nên: (−1) = (−1 + 1) [(−1)2 + 1]. Q + (−1)2 + (−1) + = 4 ⇔ − + = 4 (1) Mặt khác ( ) = ( + 1)( 2 + 1). Q + 2 + + = ( + 1)( 2 + 1). Q + ( 2 + 1) − + + = ( 2 + 1)[Q. ( + 1) + ] + bx - a + c 2 1,5 Vì đa thức f(x) chia cho đa thức + 1 dư 2x + 3 nên bx - a + c = 2x + 3 điểm với mọi x = 2 Do đó { (2) − + = 3 3 = 2 Từ (1) và (2) có { = 2 (2) 9 = 2 3 9 Vậy da thức dư cần tìm là 2 − 2 + 2 2 Bài 4: a) Chứng minh ∆ ∽ ∆ 퐹 ( ) 2 (7 Suy ra = điểm điểm) 퐹
4. Chứng minh ∆ ∽ ∆ 퐹 ( ) suy ra 퐹̂ = ̂ b) Chứng minh ∆ ∽ ∆ ( ) suy ra = ⇒ . = . Chứng minh ∆ 퐹 ∽ ∆ ( ) 퐹 2 suy ra = ⇒ 퐹. = . nên điểm . + 퐹. = . + . = ( + ). = 2 Vậy BH. BE + CH . CF = 2 c) Theo câu a) có: 퐹̂ = ̂ Chứng minh tương tự ta có: ̂ = ̂ Suy ra, 퐹̂ = ̂ 0 Lại có: 퐹̂ + 퐹 ̂ = ̂ = 90 ̂ ̂ ̂ 0 Mà + = = 90 2 푠 퐹 ̂ = ̂ => EB là đường phân giác góc FED của tam giác điểm FED . Chứng minh tương tự có FC, DA lần lượt là các đường phân giác của tam giác DEF, mà H là giao điểm của 3 đường phân giác đó nên H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MN, HC. Kẻ đường trung trực của các đoạn thẳng HC và MN chúng cắt nhau tại K => đường thảng KQ cố định. Vì HM = CN (gt); KH = KC (do K thuộc đường trung trực KQ của đoạn HC) KM = KN (do K thuộc đường trung trực KP của đoạn MN) Nên ∆MHK = ∆ 퐾 ( ) 1 Suy ra, 퐾̂ = 퐾̂ điểm Lại có ∆퐾 cân tại K (do KH = KC) nên 퐾 ̂ = 퐾 ̂ = 퐾̂ Suy ra 퐾̂ = 퐾 ̂ => HK là tia phân giác của ̂ => đường thẳng HK cố định Do vậy K là điểm cố định. Kết luận. Bài 5: Vì a,b,c là các số dương mà 1 + 2 ≥ 2 với mọi b (1 Nên điểm) (1+ 2)− 2 2 2 = = − ≥ − = a - 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2 2 1,5 Tương tự có điểm ≥ − ; ≥ − 1+ 2 2 1+ 2 2 Do đó
5. 1 + + ≥ a − + − + − = (a+b+c) - (ab+bc+ca) (1) 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2 2 2 2 Lại có 2 + 2 ≥ 2 ; 2+ 2 ≥ 2 ; 2 + 2 ≥ 2ac Suy ra, 2 + 2+ 2 ≥ ( + + ) Mà ( + + )2 = 2 + 2+ 2 + 2(ab + bc + ca) Nên 32 ≥ ( + + ) + 2(ab + bc + ca) ⇔ 3 ≥ ( + + ) (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra, + + ≥ 3 - . 3 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2 3 Vậy + + ≥ 1+ 2 1+ 2 1+ 2 2 (Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)