Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Lục (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Lục (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH LỤC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 3 3 3 + 1 1 1 b) B = 6 5 9 4 − 7 + 11 2 − 3 + 7 4 ∙ 9 − 6 ∙240 5 5 5 5 5 5 ( + 2) + (2 1) 4 130. 11 2. Cho các4 −số7 x,+ y11 thỏa mãn4 − 6 + 14 −8 ∙3 + 2∙6 Tính giá trị của biểu thức M =4 5 4 2024 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − ≤ 3. Tìm số dư của A = 1 + 4 + 4 + 4 +2 + 4 2 + 4 khi chia cho 21. 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 Câu 2 (3,5 điểm). 2 3 89 90 ⋯ 1. Tìm x biết |2x 1| = 3 2. Tìm x, y, z biết 4x = 3y; 7y = 5z và 2x + 3y z = 62 − 3. Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5, 6, 7 nhưng sau đó chia theo− tỉ lệ− 4, 5, 6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (3,0 điểm). 1. Cho dãy tỉ số bằng nhau: = = = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑 Tính giá trị biểu thức Q, biết = + + + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 𝑎𝑎 2. Tìm nghiệm của các đa thức sau: 𝑄𝑄 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑+ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐 a) 5 + 3 b) 2 3. Tìm đa thức ( ) = + +3 biết ( 1) = 1; (0) = 1; (1) = 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 với x là biến số và a, b, c là các 2hệ số. Câu 4. (8,0 điểm). 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑃𝑃 − − 𝑃𝑃 𝑃𝑃 1. Cho tam giác DEF vuông cân tại D. Gọi G là trung điểm của EF. a) Chứng minh EDG = DFG. b) Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng EG (H khác E và G). Kẻ các đường thẳng EI, � � FK lần lượt vuông góc với đường thẳng DH tại I và K. Chứng minh EI = DK và tam giác GIK vuông cân. 2. Cho tam giác MNP có NMP < 90 . Vẽ ra phía ngoài tam giác MNP hai đoạn thẳng MQ vuông góc và bằng MN, MR vuông0 góc và bằng MP. Gọi I là trung điểm � của NP. Chứng minh MI = QR. 1 Câu 5. (2,0 điểm). 2 Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: + 3 + 5 = 5 và + 3 = 5 . Hết 3 2 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 Giám thị 1: . Họ và tên học sinh: . . . Giám thị 2: . Số báo danh: .
2. Hướng dẫn chấm và biểu điểm Môn Toán 7 Câu ý Nội dung Điểm a) A = 3 3 3 + 1 1 1 4 − 11 + 13 2 − 3 + 4 5 5 5 5 5 5 0,5 A = 4 −+11 + 13 4 − 6 + 8 3 1 5 0,25 A = 15 2 ( ) ( ) ( ) a) B = 1 2 (6 )2 5 ( 9 )4 2 ∙ 3 − 2∙3 ∙2 ∙3∙5 1,5 đ 3 4 13 11 B = − 2 ∙3 + 2 2 ∙3 0,25 12 10 13 10 2 ∙3 − 2 ∙3 ∙5 12 12 12 211 3 (1 2 5) −2 ∙3 +B2= ∙3 0,25 212 310 ( 3 + 1) ∙ ∙ − ∙ 12 11 2( 9) B = ∙ ∙ −3 ( 2) B = −3 0,25 1 Ta có: ( + 2)4 0 và (2 1)2024∙ − 0 0,25 3,5 ( + 2)4 + (2 1)2024 0 2 Nên đ 𝑥𝑥 4 ≥ 𝑦𝑦 − 2024 ≥ 0,25 khi ( + 2) = 0 và (2 1) = 0 1,0đ Tìm đư𝑥𝑥ợc x = -2 và 𝑦𝑦 −= ≤ 0,25 𝑥𝑥 𝑦𝑦1 − Tính được M = 12 0,25 𝑦𝑦 2 A = 1 + 4 + 4 + 4 + + 4 + 4 Tổng A có 90 – 0 + 1 = 91 số2 hạng.3 89 90 0,25 A = 1 + (4 + 4 + 4 ) + (4⋯+ 4 + 4 ) + 0,25 + (24 +3 4 + 44 ) 5 6 3 A = 1 + 4(1 + 4 + 4 ) + 488(1 +894 + 490) + + 4 (⋯1 + 4 + 4 ) A = 1 +24 214+ 4 21 +2 + 4 2188 2 1,0đ 0,25 ⋯ A = 1 + 21 (4 4+ 4 + + 488 ) Vì 21 (4 + 4 + + 4∙ ) 21∙ nên4 số⋯ dư của88 A∙ khi chia cho 21 0,25 là 1. 4 88 ∙ ⋯ ∙ ⋯ ⋮ |2x 1| = 3 2x 1 = 3 ho c 2x 1 = 1 suy ra 0,25 2 Với 2x 1 = 3 tìm được x = 2 0,25 1 3,5 Với 2x 1 =− 3 tìm được x = - −1. ặ − − 1,0đ đ Vậy x =− 2, x = - 1 0,25 − − 0,25
3. Từ = và = suy ra = = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 = = Từ 4x3 =43y; 57y =6 5z suy15 ra 20 24 và 0,5 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = = 3 4 5 7 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 0,25 1,0đ Suy ra = = = = = 1 15 20 24 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦− 𝑧𝑧 −62 Suy ra = 15, = 20, = 28 0,25 15 20 28 30+ 60−28 62 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 − Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Gọi số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là: a, b, c (a, b, c là số tự nhiên khác 0). 0,25 Lập luận để có = = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 0,25 Suy ra = = 5= 6 7 = = , = = (1) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎+ 𝑏𝑏+ 𝑐𝑐 𝑚𝑚 5𝑚𝑚 6𝑚𝑚 7𝑚𝑚 5 6 7 5+6+7 18 ⇒ 𝑎𝑎 18 𝑏𝑏 18 𝑐𝑐 18 3 Gọi số gói tăm đã chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là: x, y, z (x, y, 1,5đ z là số tự nhiên khác 0). Lập luận để có = = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 0,25 4 5 6 Suy ra = = = = = , = , = (2) 0,25 So sánh𝑥𝑥 (1) 𝑦𝑦và (2)𝑧𝑧 ta𝑥𝑥 có+ 𝑦𝑦 a+ >𝑧𝑧 x, b𝑚𝑚 = y, c < z 4𝑚𝑚 5𝑚𝑚 6𝑚𝑚 4 5 6 4 +5 +6 15 ⇒ 𝑥𝑥 15 𝑦𝑦 15 𝑧𝑧 15 Nên lớp 7C nhận số tăm nhiều hơn dự định. 0,25 Suy ra z – c = 4. = 4 = 4 = 360 6𝑚𝑚 7𝑚𝑚 𝑚𝑚 Vậy số gói tăm ⇒3 lớp15 đã− mua18 là 360⇒ 90gói. ⇒ 𝑚𝑚 0,25 Từ GT suy ra 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d 1 = 1 = 1 a b c a + b + c + 2d 0,25 =− 1 − − d ( ) = = − = = 0,25 1 1,0đ TH1:a + ab ++c + bd + ca + b d+ c=+ d0 thì aa+=b + bc +=d c =a d+ b + c + d= 44 a + b + c + d 0,25 a b c d a + b + c + d 3 TH2:⇒ a + b + c + d khác 0 thì (a + b) = (c + d) a + b b + c c + d ⇒ d𝑄𝑄 + a 3đ Q = + + + = 4 c + d d + a a +− b b + c 0,25 KL ⇒ − a) Tìm được = Và KL 0,5 2 −3 b) 2 = 0 ( 2) = 0 0,25 1,0đ 𝑥𝑥 5 0,25 Tìm3 được x = 0, = 2 2; = 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 √ 𝑥𝑥 −√
4. Ý b này nếu thiếu 1 giá trị chỉ cho 0,25 P(x) = ax + bx + c 2 P(0) = 1 c = 1 0,25 3 P( 1) = 1 a b + c = 1 a b = 2 (1) ⇒ 1đ P(1) = 3 a + b + c = 3 a + b = 2 (1) − − ⇒ − − ⇒ − − 0,25 Từ (1) và (2) tìm được a = 0, b = 2. 0,25 Đa thức P(x) = 2x +⇒ 1 ⇒ 0,25 a) C/m được EDG = DFG. 2đ b) C/m DEI = FDK. (Cùng phụ với góc EDI). 0,5 4 C/m EID�= DKF� (cạnh huyền – góc nhọn). 1,0 8đ � � EI = DK 0,5 1 - C/m∆ DG EF∆ và DG = EF . 0,75 6,0đ C/m GDK = GEI ⇒ ⊥ GK = GI và DGK = EGI. 0,75 C/m ∆ DGI = 90∆ � � 0,5 Do đó IGK vuông0⇒ cân tại G � ∆ 2 2đ
5. Trên tia đối cuả tia IM lấy điểm K sao cho IK = IM. C/m PK // MN và PK = MN C/m QMR = MPK. C/m MPK = RMQ (c.g.c). MK�= QR � Mà MK =∆ 2MI ∆ QR = 2MI ⇒ Vì x là số nguyên⇒ dương nên + 3 + 5 > + 3 0,25 Suy ra 5 > 5 y > z 3 2 0,25 Ta có 5 𝑦𝑦 5 𝑧𝑧 + 3 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 ( + 3) 𝑥𝑥 ( 𝑦𝑦+ 3 𝑧𝑧 ) +⇒53 ( +2 3) 3( ⋮+ 3)2⇒+ 5𝑥𝑥 ( +𝑥𝑥 3) ⋮ 𝑥𝑥 Vì⇒ ( 𝑥𝑥2+ 3) 𝑥𝑥 ( + 3)⋮ nên𝑥𝑥 5 ( + 3) 0,25 ⇒(𝑥𝑥 +𝑥𝑥3) ⋮ 𝑥𝑥 + 3 { 5; 1; 1; 5} là ước của 5 . 𝑥𝑥 ⋮ 𝑥𝑥 ⋮ 𝑥𝑥 Mà x nguyên dương nên + 3 > 3 + 3 = 5 = 2 0,25 Tính⇒ 𝑥𝑥 được 5 = 2 + 3.⇒2 𝑥𝑥+ 5 = ∈25 .− − 0,25 y = 2 . 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 2 ⇒ 𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 5 Tính được z = 1. 0,25 2,0đ 2đ ⇒Vậy x = 2, y = 2, z = 1. 0,25 0,25 (Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa)