Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Quảng Trạch (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Quảng Trạch (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) 13 2 8 19 23 a) Tính: A = 1 .(0,5) .3 1 :1 15 15 60 24 15 3 5 b) Tìm x biết: x 28 14 12 Câu 2. (1,5 điểm) x y y z a) Tìm x, y, z biết: ; và 2x y z 14 3 4 6 8 b) Tính giá trị của đa thức P = x3 + x2y - 2x2 – xy – y2 + 3y + x + 2023 với x + y = 2. Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho DB = CE. Gọi M là trung điểm của BC, từ B và C kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AD và AE. Chứng minh: a) Tam giác ADE cân; b) AM là tia phân giác của góc DAE; c) BK = CH; d) Ba đường thẳng AM, BH, CK cùng đi qua một điểm. Câu 4. (2,5 điểm) a) Chứng minh rằng: nếu x và y là các số nguyên sao cho 2x + 3y chia hết cho 17 thì 9x + 5y chia hết cho 17. b) Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C = 4x 7 có giá trị nguyên. x 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 Cho A 1 và 2 3 4 2021 2022 2023 1 1 1 1 B 1007 1008 2022 2023 Hãy so sánh A và B. Hết Giám thị không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: ; số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN 7 Bài Ý Nội dung đáp án Điểm 13 2 8 19 23 A = 1 .(0,5) .3 1 :1 15 15 60 24 28 1 8 79 47 . .3 : 15 4 15 60 24 0,25 a 7 47 47 (1,0) : 0,25 5 60 24 7 2 0,25 5 5 1 0,25 (2,0) 1 1 5 3 5 3 15 5 20 x x 0,25 28 14 12 14 28 12 21 3 20 3 20 x hoặc x 0,25 b 14 21 14 21 (1,0) 20 3 20 3 x hoặc x 0,25 21 14 21 14 7 31 x hoặc x 0,25 6 42 x y y z x y y z x y z ; ; 0,25 a 3 4 6 8 9 12 12 16 9 12 16 x y z 2x y z 2x y z 14 (0,75) 1 0,25 9 12 16 18 12 16 18 12 16 14 2 x 1.9 9; y 1.12 12; z 1.6 6 0,25 P = x3 + x2y - 2x2 – xy – y2 + 3y + x + 2023 b = x2(x + y) – 2x2 – y(x + y) + 3y + x + 2023 0,25 (0,75) = 2x2 – 2x2 – 2y + 2y + y + x + 2023 0,25 = 2 + 2023 = 2025 0,25 A 3 Vẽ (3,0) hình H K 0,25 D B M C E F
3. Tam giác ABC cân tại A AB AC và = 0,25 = a A BD và ACE có AB AC ; = ; DB CE (0,75) 0,25 AB D = ACE (c-g-c) AD A E ADE cân tại A 0,25 M là trung điểm của BC MB MC MD ME (vì BD = CE) 0,5 b AM là đường trung tuyến của tam giác ADE 0,25 (0,75) Mà tam giác ADE cân tại A nên AM cũng là đường phân giác của 0,25 tam giác ABC AM là tia phân giác của góc DAE ABD = ACE (c-g-c) = hay = 0,25 HDB và KEC có = = 900; BD CE ; = c 0,25 HD B = KEC (ch-gn) AD AE (0,75) HDC và KEB có HD = KE; = ; DC = EB 0,25 HD C = KEB (c-g-c) HC KB Gọi F là giao điểm của HB và KC AHF và AKF có: OF cạnh chung; = = 900 0,25 AH = AK (vì AD = AE và AD = KE) AHF = AKF (ch-cgv) c (0,5) = hay AF là tia phân giác của góc HAK hay AF là tia phân giác của góc DAE. Mặt khác, AM là tia phân giác của góc DAE 0,25 Do đó AF trùng với AM Ba đường thẳng AM, BH, CK cắt nhau tại F 2x + 3y  17 9(2x + 3y)  17 18x + 27y  17 0,25 a 18x + 10x + 17y  17 2(9x + 2x) + 17y  17 0,25 (1,0) 2(9x + 2x)  17 (vì 17y  17) 0,25 Mà (2,17) = 1 nên 9x + 2x  17 p là một số nguyên tố lớn hơn 3 p là số nguyên tố lẻ p = 2k + 1 (k N*) (p - 1)(p + 1) = (2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1) 0,25 = 2k.(2k + 2) = 4k(k + 1) Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1)  2 0,25 4k(k + 1)  8 (p - 1)(p + 1)  8 (1) b p là một số nguyên tố lớn hơn 3 p = 3m + 1 hoặc (1,0) p= 3m + 2 (m N) 4 Khi p = 3m + 1 thì (p – 1)(p + 1) = 3m(3m+2)  3 0,25 (2,5) Khi p = 3m + 2 thì (p – 1)(p + 1) = (3m +1)(3m + 3)  3 (p – 1)(p + 1)  3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (p – 1)(p + 1)  (3.8) vì (3,8) = 1 0,25 (p - 1)(p + 1)  24 4x 7 4x 8 1 4(x 2) 1 1 C = = = = 4 0,25 x 2 x 2 x 2 x 2 Để C có giá trị nguyên thì 1 phải có giá trị nguyên c x 2 0,25 (1,0) Khi đó x – 2 là ước số nguyên của 1 x – 2 = -1 hoặc x – 2 = 1 x = 1 hoặc x = 3 Vậy,khi x = 1 hoặc x = 3 thì biểu thức C = 4x 7 0,25 x 2
4. 1 1 1 1 B 1007 1008 2022 2023 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2022 2023 1 1 1 1 2 3 1006 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2022 2023 1 1 1 2 5 2 4 1012 (1,0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 2 3 4 2012 2013 2014 2015 2023 1 1 1 1 1 A 1 2 3 4 2022 2023 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 2013 2014 2015 2022 2023 0,25 Vậy, A < B. 0,25