Đề thi chọn đội tuyển cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Trần Phú

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Trần Phú

1. SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 12/09/2020 Bài 1. (4,0 điểm) Cho dãy số un được xác định như sau: u1 4, u 2 5 . * un 2 u n 1 2 u n ,  n Chứng minh dãy un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Bài 2. (4,0 điểm) Xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên nhận 1 2021 làm nghiệm. Bài 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , D là điểm chính giữa cung BC không chứa A, E là điểm đối xứng với B qua AD, BE cắt O tại F khác B. Điểm P di chuyển trên cạnh AC. BP cắt O tại Q khác B. Đường thẳng qua C song song với AQ cắt FD tại điểm G. a) Gọi H là giao điểm của EG và BC. Chứng minh rằng B, P, E, H cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là K . b) K cắt O tại L khác B. Chứng minh rằng LP luôn đi qua một điểm S cố định khi P di chuyển. c) Gọi T là trung điểm PE. Chứng minh rằng đường thẳng qua T song song với LS đi qua trung điểm của AF. Bài 4. (4,0 điểm) Có bao nhiêu số nguyên dương n không vượt quá 102020 thỏa mãn 2n  2021 mod 52020 ? Bài 5. (4,0 điểm) Xét X {1;2;3; ;2020} là tập hợp 2020 số nguyên dương đầu tiên. Với mỗi song ánh fX: X , kí 2020 hiệu Sf  k 4 fk . Hỏi có bao nhiêu song ánh fX: X thỏa mãn S f lớn nhất? k 1 HẾT