Đề thi chọn đội tuyển cấp trường năm học 2020-2021 môn Toán - Trường THPT chuyên Lam Sơn

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển cấp trường năm học 2020-2021 môn Toán - Trường THPT chuyên Lam Sơn

1. SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (5 điểm) Cho dãy x , n 0,1, xác định bởi x 1 và với mỗi n 0 , đặt x 3x x5 (ở đây a là số n 0 n 1 n n   n x nguyên lớn nhất không vượt quá a). Tìm lim i . n  3i i 0 2 Bài 2. (5 điểm) Tìm tất cả các đa thức Px() [] x sao cho với mọi ab, mà a2 b2  thì Pa() Pb ()  . Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O . Giả sử OA cắt các đường cao từ B và C của tam giác ABC lần lượt tại P, Q. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác PQH thuộc một trung tuyến của tam giác ABC. Bài 4. (5 điểm) Bảng ô vuông gồm m hàng và n cột, với mỗi ô vuông con được đặt một trong hai số: 0 hoặc 1. Một bảng được gọi là “tốt” nếu tổng các số của mỗi dòng, của mỗi cột, là số chẵn. Hỏi: a) Có bao nhiêu bảng số như trên? b) Có bao nhiêu bảng “tốt”? HẾT
2. SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 5. (6 điểm) x 1 x Xác định tất cả các hàm số liên tục f :[0; ) [0; ) thỏa mãn: 2()fx f 2 f với 1 xx 2 mọi x [0; ) . Bài 6. (7 điểm) 2 Xét p là số nguyên tố thỏa mãn 5(p 1) 1 không chia hết cho p2 . Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x ;y ) thỏa mãn p x 5 y p . Bài 7. (7 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  và l là đường thẳng không có điểm chung với  . Ký hiệu P là hình chiếu vuông góc của tâm đường tròn  lên l. Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt đường thẳng l tại các điểm X, Y, Z khác P. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác AXP, BYP và CZP thẳng hàng. HẾT