Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi tham dự kì thi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi tham dự kì thi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề bài gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm). xxx22+51 −+ a) Cho M = . Rút gọn và tính giá trị của M khi x =−−12 55x−+ xx2 − 1 b) Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc++=14 và abc++=6 . abc 22 Chứng minh rằng: ++= abc+++11 11 11 (abc+++ 11)( 11)( 11) Câu 2. (2,0 điểm). 2xx a) Giải phương trình: +xx(11 −=) xx+−1 xy22+ +=3 4 x b) Giải hệ phương trình:  3 32. x+12 xy += 6 x +9 Câu 3 (2,0 điểm). a) Cho a, b, c, k là các số tự nhiên thỏa mãn: a333+ b + c =+++ abck2 −21 k +. Chứng minh rằng k −1 chia hết cho 3. b) Tìm x, y nguyên biết: 7x22+ y + 4 xy + 12 x += 5 0 Câu 4: (3 điểm). 1) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác của góc BAH, CAH cắt BC lần lượt tại E, F. a) Chứng minh: BC EH22= CH BE và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC . b) Kí hiệu dd12, lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại E, F. Chứng minh rằng dd12, tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ∆ABC . 2) Cho tam giác ABC. Gọi lllABC,, lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của 2bc A 111111 góc A, B, C. Chứng minh rằng lA = .cos và + + >++ bc+ 2 lABC l l abc Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: xyz++=9 xy3+ 3 yz 33 ++ zx 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =++ xy+++999 yz xz HẾT Họ và tên học sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1 Chữ kí của giám thị 2
2. 2 UBND HUYỆN KIM THÀNH HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022- 2023 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm xx(++ 1) 5 x2 − 1 M = (ĐK: x>1 hoặc x ≤−1) 2 5(x−+ 1) xx − 1 0.25 x+1( xx ++ 1 5 x − 1) x + 1 A x >1 => M = = x−1(5 x −+ 1 xx + 1) x − 1 0.25 1 −−−−−+−+x1( xx 1 5 x 1) −− x 1 x ≤−1 ⇒=M =− −+x1( − 5 −++ x 1 xx −− 1) −+ x 1 0.25 −−x 1 2 2(2− 2) khi x = -1- 2 M = − = − =− =−−21 −+x 1 22+ 2 0,25 Ta có a+ b + c =6 ⇔ a +++ b c2( ab + bc + ca ) =36 0,25 ⇔ab ++= bc ca 11 0,25 Do đó: a+=+++=+11 a ab bc ca( a b)( a + c ) b Tươngtự ta có: b+=+++=+11 b ab bc ca( b c)( b + a ) c+=+++=+11 c ab bc ca( c a)( c + b ) Suy ra: 0,25 abc a b c ++= + + abc+++11 11 11 ( abac++)( ) ( bcba ++)( ) ( cacb ++)( ) a( b + c )+ b( c + a )+ c( a + b ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) 0,25 2( ab++ bc ca ) 22 = = (abc+++ 11)( 11)( 11) (abc+++ 11)( 11)( 11) Điều kiện xác định 01≤≤x 0.25 Phương trình đã cho ⇔2xxxxxxxx +( +− 11) ( −=) +− 1 ⇔a − b ab +=10 2 ( )( ) Đặt xaa=( ≥ 0) 10−=xbb( ≥) khi đó xb=1 − 2 0.25 2 Ta có phương trình 2(1−ba) ++( ababab) =+ a Vì ab +>10 nên a = b 0.25 Khi đó ta được phương trình xx=1 −
3. 3 1 0.25 Tìm được x = thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của pt đã cho 2 Từ phương trình (1) ta suy ra: 9=−− 12xx 322 3 y thế vào phương trình (2) thu b gọn ta được: 0.25 xy+=0 33+= 22 − ⇔+2 −+−+ 2 =⇔ xy3( xy ) ( xyxxyy )( 3 xy 3 ) 0  22 x−+−+ xy y33 x y = 0 * Nếu xy+ =0 ⇔ y =−⇒ x y22 = x thế vào phương trình (1) ta được 0.25 2x22+= 3 4 xx ⇔ 2( − 1) += 1 0 phương trình này vô nghiệm. * Nếu x22−+−+ xy y33 x y = 0, trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được: 0.25 x = 3 −xyxy −3 + 3 −=−⇔ 3 4 xxyxy −−3 +=⇔ 3 0 ( x − 3)( y − 1) =⇔ 0   y =1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0 => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2). 0.25 + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 => x = 2 => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2). Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1). Bài toán phụ: Với x là số tự nhiên. Chứng minh rằng: x3 – x luôn chia hết cho 3 0,25 Chứng minh: Ta có: x3 – x = x(x – 1)(x + 1) Do đó: x3 – x luôn chia hết cho 3 Ta có : a333+ b + c =+++ abck2 −21 k + 3 3 32 Hay a− ac++=− b−−b ck 21k + 0,25 2 Hay: (k −=1) abc3−−abc+ 33 + − Áp dụng bài toán ta có: a3 − a3 3 b − b3 0,25 c3 − c3 2 Nên: (k −1) 3 Mà 3 là số nguyên tố 0,25 Nên : k −13 (đpcm) Ta có: 7x22+ y + 4 xy + 12 x += 5 0 2 22 ⇔4x + 4 xy + y + 3 x + 12 x + 12 −= 7 0 0,25 22 ⇔+++=(2xy) 327( x ) 2 Suy ra: 03≤( x +≤ 2) 7 2 Hay: 0≤+( x 22) ≤ 0,25 2 Do đó: ( x +∈2) { 0;1} Ta có các trường hợp: 2 2 0,25 +) ( x +=20) Khi đó (27xy+=) (Loại)
4. 4 2 xx+=21 =− 1 +) ( x +=⇔21)  ⇔ xx+=−21 =− 3 2 22xy+= Khi đó: (24xy+=⇔)  22xy+=−  y = 4  y = 8 0,25 Nên: x = –1 ⇒  hoặc x = –3 ⇒   y = 0  y = 4 Nghiệm của phương trình ( xy;)∈−−−−{ ( 1;4);( 1;0);( 3;8);( 3;4);} EB AB Vì AE là phân giác góc BAH, ta có: = 0.25 1. EH AH a EB22 AB BH. BC BC ⇒== = EH22 AH BH. CH CH 0.25 ⇒=BC EH22 CH BE Gọi O là giao điểm 2 đường phân giác trong góc B, C. ⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Ta có: AEC=+=+ B BAE HAC EAH = EAC 0.25 ⇒∆AEC cân tại C⇒ CO là phân giác góc ACE đồng thời là trung trực của AE CMTT: BO là trung trực của AE 4 0.25 ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF ⇒ ĐPCM 1. Kẻ OM, ON, OP lần lượt vuông góc với BC, dd12, , gọi K là giao điểm của b AO với BC. 0.25 Có: EOF =+= EOK FOK 2( EAO + FAO ) =2 EAF == BAC 90o Mà OE= OF ⇒∆ EOF vuông cân tại O 0.25 ⇒==OM EM FM Chứng minh được: ON= ME; OP = MF 0.25 ⇒==OM ON OP 0.25 ⇒ dd12, tiếp xúc với đường tròn nội tiếp αα Chứng minh được công thức sinα = 2sin cos bằng sử dụng tam giác cân 22 0,25 tại đỉnh A có A = 2α thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên. 1 1 A 1 A Ta có: S∆ABC = bcsin A , S∆ABD= cl A sin , S∆ACD= bl A sin 0,25 2 22 22
5. 5 2 2bc A Mà SSS= + ⇒= l cos ∆ABC ∆∆ ABD ACD A bc+ 2 A cos 2 1bc+ 11 = = + l2 bc 22 b c A  BC cos cos 11 11 Tương tự: 22=+=+, 0,25 lBC22 a cl 22 a b ABC cos cos cos 111 ⇒222 + + =++ lABC l l abc ABC cos cos cos 111 Ta có 222+ + ++ l l l abc ABC 1 3 Ta chứng minh được : với a, b là các số dương ta có a33+≥ b( ab +) và 4 1 2 0.25 ab≤+( a b) . 4 Dấu bằng xảy ra khi a=b 3 5 xy33+ ( xy++) 36( xy) Khi đó ta có ≥22 =+−xy xy + 9 ( xy++) 36 ( xy ++) 36 Áp dụng BĐT Cô-si ta được 2 0.25 ( xy+) +≥36 12( xy + ) xy33++36( xy+ ) xy33 ⇒ ≥+−xy =+−⇔ xy33 ≥+−xy xy ++9 12( x y) xy +9 Chứng minh tương tự ta được yz33++ zx33 ≥+−yz3; ≥+− zx3 yz ++99xz 0.25 Cộng ba BĐT cùng chiều ta được M≥+ xy −+333 yz +−++− zx ⇔≥M2( xyz ++−⇔≥−⇔≥ ) 9 M 2.9 9 M 9 Dấu bằng xảy ra khi xyz= =  ⇔===xyz3 0.25 xyz++=9 Vây GTNN của M là 9 đạt được khi xyz= = = 3