Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 THPT năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 THPT năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 24/09/2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm có 01 trang Bài 1. (5,0 điểm) 3xz 2y (ab ) Cho ab, , a b. Giải hệ phương trình: 3x2 3xz y2 2(a b) y ab . 322 x 3xz yab ( )2 yab Bài 2. (5,0 điểm) Cho dãy số thực dương a thỏa mãn điều kiện: a a  a a a 4a, n * . n n 1 12n n 1n 2n 1 * Chứng minh rằng a1 a2  an an 1, n . Bài 3. (5,0 điểm) Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bán kính R, r tương ứng. Gọi P là điểm chính giữa cung BAC , QP là đường kính của O , D là giao điểm của PI và BC, F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng PA. Lấy E trên tia DP sao cho DE DQ . a) Chứng minh rằng IDF 900 . 2r b) Giả sử AEF APE , chứng minh rằng sin2 BAC . R Bài 4. (5,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S là tập hợp các điểm (;x y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) xy, . ii) 0 y x 2020 . a) Tính số phần tử của S. b) Hỏi có bao nhiêu tập con A gồm 2020 phần tử của S sao cho A không chứa hai điểm x1;y1 ; xy2;2 thỏa mãn: x1 x2 y1 y2 0 ?