Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 Trung học phổ thông năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bến Tre

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia Lớp 12 Trung học phổ thông năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bến Tre

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI BẾN TRE QUỐC GIA LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi: 17/09/2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4 điểm) x4 5y 6 Giải hệ phương trình: với xy, . 22 xy 5 x 6 Câu 2. (4 điểm) Cho đa thức Pxy ; không phải là đa thức hằng, thỏa mãn: Pxy ( ; ). Pzt ( ; ) Pxz( ytxt; yz) , xyzt,,, . Chứng minh rằng: Pxy ; chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức Qxy( ; ) x y, Hxy( ; ) x y. Câu 3. (4 điểm) 1 1 Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn: fx xyfy () fx() fy () với mọi xy, . 2 2 Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có BAC 300 . Hai đường phân giác trong và ngoài của ABC lần lượt cắt đường thẳng AC tại B1 và B2 ; hai đường phân giác trong và ngoài của ACB lần lượt cắt đường thẳng AB tại C1 và C2 . Giả sử đường tròn đường kính B1B2 và đường tròn đường kính CC12 cắt nhau tại một điểm P nằm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng BPC 900 . Câu 5. (4 điểm) u1 20;u2 30 Cho dãy số un được xác định bởi: . uuun * n 2 3n 1 nvôùi Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 15 uunn 1 là một số chính phương. HẾT