Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2020 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2020 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 24/9/2019 (Đề thi có 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1 (5,0 điểm) Cho hai dãy số (un ), ()vn xác định như sau u00 a; v b với hằng số thực ab, cho trước thỏa uv mãn 0 ab và u nn, v u. v với mọi số tự nhiên n . n 1 2 n 11 n n a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. b) Tìm giới hạn đó theo ab, . Câu 2 (5,0 điểm) Cho số nguyên tố p . Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2020n 2019  np 2018 (mod ) . Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi HO, lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; DE, lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh AB, của tam giác ABC.Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K, các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Chứng minh ba điểm KLM,, thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm CDOH,,, cùng nằm trên một đường tròn. Câu 4 (5,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức fx có hệ số thực và bậc là số tự nhiên lẻ sao cho: f x22 1 f x 1,  x . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh :
2. UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: Toán (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Đáp án Điểm Cho 2 dãy số ()un , ()vn xác định như sau: uv u a; v b với hằng số thực ab, cho trước thỏa mãn 0 ab và u nn , 00 n 1 2 1.a 2,0 vn 11 u n. v n với mọi số tự nhiên n . a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. Ta chứng minh quy nạp rằng un u n 1 v n và unnn 11 v v với mọi n . 1,0 Do đó, 2 dãy đã cho là đơn điệu và bị chặn bởi u00 a; v b nên hội tụ. uv limuv lim Từ u nn, cho qua giới hạn ta được limu nn hay limuv lim n 1 2 n 1 2 nn1,0 (đpcm). 1.b b) Tìm giới hạn đó theo ab, . 3,0 a Do 0 ab nên đặt cos với (0; ) . Ta chứng minh rằng b 2 1,0 ub cos .cos cos .cos2 n 21 2 2 2nn 1 2 Và vb cos .cos cos với mọi số nguyên dương n . n 212 2 2n 1,0 bbsin sin Từ đó rút gọn biểu thức ta được v  . n n 2n sin 2n 1,0 ba22 Vậy limuv lim . nn a arccos b Cho số nguyên tố p . Chứng minh rằng, tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2 2020n 2019  np 2018(mod ) . 5,0 Ta xét 2 trường hợp. Trường hợp 1. Nếu p là ước nguyên tố của 2020, khi đó, chỉ cần chọn np 2018 là thỏa mãn. 1,0 Việc này chứng tỏ tìm được vô số n . Trường hợp 2. Nếu p không là ước nguyên tố của 2020, khi đó (p ,2020) 1. np 2019  0(mod 1) 2,0 Chọn np 2018 1(mod )
3. Theo định lí Fecma app 1 1(mod ) ta được 2020pn 1 1(modpp ) 2020 2019  1(mod ) 1,0 nên 2020n 2019  np 2018(mod ) (thỏa mãn đề bài). Lại có, theo định lí Trung Hoa về dư thì hệ phương trình đồng dư luôn có nghiệm n vì 1,0 pp, 1 1 nên có vô số tự nhiên n thỏa mãn. (đpcm) Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi HO, lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; DE, lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh AB, của tam giác 3 ABC . Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K , các đường thẳng OE và AD cắt 5,0 nhau tại L . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Chứng minh ba điểm KLM,, thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm CDOH,,, cùng nằm trên một đường tròn. C x Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác HAB và ba điểm Q D KLM,, ta có: KLM,, P thẳng hàng khi và chỉ khi L KB LH MA 0,5 E . . 1 O KH LA MB K H KB LA (1) KH LH A B M KB S LA S Ta lại có BOD (cùng cạnh đáy OD), AOE (cùng cạnh đáy OE) và gọi R là KH SHOD LH SHOE bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và c AB thì 11 1 S AEdOAE. ( , ) c .cos AR . .cos B R. c .cos A .cos B 1,0 AOE 22 2 1 Tương tự S R. c .cos A .cos B BOD 2 Nên SSAOE BOD . Từ các kết quả trên ta có (1) SS khi và chỉ khi OH|| DE (nếu H và O cùng HOD HOE 0,5 phía đối với DE ) hoặc OH đi qua trung điểm ED (nếu H và O khác phía đối với DE ). Trước hết, vẽ tiếp tuyến Cx của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C , dễ dàng chứng minh CED  ABC  ACx suy ra DE|| Cx từ đó dẫn đến CO vuông góc với 0,5 DE (2). Ta chứng minh (1) xảy ra khi chỉ khi OH|| DE . Thật vậy, nếu xảy ra trường hợp còn lại, tức là OH đi qua trung điểm ED . 2,0 Khi đó, gọi PQ, lần lượt là trung điểm của ED , HC . Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn tâm Q , suy ra QP vuông góc với ED . Kết hợp (2) suy ra QP|| CO .
4. Xét tam giác CHO có Q là trung điểm HC và QP|| CO suy ra P là trung điểm OH nên EHDO là hình bình hành, suy ra OD|| EH . Điều này trái với giả thiết OD cắt BE . Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi OH|| DE , mà do (1) nên điều này khi và chỉ khi CO OH 0,5 khi và chỉ khi CDOH,,, cùng nằm trên một đường tròn. Tìm tất cả các đa thức fx hệ số thực, có bậc là số tự nhiên lẻ sao cho 4 5,0 f x22 1 f x 1,  x Thay x bằng x ta có f2 x 1 f x 2 1 f x 2 1 f 2 x 1 Suy ra f22 x f x 0,5 f()() x f x  x A Nên trong đó AB . f()() x f x  x B Nếu tập A vô hạn hay phương trình f x f x 0 có vô số nghiệm mà bậc của f là hữu hạn nên f( x ) f ( x )  0 f x f x ,  x (1) Lại có deg f là lẻ nên trong hai giới hạn limfx ( ) và limfx ( ) có đúng một giới hạn là x x 1,0 và một là , do đó tồn tại x0 (đủ lớn) sao cho fx và fx trái dấu (suy ra không bằng nhau) khi xx 0 điều này mâu thuẫn với (1) nên tập A không thể là vô hạn. Suy ra tập B là vô hạn hay phương trình f x f x 0 có vô số nghiệm mà bậc của f là hữu hạn nên f x f x ,  x . ff 00 f 00 Chọn x 0 và f 11 . 2 0,5 ff 1 0 1 f 11 Xét dãy số a01 1; ann a 1 Dễ thấy ann 1,  0 Ta chứng minh ann 1 a,  n 0 1 . 1,5 Thật vậy n 0 a10 2 1 a bài toán đúng với n 1 Giả sử (1) đúng đến n , suy ra an 2 a n 1 11 a n a n 1 . Vậy (1) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh f ann a , n 0 2 bằng quy nạp. Với n 01 f a00 f a suy ra (2) đúng với n 0 Giả sử f ann a ta chứng minh f ann 11 a , ta có 1,0 2 2 2 f an 1 1 f a n 1 1 1 f a n 1 a n a n 1 f ann 11 a hoặc f ann 11 a
5. 22 Nếu f an 1 a n 1 f a n 1 1 f a n 2 1 1 f a n 1 1 a n 1 0 (vô lí) do đó f ann 11 a . Vậy (2) được chứng minh, do đó phương trình f x x có vô số nghiệm nên f x x với mọi xR . 0,5 Thử lại ta thấy f x x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hết
6. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 25/9/2019 (Đề thi có 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 5 (7,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f : thỏa mãn điều kiện: f xy 1 f x f y 2 xy 1 với mọi xy, . Câu 6 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy các điểm EF, sao cho ED EC, FD FB . Gọi IJK,, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,, BDF CDE . a) Gọi H là trực tâm của tam giác JDK . Chứng minh rằng tứ giác IJHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trên BC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK luôn đi qua một điểm cố định khác điểm I. Câu 7 (6,0 điểm) Cho một đa giác đều AAA1 2 20 có 10 đỉnh của đa giác được tô màu xanh, 10 đỉnh còn lại được tô màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau. a) Gọi a là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh màu đỏ liên tiếp, b là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh màu xanh liên tiếp. Chứng minh ab . b) Xét tập hợp S gồm đường chéo AA14 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng độ dài với nó. Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi k là số đường chéo có hai đầu là màu xanh trong , tìm tất cả các giá trị có thể có của . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh :
7. UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN ĐỘI TUYỂN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: Toán (Đề thi có 04 trang) Ngày thi thứ hai: 25/9/2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu Đáp án Điểm Tìm tất cả các hàm f : thảo mãn điều kiện: 5 7,0 f( xy 1) f ( x ) f ( y ) 2 xy 1 với mọi xy, . (1) Thay x 0 vào (1), ta có f( 1) f ( x ). f (0) 1 với mọi x . Nếu f (0) 0 thì f sẽ là hàm hằng. Thay vào (1) dễ thấy không thỏa mãn. Vì vậy f (0) 0 . 1,0 Thay xy 1 vào phương trình (1) ta thu được f (1) 2 1. Nghĩa là f (1) 1 hoặc f (1) 1. Trường hợp 1: f (1) 1. Thay x bởi xy và y 1 vào phương trình (1) ta thu được f( xy 1) f ( xy ) 2 xy 1 với mọi xy, . 1,0 Kết hợp (1) ta thu được: f()()() xy f x f y với mọi xy, (2) Tiếp theo ta thay y 1 vào phương trình (1) ta nhận được f( x 1) f ( x ) 2 x 1 hay f( x 1) 2 x 1 f ( x ) với mọi x .(3) Lại thay và x bởi x 1 và y 1 vào phương trình (1) ta nhận được f( x 1) f ( x ) 2 x 1 hay f( x 1) 2 x 1 f ( x ) với mọi x .(4) Cho y bởi x vào phương trình (1) và sử dụng (2) (3) và (4) ta nhận được 2,0 2x2 1 f ( x 2 1) f 2 ( x ) f( x 1). f ( x 1) f2 ( x ) (2x 1 f ( x )).(2 x 1 f ( x )) f2 ( x ) 2f22 x 4 xf x 4 x 1 Suy ra 2 f ( x ) x 2 0 dẫn đến f() x x với mọi x . Trường hợp 2: f 11 . Bằng cách thay tương tự như ở trường hợp 1, ta có: f xy f x f y với mọi xy, . (5) f x 1 2 x 1 f ( x ) với mọi x . (6) f( x 1) 2 x 1 f ( x ) với mọi x . (7) 2,0 Tiếp theo, thay y bởi x vào phương trình (1) và sử dụng (5) (6) và (7) ta nhận được 2x2 1 f ( x 2 1) f 2 ( x ) f( x 1). f ( x 1) f2 ( x ) (2x 1 f ( x )).( 2 x 1 f ( x )) f2 ( x ) 2f x 4 x2 1 Suy ra f() x x2 với mọi x . Thử lại ta thấy cả hai hàm ở cả hai trường hợp đều thỏa mãn đề bài. 1,0
8. Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán f() x x với mọi x . và f() x x2 với mọi x . Cho tam giác nhọn ABC, D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Trên cạnh AC, AB lần lượt lấy các điểm EF, sao cho ED EC, FD FB . Gọi IJK,, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,, BDF CDE . 6 7,0 a) Gọi H là trực tâm của tam giác JDK . Chứng minh rằng IJHK nội tiếp. b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trên BC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK luôn đi qua một điểm cố định khác I. Do các tam giác FBD, EDC lần lượt cân tại FE, nên JD JB, KD KC . Ta có JDK 18000  JDB  KDC 180  IBC  ICB  BIC  JIK 6.a Lại có H là trực tâm tam giác JDK nên JHK 1800  JDK , 2,0 suy ra JHK  JIK 1800 Vậy tứ giác IJHK nội tiếp. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau (bài toán Simson đảo) Cho tam giác MJK . Từ điểm L nằm ngoài tam giác. Gọi BCD,, lần lượt là điểm đối xứng 6.b của L qua MJ,, MK JK . Giả sử BCD,, thẳng hàng. Chứng minh rằng MJLK là tứ giác nội tiếp.
9. Chứng minh bổ đề: Gọi giao của BL,, DL CL với MJ,, JK KM lần lượt là EGH,,. Do BCD,, thẳng hàng EGH,, thẳng hàng. Tứ giác JGLE và GHKL nội tiếp 0 1,0 JLK ELH (g.g) JLK  ELH mà ELH  EMH 180 0 JLK  EMH 180 MJLK nội tiếp (đpcm). Quay trở lại bài toán: Gọi M là điểm chính giữa cung BC của đường tròn ()O ngoại tiếp tam giác ABC, L là 1,0 điểm đối xứng với D qua JK. Ta có JIK  JDK  JLK suy ra L () IJK . Mặt khác, JL JD JBKL, KD KC nên LJB 2  LDB  LKC , suy ra 1,0 BLJ  CLK . Ta thu được BLC  JLK  BIC  JIK , suy ra L () BIC hay ML MB MC . 1,0 Suy ra JM, KM lần lượt là trung trực của LB, LC . Vậy điểm đối xứng với L qua 3 cạnh tam giác JMK là BCD,, . Mà BCD,, thẳng hàng, 1,0 theo bổ đề trên suy ra LJMK nội tiếp. Vậy ()IJK luôn đi qua điểm M cố định (đpcm). Cho một đa giác đều AAA1 2 20 có 10 đỉnh của đa giác được tô màu xanh, 10 đỉnh còn lại được tô màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau. a) Gọi a là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp, b là số các đoạn thẳng nối 6,0 hai đỉnh xanh liên tiếp. Chứng minh ab . 7 b) Xét tập hợp S gồm đường chéo AA14 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có cùng độ dài với nó. Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi k là số đường chéo có hai đầu là màu xanh trong S , tìm tất cả các giá trị có thể có của . Ta chia dãy các đỉnh AAA1, 2 , , 20 thành các cụm đỏ và cụm xanh, trong đó: Cụm đỏ là cụm đỉnh gồm các đỉnh đỏ liên tiếp. Cụm xanh là cụm đỉnh gồm các đỉnh xanh liên tiếp. Giả sử ta có n cụm đỉnh xanh là : XXX, , , (1 n 10 ) 7.a. 12 n 1,0 và x12, x , , xn tương ứng là số đỉnh xanh trong các cụm đó ( xi 1  i 1, n ). Nếu n 1 , tức là chỉ có một cụm xanh hay 10 đỉnh xanh cạnh nhau, do đó 10 đỉnh đỏ cũng phải cạnh nhau, tức là cũng chỉ có một cụm đỏ. Nếu n 2 thì mỗi cụm điểm xanh nằm giữa hai cụm đỉnh đỏ và ngược lại mỗi cụm đỉnh đỏ
10. lại nằm giữa hai cụm màu xanh nên số cụm đỉnh xanh sẽ bằng số cụm đỉnh đỏ bằng n . Giả sử n cụm đỉnh đỏ là: DDD12, , , n và d12, d , , dn tương ứng là số đỉnh đỏ trong các cụm đó ( di 1  i 1, n ). Do trong một cụm X có x đỉnh xanh cạnh nhau nên có x 1 cặp đỉnh xanh liên tiếp. Nên i i i 1,0 a ( x1 1) ( x 2 1) ( xnn 1) x 1 x n 10 n . Tương tự b ( d11 1) ( dnn 1) d d n 10 n . Vậy ab (đpcm). Trước hết, ta xét dãy các đỉnh ( gồm tất cả 20 đỉnh): AAAAAAA1 4 7 10 13 16 19 AAAAAAA2 5 8 11 14 17 20 (*) 7.b. AAAAAAA3 6 9 12 15 18 1 2,0 Các đường chéo nối 2 đỉnh liên tiếp trong dãy trên đều có cùng độ dài với AA14 nên tất cả đều thuộc S . Ngoài ra, dễ thấy rằng tất cả các đường chéo thuộc S cũng tạo thành bởi 2 đỉnh liên tiếp nào đó trong dãy trên. Tương tự câu a) ta chia dãy các đỉnh (*) thành các cụm đỏ và cụm xanh, trong đó: Cụm đỏ là cụm đỉnh gồm các đỉnh đỏ liên tiếp trong dãy đỉnh (*) . Cụm xanh là cụm đỉnh gồm các đỉnh xanh liên tiếp trong dãy đỉnh (*). 1,0 Và ta cũng thu được số cụm đỉnh xanh sẽ bằng số cụm đỉnh đỏ, giả sử bằng mm(1 10) Ta có số đường chéo có hai đầu màu đỏ trong tập S cũng chính là số đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp trong dãy (*) và số đường chéo có hai đầu màu xanh trong tập S cũng chính là số đoạn thẳng nối hai đỉnh xanh liên tiếp trong dãy (*) . Nên theo câu a) số đường 1,0 chéo có hai đầu màu đỏ trong tập S sẽ bằng số đường chéo có hai đầu màu xanh trong tập S và bằng km 10 , do 1 m 10 nên k {0,1, ,9} .