Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2021 - Sở GD và ĐT Đồng Nai

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2021 - Sở GD và ĐT Đồng Nai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN TỈNH ĐỒNG NAI THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) 1 Cho dãy số u xác định bởi u 2020 và u u với mọi n * . n 1 n 1 n 2021n Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho un 0 . Câu 2. (4 điểm) Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn 7x x4 47 y 2 . Câu 3. (4 điểm) 2 3 Tìm các hàm số f : thỏa mãn f a f() a f () b  f () a b , a, b . Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB khác A và B, gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, tiếp tuyến của đường tròn O tại D cắt đường thẳng AC tại điểm E, vẽ tiếp tuyến EF của đường tròn O tại tiếp điểm F khác D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BF và CD, gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC. Chứng minh BK 2 CK . Câu 5. (4 điểm) Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần, mỗi lần trực 1 ngày. Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho. HẾT + Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, không được sử dụng tài liệu. + Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .