Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực a xác định bởi: a a 1, a 2 và n n 1 1 2 3 an 1 a n 2 7 an 3 an với mọi số nguyên dương n. a) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi số nguyên dương n. a a a2 b) Tìm giới hạn lim2n 2 2 n 2 n 1 . n a2n a 2 n 1 Bài 2 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC,, CA AB lần lượt tại các điểm DEF,,. Gọi MN, lần lượt là giao điểm của AD, CF với I . Chứng minh rằng MN. FD 3. MF. ND Bài 3 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn ffx y2 fx 2 yfy 2 2 fxy , với mọi x,. y Bài 4 (5,0 điểm). Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 2018 gồm 20182 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số 1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1,,, a 2 a 2018 ở hàng thứ nhất, b1,,, b 2 b 2018 ở hàng thứ hai sao cho S a1 b 1 a 2 b 2  a 2018 b 2018 là một số chẵn. HẾT Họ và tên thí sinh: SBD: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - ĐỀ CHÍNH THỨC 2019 Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 (Đáp án-thang điểm gồm 05 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án. Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án-thang điểm Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực xác định bởi: a a 1, a 2 và an n 1 1 2 3 an 1 a n 2 7 an 3 an với mọi n nguyên dương. c) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi n nguyên dương. a a a2 d) Tìm giới hạn lim2n 2 2 n 2 n 1 . n a2n. a 2 n 1 Đáp án Điểm a) Từ hệ thức xác định dãy an , dễ dàng chỉ ra được a4 9, an 0,  n và * * 0,5 an 3 a n a n 1 a n 2 7,  n . Suy ra an 4 a n 1 a n 2 a n 3 7,  n . Do đó, với mọi n *, ta có * aaaaaaaannnnnnnn 413 2312 aaa n 421 nn aaa n 2 nn 3 ,.  n 1,0 Từ đó, do an 0,  n , ta được a a a a n 4 n 2 n 2 n ,. n * an 3 a n 1 Do đó, với mọi k * , ta có a2k 3 a 2 k 1 a 2 k 1 a 2 k 1 a2k 2 a 2 k . 1,0 a a a a 2k 4 2 k 2 2 k 2 2 k a2k 3 a 2 k 1 Suy ra 1
3. a2k 3 a 2 k 1 a 3 a 1 3 a2k 2 a 2 k * (1). a a a a 2k 4 2 k 2 4 2 5 a2k 3 a 3 Vì thế, với mọi k * , ta có a2k 3 3 a 2 k 2 a 2 k 1 k * (2). a2k 4 5 a 2 k 3 a 2 k 2 Từ đó, do a1,, a 2 a 3 và a4 là các số nguyên, hiển nhiên suy ra an là số nguyên với mọi n *. * a2n a 2 n 1 b) Với mỗi n , ta đặt un ,. v n Từ hệ thức xác định dãy an , suy a2n 1 a 2 n a a ra a ,. a a a  n * Do đó n 3 n 1 ,. n * Suy ra với mọi n *, ta n 3 n n 1 n 2 a a n 2 n 1,0 có a2n 2 a 2 n a2n 3 a 2 n 1 un 1 u n và vn 1 v n . a2n 1 a 2 n 1 a2n 2 a 2 n Vì thế un , v n là các dãy số tăng (3). a4 a 2 a3 a 1 Hơn nữa, từ 1 , ta có un 5,  n 2 và vn 3,  n 1. Vì thế a3 a2 un , v n là các dãy bị chặn 4 . Từ 3 , 4 suy ra các dãy un , v n có giới hạn hữu hạn khi n . Đặt limun ; lim v n  , ta có 5 u1 2; 3  v 1 2 (5). n n 1,0 1 1 Từ 2 , suy ra vn 3 ,  n 2, và un 5 ,  n 3. un vn Do đó chuyển qua giới hạn ở các hệ thức trên, ta được 1 15 165  3 6 . 1 15 165 0,5 5   10 a. a a2 a a 4 Suy ra lim 2n 2 2 n 2 n 1 lim2n 2 2 n 1  15 165 . n n a2n. a 2 n 1 a2n 1 a 2 n 15 Bài 2 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC,, CA AB lần lượt tại các điểm DEF,,. Gọi MN, lần lượt là giao điểm của AD, CF với I . Chứng minh MN. FD rằng 3. MF. ND Đáp án Điểm 2
4. (Xét thế hình như hình vẽ) Dễ thấy tứ giác DEMF là tứ giác điều hòa nên DE MF DF ME 1,0 Theo định lý Ptolemy thì DM DE DE. MF DF . ME DM . EF DM . EF 2 DE . MF 2. . 1,0 MF EF DE DN DM DN Tương tự, ta cũng có 2. . Suy ra 4. DM . NF 4 DN . MF . 1,0 EF NF MF NF Ta có DM. NF DN . MF MN . DF MN . FD 3 MF . ND . 1,0 Bài 3 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn ffx y2 fx 2 yfy 2 2 fxy , với mọi x,. y Đáp án Điểm Kí hiệu P x, y là khẳng định ffx y2 fx 2 yfy 2 2 fxyxy  , 1 . Với P x,1 f f x 1 f x2 f 1 2 f x 2 . Với P x, 1 f f x 1 f x2 f 1 2 f x 3 . 1,0 Từ 2 và 3 suy ra f 1 2 f x f 1 2 f x ,  x . Từ đây, nếu x 1 thì f 1 f 1 và vì vậy f x f x ,  x hay f là hàm chẵn. 1,0 Với P 1,1 f f 1 1 0, nói cách khác là tồn tại số thực b sao cho f b 0. Thay x b vào 3 thì 3
5. ffb 1 fbf 2 1 f 1 fbf 2 1 fb 2 0. Với Pb ,0 ffbfb 2 2 f 0 3 f 0 fb 2 0. 1,0 Với P 0, y f y2 y 2 f y 4 . Ta có hai trường hợp sau: Trường hợp 1 : Tồn tại b , b 0 sao cho f b 0. Như trên, ta có f b2 0. P b, y f f b y2 f b 2 y 2 f y 2 f by f y 2 y 2 f y 2 f by 1,0 f x 0,  x do(4) . Trường hợp 2 : f b 0 b 0. Pxx , ffxx 2 fx 2 xfx 2 2 fx 2 xfx 2 fx 2 0 2 2 f x x 0 f x x ,  x . Thử lại, dễ thấy f x 0,  x ; f x x2 ,  x thỏa mãn bài toán. 1,0 Bài 4 (5,0 điểm). Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 2018 gồm 20182 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số 1;0;1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1,,, a 2 a 2018 ở hàng thứ nhất, b1,,, b 2 b 2018 ở hàng thứ hai sao cho S a1 b 1 a 2 b 2  a 2018 b 2018 là một số chẵn. Đáp án Điểm Bổ đề Trong một nhóm 2018 người bất kì XXX1; 2 ; ; 2018 , luôn tồn tại hai người có số người quen chung trong nhóm là số chẵn. Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phản chứng. Giả sử hai người bất kì trong nhóm đều có số người quen chung là lẻ TH1. Tồn tại một người có số người quen là lẻ; giả sử là X1. Không mất tỉnh tổng quát, giả sử X quen XXX; ; ; với k lẻ. Áp dụng bổ đề bắt tay, trong một nhóm lẻ 1 2 3 1 k 3,0 người XXX2; 3 ; ; 1 k luôn tồn tại một người có số người quen trong nhóm là chẵn, giả sử là X 2. Khi đó X1 và X 2 có số người quen chung chẵn, mâu thuẫn. Ta có đpcm. TH2. Tất cả mọi người đều có số người quen là chẵn. Gọi A là tập người quen của XB1; là tập người X1 không quen. Khi đó AB 2017 và A chẵn, B lẻ. Sử dụng giả thiết phản chứng, do mỗi bạn trong A có số người quen chung với X1 là lẻ, do đó với XAi bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B. Lập luận tương tự, XBj bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B. 4
6. Gọi M là số cặp XXi; j với XAXBi , j và X i quen X j . Do XAi bất kì đều có lẻ người quen trong B và A chẵn, nên M chẵn. Do XBj bất kì đều có lẻ người quen trong A và B lẻ, nên M lẻ. Mâu thuẫn. Vậy bổ đề được chứng minh. Quay trở lại bài toán. Ta gọi nij là số được điền ở ô vuông đơn vị hàng i và cột j (tính từ trên xuống và trái sang). Từ giả thiết bài toán ta có nii 1  i 1,2, ,2018 và nij n ji 0;1  i j 1,2, ,2018 . Yêu cầu bài toán là chứng minh tồn tại hai chỉ 2018 1,0 số k; k 1,2, ,2018 . phân biệt sao cho S  nki n k i 2. Do nkk n k k 1 và i 1 nk k n kk nên nkkkk n n kk n kk 2 n kkkk n  2. 2018 Khi đó ta chỉ cần chứng minh S  nki n k i 2. i 1 i k, k 2 Từ 2018 số nij như trên, bây giờ ta xét 2018 người XXX1; 2 ; ; 2018 có mối quan hệ như sau: 0,5 - Nếu nij 0 i j thì X i không quen X j . - Nếu nij 1 i j thì X i quen X j . 2018 Khi đó tổng S  nki n k i chính là số người quen chung trong nhóm 2018 người đang i 1 0,5 i k, k xét của X k và X k . Áp dụng bổ đề trên, ta có điều phải chứng minh. HẾT 5
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi thứ hai: 15/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Bài 5 (6,0 điểm). Chứng minh rằng a) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. b) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố. Bài 6 (7,0 điểm). Cho dãy số thực x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: n n 0 a) xn 0 khi và chỉ khi n 0; 2n 2 b) xn 1 x n 3 1 x n với mọi n 0. 2 2 (Kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, nếu xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ. Bài 7 (7,0 điểm). Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại EF,. Gọi IJ, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE,; CDF hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. a) Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. b) Chng minh ba ng thng IM,, JN PQ ng quy. HẾT Họ và tên thí sinh: SBD: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
8. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Ngày thi thứ hai: 15/9/2018 (Đáp án-thang điểm gồm 04 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án. Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án-thang điểm Bài 5 (6,0 điểm). Chứng minh rằng c) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. d) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố. Đáp án Điểm a) Xét 2018 số 2019! 2;2019! 3; ;2019! 2019. Ta thấy 2019! k k  k 2,3, ,2019 và 2019! k k nên 2019! k là hợp số k 2,3, ,2019. Do đó 2018 số nguyên dương liên 2,0 tiếp 2019! 2;2019! 3; ;2019! 2019là hợp số. b) Ta sẽ chứng minh bài toán bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố. Đặt An i ; n i n 2017 ; An là tập 2018 số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ n. Gọi f n là số các số nguyên tố trong tập An. Từ định 2,0 * * nghĩa An ta có An 1\ A n A n \ A n 1 1  n . Do đó f n 1 f n 1  n . 1 Từ giả thiết phản chứng, không tồn tại n sao cho f n 2. 1
9. Đặt B n *; f n 2 ;theo phần a) ta có f 2019! 2 0 hay 2019! 2 B . Ta có tập B khác rỗng, theo nguyên lí cực hạn, tồn tại số nguyên dương n0 B nhỏ nhất. Khi đó 1,0 f n0 2. Hơn nữa dễ thấy f 1 2 nên n0 1. Suy ra n0 1 là số nguyên dương và f n0 1 2; f n0 f n 0 1 2 (mâu thuẫn với 1 ). 1,0 Vậy ta có điều phải chứng minh. Cho dãy số thực x thỏa mãn đồng thời các điều kiện Bài 6 (7,0 điểm). n n 0 c) xn 0 khi và chỉ khi n 0; 2n 2 d) xn 1 x n 3 1 x n với mọi n 0. 2 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, nếu xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ. Đáp án Điểm 2 2 Với n 0, n 1 thì x1 x 1, x 2 x 2 x 1 x 2 1. Từ điều kiện đã cho ta được 0,5 2 2 2 2 2 2 xxxxxxxxxxx21nnnnnn 1, 2  11212 nnnnn 12121221 xxxn nnn , 1 1 Ta chứng minh bằng quy nạp rằng x2n x 2 n 1 x 2 n 2 ,  n 1 2 Thật vậy, x2 x 1 x 0 và giả sử 2 đúng đến n . Khi đó 2 2 2 22 2 2 2 2 2 3,0 xxxxxx2222nnnnnn 111 xxxxxxxxx nnnnnnnnn 11 1 21 . Vậy 2 được chứng minh xong. Từ 1 , 2 suy ra x x x,  n 0. Vì x 0, x 1 nên x là dãy Fibonacci. n 2 n 1 n 0 1 n n 0 Sử dụng kết quả quen thuộc sau: Với dãy số Fibonacci x , nếu n m thì x x . n n 0 n m Chú ý: Thí sinh phải chứng minh tính chất này, nếu không bị trừ điểm 2,0 * Giả sử xn là số nguyên tố với n có ước nguyên tố lẻ. Khi đó n có dạng pq, p là số nguyên tố lẻ, q * , q 1. Do đó xpq x p . Mặt khác dễ thấy xn tăng kể từ n 1 nên xp x3 2. Do đó xpq là hợp 1,5 số, mâu thuẫn. Vậy với n 1 để xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ. 2
10. Bài 7 (7,0 điểm). Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại EF,. Gọi IJ, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE,; CDF hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt cạnh BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt cạnh AC tại N. a) Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ba đường thẳng IM,, JN PQ đồng quy. Đáp án Điểm (Xét thế hình như hình vẽ) a) Kí hiệu ABC là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi XY, lần lượt là giao điểm thứ hai của EI và ABE , FJ và CDF . Khi đó XY, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABI, CDJ và PX, PY lần lượt là phân giác của hai góc đối đỉnh APB, CPD nên PXY,, thẳng hàng. Gọi G là giao điểm của XE và YF. Ta có BPC ∽ XGY (g.g) và BPA∽ CP D. 2,0 XG BP AB Suy ra . Mặt khác AEB APB DPC DFC nên AIB DJC . Áp dụng YG CP CD XG AB XI định lí hàm số sin ta có hay IJ XY. YG CD YJ Ta có EAP EBP PAD nên AP là phân giác góc EAD. Biến đổi góc ta có 1,0 3
11. DCB BAE DCB BIJ JCB BIE EIJ 90 EXY 2 2 2 BAE DCB BAE EAD DCB 90 EAP 90 180 . 2 2 2 2 2 Do đó BIJC là tứ giác nội tiếp. b) Gọi UV, lần lượt là giao điểm của MI và BJ, NJ và CI. Ta có AMD 180 AMB 180 AIB 180 DJC 180 DNC AND , hay AMND là tứ giác nội tiếp. Suy ra DMN DAN DBC hay MN BC. Ta có IBQ JCQ và 3,0 BIU BAM 180 ABM AMB 180 ABD AIB 180 ACD DJC CDN CJV BU BQ nên BIU ∽ CJV; BIQ ∽ CJQ (g.g). Suy ra hay UV BC. CV CQ Ta có MN UV  BC. Áp dụng định lí Desargues cho hai tam giác BUM; CVN và gọi H là giao điểm của IM, JN ; P là giao điểm của BM,; CN Q là giao điểm của BU,; CV khi đó 1,0 HPQ,, thẳng hàng. Vậy IM,, JN PQ đồng quy tại H. Ta có điều phải chứng minh. HẾT 4