Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2021 Môn thi: TOÁN (Vòng 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/09/2020 Đề thi gồm có 01 trang Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4,0 điểm) 33 2 xy 613100 x xy Giải hệ phương trình: . 2 11 x xy 251 y Câu 2. (4,0 điểm) 2 un 2 * Cho dãy số un được xác định bởi u1 1 và un 1 với mọi n . 5 un Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn đó. Câu 3. (4,0 điểm) 2021 2020 Cho đa thức f ()xx ax1  axa 2020 2021 với hệ số nguyên thỏa mãn phương trình fx()42 fx () 2 0 có 2021 nghiệm nguyên (các nghiệm đôi một phân biệt). Chứng minh rằng không thể phân tích f ()x thành tích f ()xpxqx ().() với p()x , qx() là các đa thức có hệ số nguyên. Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn O . Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC. M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường tròn O (M không trùng A). Đường thẳng BH cắt đường tròn O tại D (D không trùng B). I là trung điểm BC. a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy tại một điểm. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC tại N (N không trùng I). Đường thẳng EN cắt đường thẳng qua H và song song với BC tại K. Chứng minh rằng bốn điểm M, H, K, D cùng thuộc một đường tròn. Câu 5. (4,0 điểm) a) Cho n là một số nguyên dương, xét tập hợp Sn {1, 2, 3, , } . Gọi p, q lần lượt là số tập con khác rỗng của S và có số phần tử là chẵn, lẻ. Chứng minh rằng pq 1. b) Cho m, n là các số nguyên dương và một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông có m hàng và n cột (nghĩa là bảng gồm mn ô vuông). Xét các tập hợp T khác rỗng gồm một số các ô vuông thuộc bảng trên sao cho mỗi hàng và mỗi cột của bảng đều có chứa ít nhất một ô vuông của T. Gọi pmn, là số các tập hợp T có số phần tử là số mn 1 chẵn và qmn, là số các tập hợp T có số phần tử là số lẻ. Chứng minh rằng pqmn,, mn (1) . HẾT