Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Trãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Trãi (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN TOÁN – 12 Ngày 7 tháng 9 năm 2019 Thời gian làm bài : 180 Phút 3 3 2 x y 3 y 3 x 2 Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 x 1 x 3 2 y y 2 Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số ()an thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3aann 1 và 65an 11 aa nn 2, n  . n Chứng minh rằng dãy ()an có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương x,, y z thỏa mãn xy yz zx 21 xyz . Chứng minh rằng x2 y 2 zxyz 2 102 . Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên ()an thỏa mãn: với mọi p nguyên tố và k nguyên dương thì apk 1 pa k 3 a p 13. Tính a2019 Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc với đường tròn (O). Câu 6. (1,0 điểm) Điền vào mỗi ô của bảng vuông 77 các số tự 1 2 3 4 5 6 7 nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được phép 8 9 10 11 12 13 14 chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi 15 16 17 18 19 20 21 1, hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong 22 23 24 25 26 27 28 hai ô kề với nó thêm 1 (hai ô kề nhau là hai ô chung 29 30 31 32 33 34 35 cạnh). Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng 36 37 38 39 40 41 42 nhau sau một số hữu hạn bước được hay không? 43 44 45 46 47 48 49
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020 3 3 2 x y 3 y 3 x 2 Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 x 1 x 3 2 y y 2 Lời giải: Điều kiện x2 1,2 y y 2 1( y 1) 2 0  ( y 1) 2 1 Ta có (1)33x33 2 x 2 y y x33 3 x ( yy 1) 3( 1) Xét f( xxx )3 3 thì f'( x ) 3 xx2 3 0  [ 1,1] và f'( xx ) 01  Suy ra fx() đồng biến trên [1,1] Mà xy,1 [ 1,1] nên f( x ) f ( y 1)  x y 1 Thay vào phương trình (2) ta được xx22 2 1 x 2 3 1 0 xx22 2 2 1 Bình phương hai vế x4 4 x 2 4 4(1 x 2 )  x 4 8 x 2 0  x 0 . Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn. Vậy (xy , ) (0,1) là nghiệm của phương trình Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số ()an thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3aann 1 và 65an 11 a n 2, a n  . n n Chứng minh rằng dãy ()an có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Lời giải: k Nếu  N sao cho aN 0, ta có 30aaNk N với mọi k nguyên dương hay ann 0 N  n 5 Lại có: 6an 1 6 a n 1 a n 1 5 a n 0 a n a 0 . 6 Ta được liman 0 theo nguyên lý kẹp. (1,0 điểm) n 1 Nếu ann 0  , thì 30an 10 a n a n a nên cũng theo nguyên lý kẹp thì 3 liman 0 Vậy liman 0
3. (1,0 điểm) Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương x,, y z thỏa mãn xy yz zx 21 xyz . Chứng minh rằng x2 y 2 zxyz 2 102 . Lời giải: Theo bất đẳng thức Schur, ta có xxyxz( )( )( yyxyz )( )( zzxzy )( )0 x3 y 3 z 3 3 xyzxyz 2 ( ) yzx 2 ( ) zxy 2 ( ) 9xyz x3 y 3 z 3 3 xyz 9 xyz ( x y z )() xy yz zx x2 y 2 zxy 2 yz zx 2() x y z 9xyz 9xyz x2 y 2 z 2 2() xy yz zx x2 y 2 zxyz 2 2(1 2 ) x y z x y z 9xyz 9xyz 3 Vậy chỉ cần chứng minh 10xyz 2 4 xyz 2 60xyz x y z x y z x y z 2 ()x y z 2 1 Lại có xy yz zx và xyz () x y z 3 3 27 Đặt t x y z , t 0. Từ giả thiết có 2 t 2 3 t3 1 (2tt 3)( 3)2 0  t 273 2 Ta có điều phải chứng minh. 1 Dấu bằng chẳng hạn khi x y z 2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên ()an thỏa mãn: với mọi p nguyên tố và k nguyên dương thì apk 1 pa k 3 a p 13. Tính a2019 Lời giải: Xét hai số nguyên tố q và p bất kỳ. Theo giả thiết thì apq 1 pa q 3 a p 13 (1) và apq 1 qa p 3 a q 13 (2) Từ (1) và (2) suy ra paq 3 a p qa p 3 a q  ( p 3) a q ( q 3) a p (3)
4. (0,5 điểm) Trong (3) 6 Cho p 3 và q 2, ta được 56aaaa  3232 5 Cho pq 2,7 ta được 5102aaaa7272  12 Trong (1), cho pq 2,3 được a 2 a 3 aa 13  a 23 a 13 suy ra a 5 7 3 22 2 2 5 2 (0,5 điểm) p 3 Mà từ (3) với mọi p nguyên tố thì aa . nên ap 3 p 5 2 p Vậy a2019 aa 2.1009 1 a 1009. 2 3 1009 13 1009.5 3(1009 3) 13 Hay a2019 8094 Đáp số a2019 8094 (0,5 điểm) Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C cắt các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc với đường tròn (O). Lời giải:
5. A S E R F H O D K B C G T M Gọi EF cắt BC tại G. Từ định lý Brocard thì H là trực tâm tam giác KAG, hơn nữa giao điểm R của AG và AH là điểm Miquel của tam giác ABC với E,F,G thẳng hàng. Vậy R và S cùng thuộc đường tròn đường kính AH. Mà tứ giác RKMG nội tiếp đường tròn đường kính GK nên RMD  RKG  RAH  RSH  RSD Từ đó RSMD là tứ giác nội tiếp, tức là (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác (SMD) có điểm chung là R. Ta chứng minh chúng tiếp xúc nhau tại R. (1,0 điểm) TB RB2 Thật vậy, kẻ tiếp tuyến tại R của đường tròn (O) cắt BC tại T thì TC RC 2 Lại có KH. KR KB22 KC nên tam giác HBK đồng dạng tam giác BRK và tam giác HCK đồng HB HK HK HC dạng tam giác CRK. Ta được RB BK CK RC
6. TBHB 2 Suy ra hay TH tiếp xúc với đường tròn (HBC). TCHC 2 Lại có HD là đường đối trung của tam giác HBC ứng với điểm H nên (BCDT , , , )1 , ta được TR2 TBTC TDTM , tức là TR tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMS. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác DMS tiếp xúc với đường tròn (O). Điều phải chứng minh. (1,0 điểm) Câu 6. Điền vào mỗi ô của bảng vuông 77 các số 1 2 3 4 5 6 7 tự nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần, được 8 9 10 11 12 13 14 phép chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số 15 16 17 18 19 20 21 trong ô đó thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô 22 23 24 25 26 27 28 nào đó kề với nó đi 1, hoặc giảm số trong ô đó đi 29 30 31 32 33 34 35 1 và tăng mỗi số trong hai ô kề với nó thêm 1 36 37 38 39 40 41 42 (hai ô kề nhau là hai ô chung cạnh). Hỏi có thể 43 44 45 46 47 48 49 đưa tất cả các số trong bảng về bằng nhau sau một số hữu hạn bước được hay không? Lời giải: Câu trả lời là có thể. Xét quy trình sau: x a -1+1+1 x-1 a+1 +1-1-1 x-2 a+1 b c b+1 c b+2 c-1 x-3 a +1-1-1 x-2 a +1-1-1 x-3 a+1 +1-1-1 b+1 c b+1 c-1 b c Nhận thấy, sau một quy trình như vậy, ta có thể giảm số trong một ô đi 3 đơn vị mà không làm ảnh hưởng đến các ô khác. Lưu ý rằng vị trí của x,,, a b c có thể thay đổi cho nhau để x có thể ở bất kỳ góc nào trong 4 góc của một hình vuông 22 như trên. (0,5 điểm) Vậy sau một số hữu hạn bước, ta có thể chuyển bảng về chỉ còn các số 0,1,2 như hình vẽ sau
7. 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 Xét bảng 66 ở phía dưới bên trái, gồm 4 hình vuông 33 giống nhau 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 Bằng các thao thác với các ô 22 trên cùng bên trái và dưới cùng bên phải của mỗi ô 33 đó như sau 2 0 -1+1+1 1 1 1 2 +1-1-1 1 1 và 0 1 1 1 2 0 1 1 Ta thu được bảng hầu hết là số 1. 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
8. Bây giờ xử lý nốt hàng trên cùng 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự với cột ngoài cùng. Vậy, ta có thể đưa tất cả về thành số 1. (0,5 điểm)