Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp quốc gia năm 2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Tháp

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp quốc gia năm 2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Đồng Tháp

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Đề thi gồm có 01 trang Ngày thi: 28/07/2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương n 2 , xét số thực un 1 sao cho phương trình uxn  x có đúng n nghiệm nguyên (theo ẩn x và uxn  là phần nguyên của uxn ). 1. Chứng minh rằng un  1,  n , n 2 . 2. Với mỗi cách xác định của dãy un thỏa điều kiện trên. Chứng minh rằng dãy un luôn có giới hạn và tìm giới hạn ấy. Câu 2. (5,0 điểm) (1)(1)(1)5xyz 1. Giải hệ phương trình: 2 . x yz x6 2. Xét số T 32nn, trong đó n là số nguyên dương, n 2 . Chứng minh rằng: a) Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố. b) Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố. Câu 3. (3,0 điểm) Với mỗi m * ta kí hiệu (2mm ) ( !)2 , (2mmm 1) ( !).(( 1)!) . Cho đa thức p(x ) hệ số nguyên, có bậc lớn hơn hoặc bằng k k * và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên n (0)n sao cho đa thức qx() px () n có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng |nk | ( ) . Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. 1. Gọi S là giao điểm của EF với BC. Chứng minh SI vuông góc với AD. 2. Đường thẳng d thay đổi, đi qua S và cắt đường tròn I tại hai điểm phân biệt M, N. Các tiếp tuyến tại M, N của I cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định. 3. Gọi K là giao điểm của ME và NF, G là giao điểm của MC và NB. Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD. Câu 5. (2,0 điểm)
2. Viết n số thực có tổng bằng n 1 (n 1) quanh một đường tròn. Chứng minh rằng ta có thể gắn nhãn cho các số đó theo chiều kim đồng hồ là x1,,,x2 xn sao cho: x1 x2  xk k 1, 1 k n. HẾT + Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. + Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . + Chữ ký giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Chữ ký giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .