Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

1. Ề I C Ọ ỘI UYỂ ỌC SI IỎI ĂM ỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 21 12 2015 (Đề thi có 1 trang) Câu 1 (3,0 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x22 8 x 38 6 y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố. Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho x x22 2015 y y 2015 2015. Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016. 1 1 1 b) Chứng minh rằng: Nếu ax 3 by3 cz 3 và 1 thì x y z 3 ax 2 by2 cz 2 3 a 3 b 3 c . Câu 3 (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 x24 4 x 2 11 x 4 x( x y ) y2 4 y 1 0 b) Giải hệ phương trình: 22 y( x y ) 2 x 7 y 2 Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. S a) Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và AEF cAos2 . SABC 222 b) Chứng minh rằng: SABCSDEF 1 cos cos cos . ABC c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0điểm). Cho a, b ,c ố thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a3 b 3 c 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 P. 2abc c2 ab a 2 bc b 2 ca HẾT Họ và tên thí sinh: , SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ HỌC SINH GIỎI ĂM ỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN Đây ời giải ơ ược, thí sinh có lời giải khác m đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo th ng điểm dưới đây Bài ộ du Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x22 8 x 38 6 y 2x 2 4x 19 3y2 2(x 1)2 3(7 y2 ) (*) 0,5 T thấy: 2(x 1)2 2 7 y2 2 y ẻ 0,25 a 2 2 2 T ại có: 7 y 0 y 7 . Do đó y 1 y 1 0,25 2 Lúc đó: 2(x 1) 18 (x 1) 3nên x1 2;x 2 4 0,25 T thấy các cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên nghiệm 0,25 1 củ phương trình. Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 0,25 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 0,25 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) 0,25 b Vì n ố tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên 0,25 n2 – 2n + 2 = 1 0,25 n = 1 0,25 Cho x x22 2015 y y 2015 2015. Hãy tính A iết: A x y 2016? Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với xx 2 2015 t được: 0,5 2015 y y22 2015 2015 x x 2015 (1) a Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với yy 2 2015 t được: 0,5 2015 x x22 2015 2015 y y 2015 (2) Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn t được: x + y = 0. 0,75 2 Vậy A = 2016. 0,25 1 1 1 ) Chứng minh rằng: Nếu ax 3 by3 cz 3 và 1thì x y z 3 ax 2 by2 cz 2 3 a 3 b 3 c Đặt: ax 3 by3 cz 3 t . Ta có: 0,25 2 2 2 t t t 3 3 ax by cz 3 t vì (1) 0,5 x y z Mặt khác: 3 t x3 a y3 b z3 c 0,5 3 3 3 3 1 1 1 3 Suy ra: a b c t t (2) 0,5 x y z Từ (1) v (2) uy r điều phải chứng minh. 0,25 4 x24 4 x 2 11 x 4 (1) 0,5 3 6x2 222 x x 2 2211 x x 2 22 x x 2 22 x a 2 6 xx 2 2 xx2 22 2 11 0,5 x22 2 x 2 x 2 x 2
3. do x22 2 x 2 ( x 1) 1 0 với mọi x xx2 22 0,5 Đặt t (t > 0) xx2 22 T được phương trình: 6tt2 11 2 0 Giải (*) được t = 2 thỏ mãn yêu cầu x 2 2x 2 x 2 2x 2 5 7 Nên t 2 4 3x 2 10x 6 0 x x 2 2x 2 x 2 2x 2 3 0,5 x( x y ) y2 4 y 1 0 x2 1 y ( y x ) 4 y 22 22 y( x y ) 2 x 7 y 2 y( x y ) 2( x 1) 7 y x2 1 Dễ thấy y 0 , ta có: xy 4 0,5 y . x2 1 (xy )2 2 7 y x2 1 u v 4 u 4 v v 3, u 1 Đặt u , v x y t có hệ: 22 b y v 2 u 7 v 2 v 15 0 v 5, u 9 0,5 x22 1 y x x 2 0 xy 1, 2 +) Với vu 3, 1t có hệ: . x y 33 y x xy 2, 5 0,5 x222 1 9 y x 1 9 y x 9 x 46 0 +) Với vu 5, 9 ta có hệ: VN. x y 5 y 5 x y 5 x 0,5 KL: Vậy hệ đã cho có h i nghiệm: (1;2) và ( 2;5) 4 A E F H O B C D AE T m giác ABE vuông tại E nên co A = 0,5 AB AF a Tam giác ACF vuông tại F nên co A = . 0,5 AC AF Suy ra = AEF ABC( ) c g c 4 AC 0,5
4. 2 SAEF AE 2 Từ AEF ABC suy ra cos A 0,5 SABC AB S S Tương tự câu , BDF cos22BC ,CDE cos . 1,0 SSABC ABC SDEF SSSSABC AEF BDF CDE 222 b Từ đó uy r 1 cosABC cos cos SSABC ABC 0,5 222 Suy ra SABCSDEF 1 cos cos cos . ABC 0,5 c) Chứng minh đượcOA EF;;. OB  DF OC  ED 0,5 Có 2SSSSABC 2.( AEOF BDOF CDOE ) 0,5 BC AD OA EF OB FD OC ED 0,5 c BC.() AD R EF FD ED 0,5 BC. AD 0,5 EF FD ED R Chu vi t m giác DEF ớn nhất khi v chỉ khi AD ớn nhất; AD ớn nhất khi v chỉ khi A điểm chính giữ cung ớn BC. 0,5 a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac P 0,5 2bc 2ca 2ab c2 ab a 2 bc b 2 ac a2 a 2 bc1b 2 b 2 ac1c 2 c 2 ab1 M ;; nên 2bc 2bc 2 2ac 2ac 2 2ab 2ab 2 0,5 xy Với các ố dương x, y t có 2 (x y)2 0 uôn đúng, dấu ằng yx 0,25 xảy r khi v chỉ khi x = y. 5 Áp dụng t có: c2 ab 2ab a 2 bc 2bc b 2 ac 2ac 3 ≥ P 222 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2 0,5 39 2+2+2 - 22 Dấu ằng xảy r khi v chỉ khi = = c a3 b 3 c 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Kết uận :giá trị nhỏ nhất củ P 2 2 2 0,25 2abc c ab a bc b ca 9 ằng khi a = b = c 2 Đính chính :Câu 5: P≥