Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi năm học 2020-2021 môn Toán Lớp 12 vòng 1 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi năm học 2020-2021 môn Toán Lớp 12 vòng 1 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du

1. SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: 12 – Vòng: 1 (Đề thi có: 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5,0 điểm) 1 x2 a) Giải phương trình: x4 22x3 x2 21x x3 x . x xy 2 y x2 2 b) Giải hệ phương trình: . 222 y 2(x 1)x 2 x 3 2x 4x Bài 2. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x yz 1. Chứng minh rằng: 1 x 1 y1 z xzy 2 . y zzx xy z yx Bài 3. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n , luôn tồn tại m sao cho: n 21 m 1 m. Bài 4. (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn C . Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Gọi I123,,,III4 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các tam giác ABN, BCM, CDN và ADM tương ứng với các đỉnh A, C, D và D. a) Chứng minh các điểm I123,,,III4 đồng viên. b) Gọi I là tâm đường tròn qua I123,,,III4 . Chứng minh PI vuông góc với MN. Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn: f (x fy())(())()()22 ffx x fy fx x y, xy, . HẾT