Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2020-2021 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN BẮC GIANG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Ngày thi: 22/09/2020 Câu 1. (4 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 abc và a b c ab bc ca . Chứng minh rằng bc( a 1)2. Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O , đường cao AD, trực tâm H. Đường tròn đường kính AH cắt O tại điểm Q khác A. Đường tròn đường kính HQ cắt O tại điểm K khác Q. Gọi M là trung điểm BC. a) Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt BC tại X. Chứng minh rằng XK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM. b) Đường thẳng KQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM tại N khác K. Chứng minh rằng MN chia đôi AQ. Câu 3. (4 điểm) Cho số thực a và dãy số u xác định bởi ua , u uua2 3 (n 1) n n 1 1 n 1 nn . 1 a) Chứng minh rằng, với dãy a ;0 , dãy số hội tụ và tìm giới hạn đó. 2 23 b) Cho a 2020 . Chứng minh rằng un 2020 luôn có ít nhất n 4 ước số nguyên tố khác nhau. Câu 4. (4 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho 2k 1 và 4k 1 đều là các số chính phương. b) Với mỗi số tự nhiên k thỏa mãn đề bài, chứng minh rằng 35∣ k2 12 k . Câu 5. (4 điểm) Sắp đến ngày Tết Trung thu, tổ chức Smile Foundation của trường THPT chuyên Bắc Giang làm bánh gây quỹ từ thiện thường niên. Sản phẩm năm nay là một cặp bánh dẻo, bánh nướng có tổng giá cặp bánh đó là 50000 đồng. Do số lượng có hạn nên mỗi bạn chỉ được mua đúng một cặp. Để mua bánh các bạn học sinh trường chuyên phải xếp hàng. Biết rằng trong hàng có mn bạn, trong đó m bạn cầm tờ 50000 đồng và n bạn cầm tờ 100000 đồng mn, *,m n . Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để không bạn nào phải chờ tiền trả lại, giả thiết rằng ban đầu ban tổ chức không cầm theo đồng tiền nào. HẾT Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .