Đề thi chọn đội tuyển tham dự học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2018 - Sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển tham dự học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Lớp 12 năm 2018 - Sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 27/10/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. (7 điểm) Cho hàm số f: ⟶ thỏa điều kiện (x + f(y))|( f(x) + xf(y)), ∀ x, y ∈ (*) . a) Giả sử f không là hàm hằng, tìm f(2). b) Tìm tất cả hàm số f thỏa điều kiện (*). Bài 2. (7 điểm) a) Cho P(x) là một đa thức hệ số nguyên và năm số nguyên phân biệt x1, x2, x3, x4, x5 thỏa điều kiện P(xi)=5 với i=1,2,3,4,5. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n nào để -6 P(n) 4 hoặc 6 P(n) 16. b) Cho x1, x2, , xk ; y1, y2, , yn là các số nguyên phân biệt (với k, n ∈ ) sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên P(x) thỏa điều kiện Px(12 ) Px ( ) Px (k ) 58 . PP(y12 ) (y ) P (yn ) 2017 Xác định giá trị lớn nhất của kn. Bài 3. (6 điểm) Trên một đường thẳng có 20 điểm P1, P2, , P20 được sắp theo thứ tự đó, mỗi điểm sẽ được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu để cho nếu số các điểm liền kề được tô màu giống nhau thì luôn là một số lẻ ? HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 27/10/2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung cần đạt Điểm Bài 1. (7 điểm) Cho hàm số f: ⟶ thỏa điều kiện (x + f(y))|( f(x) + xf(y)), ∀ x, y ∈ (*) . a) Giả sử f không là hàm hằng, tìm f(2). b) Tìm tất cả hàm số f thỏa điều kiện (*). a. Đặt P(x,y) là x + f(y)| f(x) + xf(y) - Với P(1,1): 1+f(1)| 2f(1) ⟹1+f(1)| 2 hay f(1)=1 1 điểm - Với P(2,2): 2+f(2)| 3f(2) ⟹ 2+f(2)|6 hay f(2)=1 hoặc f(2)=4 Nếu f(2)=1 thì P(2,n): 2+f(n)| f(2)+2f(n)=1+2f(n) ⟹ 2+f(n)|3 với mọi n hay f(n)=1 với mọi n. 1 điểm Vậy f(2)=4. b. Với P(n,m): n+f(m)| f(n)+nf(m) ⟹ n+f(m)| f(n)-n2 với mọi n,m. 1.5 điểm 2 2 Giả sử tồn tại n0 >1 mà f(n0) n0 khi đó n0 + f(m)| f(n0) - n0 suy ra f(m) bị chặn. 1 điểm Với P(n,1): n+1| f(n)+n ⟹ n+1| f(n)-1 và do f(n) bị chặn nên tồn tại N để f(n)=1 với mọi n>N. 1 điểm Cho n>N và mN với P(n,m): n+f(m)| 1+nf(m) hay n+f(m)| f(m)2-1 với mọi n>N suy ra f(m)=1 với mọi mN. Hay f(m)=1 với mọi n. 1.5 điểm Vậy f(n)=1 hoặc f(n)=n2 với mọi n. Bài 2. (7 điểm) a) Cho P(x) là một đa thức với hệ số nguyên và năm số nguyên phân biệt x1, x2, x3, x4, x5 thỏa điều kiện P(xi)=5 với i=1,2,3,4,5. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n nào để -6 P(n) 4 hoặc 6 P(n) 16. b) Cho x1, x2, , xk ; y1, y2, , yn là các số nguyên phân biệt với k, n ∈
3. sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên P(x) thỏa điều kiện Px(12 ) Px ( ) Px (k ) 58 . PP(y12 ) (y ) P (yn ) 2017 Xác định giá trị lớn nhất của kn. a. Ta có P(x)-5= (x-x1)(x-x2) (x-x5).Q(x) với Q(x) là đa thức với hệ số 1 điểm nguyên. Giả sử tồn tại số nguyên n để -6 P(n)4 hoặc 6 P(n)16 suy ra 0 1 thì x1 x2, tương tự như thế trong các số yi-x2 cũng có các trường hợp sau 1 điểm 2x2=y1+y3 hoặc 2x2=y3+y4 (những th khác tương ứng) Nếu 2x2=y1+y3 thì |y4-x2| 653 suy ra |y2-x2|=653 và |y4-x2|=3 Kết hợp với (*) thì trường hợp này không đúng. Nếu 2x2=y3+y4 thì ta kiểm tra như trên (loại). Vậy n 1 mà đa thức P(x)=653.x2.(x2-4)+2017 thỏa yêu cầu bài 1.5 điểm nên giá trị lớn nhất của k.n=6 Bài 3. (6 điểm) Trên một đường thẳng có 20 điểm P1, P2, , P20 được sắp theo thứ tự đó, mỗi điểm sẽ được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu để cho số các điểm liền kề được tô màu giống nhau luôn là một số lẻ ?
4. Cho n là một số nguyên dương, gọi sn là số cách tô màu thỏa điều kiện 1 điểm bài toán cho n điểm và a , b lần lượt là số cách tô màu thỏa điều kiện bài n n toán mà điểm Pn được tô bởi màu xanh, màu đỏ. Khi đó sn=an+bn với n1 Ta thấy ngay an=bn với mọi n1, ta xét cho trường hợp tô màu n+1 điểm 1 điểm Để tô điểm Pn+1 bởi màu đỏ ta có hai cách sau: - Mỗi cách tô màu của của an ta sẽ tô màu đỏ cho điểm Pn+1. - Mỗi cách tô màu của bn-1 ta sẽ tô các điểm Pn, Pn+1 cùng màu đỏ Khi đó an+1=an+bn-1=an+an-1 với mọi n>1. 2 điểm Ta có a1=1, a2=1 do đó a20=6765 và b20=6765 nên s20=13530. 2 điểm Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng tất cả các kiến thức đã học để tiếp cận bài toán. Mọi cách giải đúng khác đều được chấm theo thang điểm tương tự.