Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Đoan Hùng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Đoan Hùng (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐOAN HÙNG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Lưu ý: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng. - Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi; không làm bài trên đề thi. A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 11 1 Câu 1: Giá trị của biểu thức P = + ++ bằng 1++ 2 2 3 2022 + 2023 A. 2022− 1. B. 1− 2023. C. 1− 2022. D. 2023− 1. Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a để 3 (a+3) aa − 3 −+ 1 a − 29 9. C. −9 ≤S ≤− 8. D. S <−9. AK Câu 8: Cho tam giác cân ABC tại A với AB= AC =8, BC = 10, đường cao BK. Tỷ số bằng AC 7 12 21 1 A. . B. . C. . D. . 32 33 64 8 Câu 9: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và I là trung điểm của AG . Gọi K là điểm nằm trên cạnh AC sao cho ba điểm B , I , K thẳng hàng. Biết tam giác ABC có diện tích bằng 30. Diện tích của tam giác AIK bằng A. 6 . B. 2. C. 1. D. 3. Câu 10: Cho hình thoi ABCD có AB= a, ABC = 60 °. Điểm G là trọng tâm tam giác ADC . Độ dài đoạn BG bằng a 3 a 3 23a . . . A. a. B. 2 C. 3 D. 3 Trang 1/3
2. Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2 . Độ dài cạnh BC bằng A. 24cm. B. 25cm. C. 20cm. D. 36cm. = = Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB3, BC 4. Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh a PQ = AB,. CD Qua M hạ MP⊥ AC , MP cắt BC tại Q sao cho B nằm giữa CQ,. Độ dài cạnh b a với ab, ∈ và b là phân số tối giản. Giá trị ab− 2 bằng A. 43. B. 83. C. 103. D. 63. Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC. A′′′ B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Tổng diện tích các mặt bên bằng 6a2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng a3 3 33a3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 4 ABC O, R. (O) Câu 14: Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm bán kính Các tiếp tuyến của tại BC, cắt nhau tại P . Gọi DE, tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB,. AC Diện tích tam giác ADE bằng 27 3R2 27 3R2 93R2 93R2 A. . B. . C. . D. . 8 16 16 8 Câu 15: Cho đường tròn (O;5) và một điểm P thay đổi nhưng luôn nằm ở bên trong đường tròn đó. Qua P ta kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau. Tổng PA22+++ PB PC 2 PD 2 có giá trị bằng A. 200. B. 75. C. 25. D. 100. Câu 16: Một chiếc đu quay có bán kính 75m , tâm của vòng quay ở độ cao 90m , thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét? A. 127,5 m . B. 165 m . C. 127 m . D. 165,5 m . B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( xy; ) thỏa mãn 2x .xyy22= 9 ++ 6 16. b) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho nn43−+8 23 n 2 − 26 n + 10 là số chính phương. Câu 2 (4,0 điểm). Trang 2/3
3. a) Giải phương trình 2xxx32+ 3 + 6 + 16 − 4 −= x 2 3. b) Cho abc,, là các số thỏa mãn điều kiện: a333++= b c3 abc và abc++=1. Tính giá trị biểu thức Pab=++5 6 2023 c. c) Cho Px( ) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ 2 . Biết PP(1) .( 2) = 2023. Chứng minh rằng phương trình Px( ) = 0 không có nghiệm nguyên. Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , gọi H là trung điểm của cạnh BC, M là điểm bất kỳ thuộc đoạn BH ( M khác B ). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN= BM. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng bốn điểm OM,,, HI cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng tam giác MNP đều. c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Câu 4 (1,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3(bc+−) 43ac+ 12(bc) T = ++ 2a 3 b 23 ac+ HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3/3
4. PHÒNG GD VÀ ĐT ĐOAN HÙNG ĐÁP ÁN CHẤM LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án Câu Đáp án 1 D 11 B 2 C 12 A 3 B 13 C 4 A 14 B 5 D 15 D 6 C 16 A 7 B 8 A 9 C 10 D II. PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic; - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC; - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Hướng dẫn chấm tự luận Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho nn43−+8 23 n 2 − 26 n + 10 là số chính phương. b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( xy; ) thỏa mãn 2x .xyy22= 9 ++ 6 16. Ý Đáp án Điểm Ta có 2 2 2 22 n43−8 n + 23 n 2 − 26 n += 10( n2 − 1) − 8 nn( − 1) + 9( n − 1) =−( n 1) ( n − 3) + 1  2 0,25 Do đó nn43−+8 23 n 2 − 26 n + 10 là số chính phương khi (n −=10) hoặc A) 2 (n −+31) là số chính phương. (1,0 2 điểm) Trường hợp 1: (nn−1) =⇔= 0 1. 0,25 Trang 1/3
5. 2 Trường hợp 2: (n −+31) là số chính phương. 22 Khi đó (n−3) += 1 k22 ⇔ k −( n −3) =⇔ 1( kn −+ 3)( kn + − 31) = kn −+=31  0,25 kn+−=31 Vì nk, ∈ nên (kn−+3)( kn +− 31) =⇔ kn−+=−31  kn+−=−31 kn−+=31 k = 1 +) ⇔ kn+−=31 n = 3 kn−+=−31 k =− 1 0,25 +) ⇔ kn+−=−31 n = 3 Vậy n =1; n = 3. x 22= ++ x 2 2 Ta có 2 .xyy 9 6 16 ⇔2 .xy =( 3 ++ 1) 15 0,25 2 Nhận thấy (3y + 1) +≡ 15 1( mod 3) nên 2x .x2 ≡ 1( mod 3) 0,25 Mà x2 là số chính phương nên x2 ≡1( mod 3) hoặc x2 ≡ 0( mod 3) 0,25 Do đó 2x .x2 ≡ 1( mod 3) khi 2x ≡ 1( mod 3) , suy ra x chẵn⇒=xk2. 0,25 2k 22 kk Ta được 2 .( 2ky) =( 3 ++ 1) 15 ⇔(2.ky − 3 − 1)( 2. ky + 3 += 1) 15 b) Do yk; ∈ nên 2.kkky+ 3 +> 1 2. ky − 3 − 1 0,25 (2,0 Từ (2.kkky− 3 − 1)( 2. ky + 3 += 1) 15ta được điểm) Trường hợp 1: 2.k ky− 3 −= 1 1 2k .2k = 8 ⇔ ( Không có k ∈ thỏa mãn) 0,25 k 2 .ky+ 3 += 1 15 3y += 17 Trường hợp 2: 2.k ky− 3 −= 1 3 2k .2k = 4 k=1 ⇔⇔ k  0,5 2.ky+ 3 += 1 5 3y += 11 y = 0 Vậy xy=2; = 0. Câu 2 (4,0 điểm). a) Giải phương trình 2xxx32+ 3 + 6 + 16 − 4 −= x 2 3. b) Cho abc,, là các số thỏa mãn điều kiện: a333++= b c3 abc và abc++=1. Tính giá trị biểu thức Pab=++5 6 2023 c. c) Cho Px( ) là một đa thức bậc n với hệ số nguyên, n ≥ 2 . Biết PP(1) .( 2) = 2023. Chứng minh rằng phương trình Px( ) = 0 không có nghiệm nguyên. Ý Đáp án Điểm 2xxx32+ 3 ++≥ 6 16 0 x ≥−2 Điều kiện: ⇔ ⇔−24 ≤x ≤ . 0,25 a) 40−≥x x ≤ 4 Trang 2/3
6. (1,5 (*) ⇔ 2xxx32 + 3 + 61633340 + − + − −=x điểm) 2xxx32+ 3 +− 6 11 x −1 0,5 ⇔ +=0 2xxx32+ 3 +++ 6 16 3 3 34+−x 2 (x−1)( 2 xx ++ 5 11) x −1 ⇔ +=0 2xxx32+ 3 +++ 6 16 3 3 34+−x 0,25 2xx2 ++ 5 11 1 ⇔−(x 10)+ = 2xxx32+ 3 +++ 6 16 3 3 34+−x x = 1 0,25  ⇔ 2xx2 ++ 5 11 1  +=01( )  2xxx32+ 3 +++ 6 16 3 3 34+−x 2 2 5 63 ∀x ∈−[ 2;4] , Ta có: 2xx++= 5 11 2 x + + >0 48 2xx2 ++ 5 11 1 ⇒ + >0, ∀x ∈−[ 2;4] 0,25 2xxx32+ 3 +++ 6 16 3 3 34+−x ⇒ (1) vô nghiệm. Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1 . 3 Ta có a333++= b c3 abc ⇔( a + b) − 3 ab( a ++− b) c3 30 abc = 3 ⇔(ab +) + c3 −30 ababc( ++) = 3 0,5 ⇔(abc ++) −3( abcabc +) ( ++) − 3 ababc( ++) =0 ⇔(a ++ b c)( a222 + b + c − ab − bc − ca) =0 b) ⇔++−−−=222 0,5 (1,5 a b c ab bc ca 0 222 điểm) ⇔(ab −) +−( bc) +−( ca) =0 ⇔==abc 1 Mà abc++=1 nên ⇔===abc . 3 5++ 6 2023 2034 0,5 Vậy Pab=++5 6 2023 c = = =678. 33 Giả sử Px( ) = 0 có nghiệm nguyên a ∈ 0,25 Khi đó Px( ) =( x − aQx) ( ) với Qx( ) là đa thức với hệ số nguyên. c) Ta có P(1.) P( 2) =−−( 1 a) .2( aQ) .( 1.) Q( 2) 0,25 (1,0 Nhận thấy 1−−aa ;2 là 2 số nguyên liên tiếp nên 1−−aa .2 2. 0,25 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) Mà P(1) . P( 2) =−−( 1 a) .( 2 aQ) .( 1) . Q( 2) = 2023 không chia hết cho 2. 0,25 Vậy giả sử sai hay Px( ) = 0 không có nghiệm nguyên. Trang 3/3
7. Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) , gọi H là trung điểm của cạnh BC, M là điểm bất kỳ thuộc đoạn BH ( M khác B ). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN= BM. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng bốn điểm OM,,, HI cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh rằng tam giác MNP đều. c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. Ý Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) a) Do H là trung điểm của BC nên OH⊥ BC . 0,25 Ta có ∆OBM =∆ OCN( c −− g c) nên ∆OMN cân tại M . 0,5 Mà I là trung điểm của MN nên OI⊥ MN . Vậy bốn điểm OIHM,, , cùng thuộc đường tròn đường kính OM. 0,25 Do ∆OBM =∆ OCN( c −− g c) nên BOM = CON 0,5 Suy ra MON = MOC += CON MOC + BOM ==° BOC 120 . 360°−MON 0,25 b) Khi đó PON = =120 ° (1,5 2 0,25 điểm) Ta được PAN+ PON =60 °+ 120 °= 180 ° nên tứ giác APON nội tiếp. Do đó OPN = OAN =30 ° . Chứng minh tương tự OPM =30 ° do đó MPN =60 ° . 0,25 Mặt khác P thuộc trung trực của MN nên PM= PN. 0,25 Theo phần a ta có IHC = IOM =60 °= ABC nên IH AB . Suy ra đường thẳng 0,25 IH cố định. Gọi K là trung điểm của AC , ta có 3 điểm HIK,, thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường thẳng song song với AC ). c) Lấy điểm T đối xứng với A qua HI ⇒ T là 1 điểm cố định. 0,25 (1,0 Ta có AI++=++≥+ BI AB IT IB AB BT AB điểm) Do đó chu vi tam giác AIB nhỏ nhất bằng BT+ AB , đạt được khi 3 điểm BIT,, thẳng hàng. Khi đó I là trung điểm của BT cố định (theo tính chất đường trung bình 0,25 của tam giác BAT ). Trang 4/3
8. Suy ra tứ giác BMTN là hình bình hành và TN BC. Lại có BH= KT, BK = HT nên tứ giác BHKT là hình bình hành và KT BC. 0,25 Vậy NK≡⇒ MH ≡. Câu 4 (1,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3(bc+−) 43ac+ 12(bc) T = ++ 2a 3 b 23 ac+ Ý Đáp án Điểm 32ba  22 aa  33 cc 12(bc− ) Ta có T +=++++++54    + 23322323abbaabac   + 0,25 32ba 11 42( ab+ 3) = + ++(23ac)  + + . 2a 3 b  2 a 3 b 23 ac+ 3a 2 b 32 ab Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có +≥2. = 2. 0,25 2b 3 a 23 ba 11 4 11 4 1,0 điểm Áp dụng BĐT +≥ với xy,0> ta có +≥ . x y xy+ 2a 3 b 23 ab+ 0,25 2323ac++ ab Suy ra T +≥+524 + ≥+2 4.2 = 10 . ++ 2323ab ac 0,25 ≥ Vậy T 5. Dấu ""= xảy ra khi 2abc= 3 = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 5. Trang 5/3