Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Ba Vì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Ba Vì (Có đáp án)

1. PHÒNG GDĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN BA VÌ HUYỆN Năm học: 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 9 Ngày thi: 28/9/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (5 điểm) xx++43 x x + 3 1) Cho M =−(1 ) : ( ++ ) với xx≥≠0; 16; x ≠ 9 x+1 x − 3 4 − xx −+ 7 x 12 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2) Tính giá trị của biểu thức P, biết Px=++42023 5 x 2024 2022 với x =10 − 2 3. 3 ++ 5 4 − 2 3 − 3 Bài 2: (3 điểm) 1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng: Q=−+− a42 b a b ab 24 ab chia hết cho 6 2) Tìm x, y nguyên thoả mãn: yxxxx2 =++++( 2)( 4)( 6) 15 Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau: x+22 xx ++ 6 12 x − 1 1) + >+ 2021 4040 2022 4047 2) x−−3243242 xx − + −+ x − = Bài 4: (6 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A, có = . Gọi I là trung điểm của BC. Trên cạnh AB, AC lấy M, N sao cho = . Chứng minh rằng: a) Tam giác BMI đồng dạng với tam𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� giác CIN.𝛼𝛼 Từ đó suy ra BM.CN không đổi 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝛼𝛼 b) NI là tia phân giác của . 2) Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M trên AC, 𝑀𝑀𝑀𝑀AB� 𝑀𝑀 a) Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để với mọi vị trí của M nằm giữa B và C thì các hình chữ nhật ADME có chu vi bằng nhau. Bài 5: (2 điểm) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz++=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, với (x +++ 1)22 (y 1) (z 1) 2 A =++ yzxzxy++222 ++ ++ Trang 1/2
2. Hết Họ tên thí sinh SBD . Chữ kí (Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GDĐT BA VÌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2023- 2024 Môn: Toán 9 Ngày thi: 28/9/2023 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài 1 1) với xx≥≠0; 16; x ≠ 9 a) xx++43 x x + 3 M =−(1 ) : ( ++ ) x+1 x − 3 4 − xx −+ 7 x 12 1xx++ 43 x + 3 M =:  −+ x+1 x − 3 x − 4 ( xx −− 3)( 4) 1,0 1 (xx+ 4)( −− 4) ( xx − 3)( ++ 3) ( x + 3) = :  x+1 (xx−− 3)( 4) 1xx− 16 −−+ (x 9) + 3 x − 3 = : = 1,5 x+1 ( xx −− 3)( 4) x +1 b) xx−+3 14 4 0,5 M = =−=−1 x+1 xx ++ 11 x + 1 4 Vì xx≥0 ⇒ + 11 ≥ ⇒ ≤ 4 ⇒M ≥− 3 x +1 Dấu ‘‘=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của M= -3 khi x = 0 2) x =10 − 2 3. 3 ++ 5 4 − 2 3 − 3 =−10 2 3. 4 +− 2 3 3 =10 − 2 3.( 3 +− 1) 3 =( 3 −− 1)2 3 = −1 1,0 Với x = −1giá trị của biểu thức P bằng: P =−+−+=−++=4.( 1)2023 5.( 1)2024 2022 4 5 2022 2023 0,5 Bài 2: Trang 2/2
3. 1) Q=−+− a42 b a b ab 24 ab =−−−(a42 b a b )( ab 42 ab ) =a2 b(a 2 −− 1) ab 22 (b − 1) =aba(a − 1)(a +− 1)abb (b − 1)(b + 1) 0,5 Ta có: a;(a−+ 1);(a 1) là 3 số nguyên liên tiếp. ⇒−+aa(a 1)(a 1) 2; (a −+ 1)(a 1) 3 mà (2,3) =1 ⇒−+a(a 1)(a 1) 6 Tương tự: bQ(b−+ 1)(b 1) 6 ⇒ 6 1,0 2) yxxxx2 =++++( 2)( 4)( 6) 15 22 =(6)(68)15xxxx + + ++ 2 Đặt xx+64 += tkhi đó 2 yt=−( 4)( t ++ 4) 15 y22= t −⇔1 ( ytyt − )( + ) =− 1 0,5 Ta có bảng sau: yt− −1 1 yt+ 1 −1 y 0 0 t 1 −1 + xx22+641(3)6 +=⇔ x + = không có xZ∈ thoả mãn + xx2 +641 +=− ⇔xx2 +6 += 50 ⇔+(xx 1)( += 5) 0 xx+=10 =− 1 ⇔⇔ xx+=50 =− 5 1,0 Vậy (xy ; )∈−{ ( 1;0);( − 5;0)} Bài 3 x+22 xx ++ 6 12 x − 1 1) + >+ 2021 4040 2022 4047 x+2 26 xx ++ 1 21 x − ++1 +> 111 ++ + 2021 4040 2022 4047 Trang 3/2
4. xxxx++++2023 2 4046 2023 2 4046 + >+ 2021 4040 2022 4047 1,0 1212 ⇔+(x 2023)( + − −) >0 2021 4040 2022 4047 1212 Vì + − − >⇒+0x 2023 > 0 ⇒x >−2023 2021 4040 2022 4047 1,0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x >−2023 2) ĐK: x ≥ 4 x−−3243242 xx − − −+ x − = −−22 + −+ = (xx 4 1) ( 4 1) 2 1,0 ⇔xx −−+41 −+= 412 ⇔x −−=−411 xx −⇔ 4 −−≤⇔ 410 x −≤⇔≤ 41 x 5 Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là: 1,0 45≤≤x Bài 4 1 0,25 a) Tam giác BMI có + = 180 . mà + = 180 0 � � 0,5 Suy ra = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝛼𝛼 Xét 𝑀𝑀𝑀𝑀�tam𝑀𝑀 giác𝑁𝑁� 𝑁𝑁𝑁𝑁BMI và tam− giác 𝛼𝛼 CIN có 1,0 � � =𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ; 𝑁𝑁=𝑁𝑁𝑁𝑁 ⇒∆BMI∽ ∆ CIN 0,5 𝐵𝐵�𝐵𝐵𝐵𝐵BM𝑁𝑁� BI𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐵𝐵� 𝐶𝐶̂ BC 2 ⇒=⇒BM CN = BI CI = không đổi CI CN 4 b) Xét tam giác MNI và tam giác INC có BI MI CI MI 1,0 = = ; mà ∆BMI∽ ∆⇒ CIN =⇒= CN IN CN IN 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝐶𝐶̂ 𝛼𝛼 ⇒∆MNI∽ ∆ INC ⇒ = ⇒ NI là phân giác của góc MNC. 0,75 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝐼𝐼𝐼𝐼�𝐴𝐴 Trang 4/2
5. 2) 0,25 a) Do D, E là hình chiếu của M trên AC, AB. = = 90 = 90 Suy ra mà Suy ra tứ giác AEMD là hình0 chữ nhật. Suy0 ra AM=DE Suy ra DE𝑀𝑀𝑀𝑀� nhỏ𝑀𝑀 nhất𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝑀𝑀khi AM nhỏ𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 �nhất, khi đó AM ⊥ BC 0,75 Kết luận: . b) Lấy M’ bất kì thuộc BC (M’≠M). Để chu vi hình chữ nhật AEMD bằng chu vi hình chữ nhật AE’M’D’ ⇔ MD+EM=M’D’+E’M’ ⇔ MI+ID+EM=M’D’+E’I+IM’ mà ID=M’D’; E’I=EM ⇔ MI=IM’ ⇔ ∆MIM ' cân ⇔ = Lại có = ; = ⇔ = ⇔ ∆ABC vuông cân tại A 1,0 � � � � Kết 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼luận:′ .𝑀𝑀𝑀𝑀 ′𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼′ 𝐵𝐵� 𝑀𝑀𝑀𝑀′𝐼𝐼 𝐶𝐶̂ Bài 5 Đặt𝐵𝐵� x+=1𝐶𝐶̂ ay ; += 1 bz ; += 1 c ⇒ a ++ b c =6; abc , , > 0 0,25 abc222 A =++ bc+++ ac ab Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: a2 bc+ a + ≥=2. a bc+ 42 b2 ac+ b c2 ab+ c Tương tự: + ≥=2. b ; + ≥=2. c ac+ 42ab+ 42 abc++ abc ++ ⇒Aabc ≥++− = =3 22 1,5 2abc= +  2bac= + Dấu ‘‘=” xảy ra khi và chỉ khi  ⇔===abc2 2c= ab +  ++= abc6 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 ⇔===abc2 0,25 ⇔===xyz1 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Trang 5/2
6. Trang 6/2