Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Thanh Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Thanh Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT Năm học 2023 - 2024 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) (Đề có 03 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi. x y xy+ Câu 1: Cho biểu thức P =+− với xy7+= và xy= 10. Khi đó xy+− y xy x xy giá trị của biểu thức P là 7 7 7 1 A. P = ± . B. P = . C. P = − . D. P = . 3 3 3 5 x( x4x4+ −+ x4x4 − −) Câu 2: Cho A = với x4> . Giá trị nhỏ nhất của biểu x2 −+ 8x 16 thức A là A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. x3+ Câu 3: Gọi S là tổng các giá trị nguyên của x để biểu thức N = có giá trị x1− nguyên. Giá trị của S là A. S= 36 . B. S= 38. C. S= 41. D. S= 44. Câu 4: Các đường thẳng y= -5(x + 1); y =+=+ ax 3; y 3x a đồng quy với giá trị của a là A. a= 13. B. a3= . C. a= − 13. D. a∈−{ 13;3}. Câu 5: Với giá trị nào của m thì đồ thị 2 hàm số y= 2x ++ m 3 và y= 3x + 5 - m cắt nhau tại 1 điểm nằm trên trục tung ? A. m= 1. B. m1= − . C. m2= . D. m3= . Câu 6: Cho đường thẳng mx+( 2 − 3m) y + m −= 1 0 (d). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Khi đó giá trị của m bằng 1 1 A. = 12. B. m= − 12. C. m = − . D. m = . 2 2 Câu𝑚𝑚 7: Tổng các nghiệm của phương trình: 2x+= 9 4 −+ x 3x + 1 là 11 A. 2. B. 3. C. -2. D. . 3 Câu 8: Cho phương trình: 5x3 −+ 13 2x −+ 1 x − 4 = 0. Phương trình có số nghiệm là A. 1. B. 2. C. 12. D. 18. Trang 1/3
2. Câu 9: Tam giác ABC vuông tại đỉnh A, AC= 8, AB = 192, AH⊥∈ BC( H BC) . Khi đó tỉ số đồng dạng k của tam giác HAB và ACB là 1 2 3 A. k = . B. k3= . C. k = . D. k = . 3 3 2 1 Câu 10: Cho tứ giácABCD, hai đường chéo vuông góc tại O. Biết AB= CD, 2 1 AO= AC, S= a2 . Khi đó diện tích S của tứ giác ABCD là 3 AOB A. S= 7a2 . B. S= 8a2 . C. 9a2 . D. S= 10a2 . Câu 11: Cho tam giác cân ABC có A = 1200 ; AB = AC; BC =⊥∈ 2; BH AC ( H AC) . Độ dài HC nhận giá trị nào sau đây? 31+ 23+ A. HC = 0,5. B. HC = ⋅ C. HC = ⋅ D. HC = 3. 2 2 Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 1 CD= CA . Vẽ DF⊥∈ AB( F AB). Gọi E là trung điểm của DF. Đáp án nào đúng? 3 1 1 A. AC= 3BE . B. BD= 2CD. C. BE= AC . D. BE= AC . 2 4 Câu 13: Cho tam giác ABC , vẽ hình bình hành AMON sao cho M∈∈ AB, O BC, 22 N∈ AC . Biết SMOB = a ,SNOC = b . Diện tích S của hình bình hành AMON bằng 1 22 A. S= ab . B. S= 2ab. C. S=( ab22 + ) . D. Sab=( + ). 2 Câu 14: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BCvà điểm A nằm trên nửa đường tròn (A khác B, C ). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Gọi I và K lần lượt đối xứng với H qua AB và AC . Diện tích tứ giác BIKC lớn nhất bằng A. R 2 . B. 2R2 . C. 3R 2 . D. 4R 2 . Câu 15: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB, H là hình chiếu của C trên AB. Các điểm D và E thuộc nửa đường tròn sao cho HC là tia phân giác của góc DHE. Hệ thức nào sau đây đúng? HD+ HE A. HE2 = HC.HD. B. HC = ⋅ C. HC2 = HD.HE . D. HD2 = HC.HE . 2 Câu 16: Một người mang trứng gà ra chợ bán. Tổng số trứng gà bán ra được tính như 1 sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 8 1 1 trứng và số trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 trứng và số trứng còn lại. Cứ 8 8 như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng gà bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Số ngày người đó bán hết số trứng gà là A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Trang 2/3
3. II. PHẦN TỰ LUẬN. (12,0 điểm) Bài 1. (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng A = n5 – n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x2 + xy–2y–x–5= 0. Bài 2. (3,5 điểm) 1 a) Giải phương trình 6x3 − xx2 + = . 3 b) Giải phương trình x22+ 12 += 5 3x + x + 5. Bài 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) , DC là một dây cố định không đi qua O. Gọi S là điểm di động trên tia đối của tia DC (S không trùng D). Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O;R) , ( A,Blà hai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của DC. a) Chứng minh 5 điểm S,A,B,I,O cùng thuộc một đường tròn; b) Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh: SC.SD= SH.SO ; c) Chứng minh: DHC = DOC ; d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động. Bài 4. (1,5 điểm) a) Cho a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a2++≥ b 22 c 4abbcac( ++) − 1 b) Cho x, y, z> 0 thỏa mãn x2++≤ y 22 z 3xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz222 P =++ x444+++ yz y zx z xy HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./. Trang 3/3
4. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 2023 - 2024 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 Câu A C B C A D D A 9 10 11 12 13 14 15 16 Câu D C D A B B C B II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm). Bài 1. (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng A = n5 – n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x2 + xy–2y–x–5= 0. Nội dung cần đạt Điểm a) A = n5 – n = n(n4 – 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 0,25 n(n−⇒ 1) 2 A 2 (1) 0,25 - Nếu n5⇒ A5. Với mọi số nguyên k ta xét 0,25 - Nếu n = 5k + 1⇒−(n 1) 5 ⇒ A 5 2 - Nếu n = 5k + 2⇒(n22 + 1) =( 5k + 2) += 1 25k + 20k + 5 5 ⇒ A 5 2 0,25 - Nếu n = 5k + 3⇒(n22 + 1) =( 5k + 3) += 1 25k + 30k + 10 5 ⇒ A 5 - Nếu n = 5k + 4⇒+(n 1) 5 ⇒ A 5 . Suy ra A 5,∀∈ n Z+ (2) 0,25 Từ (1), (2) và 2; 5 nguyên tố cùng nhau => A = n5 – n chia hết cho 10, với 0,25 mọi số nguyên dương n. b) Giả sử tồn tại x, y nguyên thỏa mãn 22 0,25 x+ xy–2y–x–5= 0 ⇔ y(x− 2) =−++ x x 5( *) Với x = 2 thì: (*) ⇔= 03 (Không thỏa mãn) 0,25 −x2 ++ x5 3 Với x2≠ ta có: (*) ⇔ y = =−−+x1 0,25 x2−− x2 Để y nguyên thì x – 2 là ước của 3 ⇒x − 2 ∈−{ 3; − 1;1; 3} ⇒ x ∈−{ 1;1; 3; 5} 0,25 Tương ứng với y∈−−−−{ 1;5;1;5} 0,25 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x;y) =−−( 1;1;1;5;3;1;5;5) ( −) ( −) ( −) 0,25 Bài 2. (3,5 điểm) 1 a) Giải phương trình 6xx3 −+2 x = . 3 b) Giải phương trình x22+ 12 += 5 3x + x + 5 Nội dung cần đạt Điểm 1 3 a) 6x133−+xx2 = ⇔ 17x +−(x ) =0 0,5 3 Trang 1/4
5. 3 3 3 ⇔ 17x3 =( 1x − ) ⇔ ( 3 17x) =(1x − ) 0,5 1 ⇔ 3317x1x=−⇔( 17 +1) x1= ⇔ x = 0,25 3 17+ 1 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0,25 3 17 +1 b) PT viết lại thành x22+ 12 − x += 5 3x − 5 0,25 Vì x22+> 12 x + 5 nên để phương trình có nghiệm thì 5 0,25 3x−>⇔ 5 0 x > 3 Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng (x−= 2Ax) ( ) 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : x422−−x4 x22+ 12 −= 4 3x −+ 6 x +−⇔ 5 3 =3( x − 2) + 0,5 x22+ 12 + 4 x++ 5 3 x2++ x2 ⇔−(x 2 )− −=3 0 (1) x22+ 12 + 4 x ++ 5 3 Ta thấy x2++ x2 1 1 0,25 −=+−(x2) ) 0 với x > 3 11 0,25 và 4 x ++> 5 3 0 x22+ 12 + 4 x ++ 5 3 x2++ x2 x2 ++ x2 Suy ra − <⇒0 − −<30 0,25 x22+ 12 + 4 x ++ 5 3 x 22 + 12 + 4 x ++ 5 3 Từ (1) suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất của bài toán. 0,25 Bài 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn (O;R ), DC là một dây cố định không đi qua O . Gọi S là điểm di động trên tia đối của tia DC (S không trùng D ). Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O;R ), ( A,Blà hai tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của DC. a) Chứng minh 5 điểm S,A,B,I,O cùng thuộc một đường tròn; b) Gọi H là giao điểm của SO và AB . Chứng minh: SC.SD= SH.SO ; c) Chứng minh: DHC = DOC ; d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi S di động. Trang 2/4
6. Hình vẽ a) (0,75 điểm) Vì SA,SB là các tiếp tuyến nên SA⊥ OA , SB⊥ OB, mặt khác I là trung 0,25 điểm của CD nên, OI⊥ CD . Gọi M là trung điểm của SO. Khi đó ta có MS= MO = MA = MI = MB (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông). 0,5 Suy ra 5 điểm S,A,B,I,O cùng thuộc một đường tròn (M). b) (1,0 điểm)  S chung 0,5 Xét hai ∆SDB và ∆SBC có  suy ra ∆∆SDB∽ SBC (g-g) SBD = SCB Suy ra SB2 = SD.SC (1) Xét ∆SBO có SB2 = SH.SO (2) 0,5 SC SO Từ (1) và (2) SD.SC= SH.SO ⇔=. SH SD c) (1,0 điểm) S chung  Xét hai ∆SDH và ∆SOC cóSC SO suy ra ∆∆SDH∽ SOC (c-g-c) 0,5  = SH SD Suy ra SDH = SOC (hai góc tương ứng). Xét tứ giác DHOC có: HOC +=+=+= HDC SOC HDC SDH HDC 1800 suy ra tứ giác DHOC nội 0,5 tiếp. Suy ra DHC = DOC (góc nội tiếp cùng chắn cung DC). Trang 3/4
7. d) (1,25 điểm). Gọi J là giao điểm của AB và OI. Xét hai ∆OIS và ∆OHJ  0 OIS= OHJ = 90 có  O chung 0,25 Suy ra ∆∆OIS∽ OHJ (g-g) => OI.OJ= OH.OS 0,25 Mặt khác OH.OS= OB22 = R (hệ thức lượng trong tam giác vuông SBO) R 2 0,5 Từ đó OI.OJ= OH.OS = R 2 ⇔=OJ OI Hệ thức này chứng tỏ J là điểm cố định. Hay đường thẳng AB luôn đi qua 0,25 một điểm cố định J khi S di động. Bài 4. (1,5 điểm) a) Cho a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a2++≥ b 22 c 4abbcac( ++) − 1 b) Cho x,y,z> 0 thỏa mãn x2++≤ y 22 z 3xyz . Tìm GTLN của xyz222 P =++ x444+++ yz y zx z xy Nội dung cần đạt Điểm a) Ta có, a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1 2 3ab( ++ bcac) ≤++=⇔−( a bc) 1 13ab( ++ bcac) ≥ 0 Khi đó a2++≥ b 22 c 4abbcac( ++) − 1 ⇔a2 + b 22 + c +≥ 14abbcca( + + ) 0,25 2 22 ⇔(a + b +− c abbcca − −) +− 13abbcca( + +) ≥ 0 2 22 Theo trên 1− 3( ab ++ bc ac) ≥ 0 , ta đi CM a++−−−≥ b c ab bc ca 0 Thật vậy, 2 22 222 0,25 2a+ 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥⇔ 0( a − b) +( b − c) +( c − a) ≥ 0 Đẳng thức luôn đúng xyz2++ 22 b) Ta có x,y,z> 0, x2++≤ y 22 z 3xyz ⇒ ≤3. 0,25 xyz Với x,y,z> 0, theo BĐT Cauchy ta được x2++≥ y 22 z xy ++ yz zx x12 0,25 x4+≥ yz 2 x 42 yz = 2x yz ⇒ ≤ x4 + yz 2 yz y22 1z 1 Tương tự ta được: ≤≤; y44++ zx2 zx z xy 2 xy 0,25 x222 y z 1 1 1 1 11 1 1 P = + + ≤ + + ≤ ++ 444  x+++ yz y zx z xy 2 yz xz xy 2 x y z 1xyyzzx++ 1x2 ++ y 22 z 3 ≤ ≤≤. 2 xyz 2 xyz 2  0,25 3 GTLN của P = khi x= yz1 = = 2 HẾT Trang 4/4