Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Hương Khê (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Hương Khê (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: Toán 8 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút) I. PHẦN GHI KẾT QUẢ ( Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm giá trị của m sao cho phương trình 3x+m = x-2 có nghiệm là x = -5 Câu 2: Tính giá trị biểu thức A =( x2022-1)(x2022+2021) – (x+2)(x-3) tại x 1 Câu 3: Ông Bảo đã thu lãi 400 triệu đồng ( chưa trừ tiền thuế), khi mua đất đầu tư. Khi ông mua, mỗi m2 đất có giá 1 triệu đồng, nhưng khi bán, có giá gấp 5 lần. Hỏi miếng đất ông Bảo đầu tư, có diện tích bằng bao nhiêu m2? Câu 4:Tìm các số tự nhiên n để giá trị biểu thức: 5n3 – 9n2 + 15n – 27 là số nguyên tố. Câu 5: Biết a3 + b3 = 3ab- 1. Tính a+b Câu 6: . Cô Hân có nuôi 80 con gồm gà trống, gà mái và vịt. Số gà mái gấp ba lần số gà trống. 60% số gia cầm này là vịt. Vậy có bao nhiêu con gà mái? Câu 7: Tìm số nguyên n để giá trị đa thức 6n2 – n + 5 chia hết cho giá trị của đa thức 2n + 1 1 1 Câu 8: Cho x >0 thỏa mãn: x2 7 . Tính giá trị biểu thức: x5 x2 x5 Câu 9: Đa giác có mấy cạnh thì số đường chéo gấp ba lần số cạnh? Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= 5cm, BC= 13 cm. Vẽ đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Tính AM và BI. II. PHẦN TƯ LUẬN: ( Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: 1) Giải phương trình sau: a) x3+ x2- 6x = 0 1 2xy 1 2 2) Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 11 xy Chứng minh M = x22 +y -xy là bình phương của một số hữu tỷ. 1 1 1 1 3) Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn: x + y + z = 2022 và . x y z 2022 1 1 1 1 Chứng minh rằng: x2021 y 2021 z 2021 x 2021 y 2021 z 2021 Câu 12: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC b) Chứng minh DEC AEF c) Gọi I là giao điểm của FD và BE. Chứng minh HI.BE = HE.BI 1 y2 Câu 13: Cho x, y là hai số thỏa mãn điều kiện: 24x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của xy. x2 4 Hết Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay. Giáo viên không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm – mỗi câu 1 điểm) Câu Hướng dẫn Kết quả Điểm 1 Thay gá trị của x vào tính m m=8 1,0 2 Thay x= 1 và x= -1 vào tính , mỗi kết quả đúng cho 0,5 điểm A=6 hoặc A= 4 1,0 3 Gọi x(m2) là diện tích miếng đấ,t ta có: 5x – x = 400 100m2 1,0 4 5n3 – 9n2 + 15n – 27 = (5n-9)(n2 +3) mà n2 +3 >1 nên 5n- 9= 1 n = 2 1,0 a3 + b3 = 3ab- 1 = a3 + b3 + 13 = 3.a.b.1 suy ra ( a+b+c)= 0 hoặc 5 -1 hoặc 2 1,0 a= b =1 6 24 gà mái, 1,0 7 2n +1 Ư(7) = 1; 1;7; 7 n 0; 1;3; 4 1,0 2 2 1 1 x 2 9 mà x>0 nên x 3. Ta có x x 321 1 1 1 x 32 x x x ; 8 x x x x 123 1,0 51 4 1 1 3 1 x 5 x 4 x x 3 . x x x x 11 1 Dễ thấy xx34 18; 47 nên: x5 47.3 18 123 xx34 x5 Gọi n là số cạnh của đa giác đã cho( n>3) . Ta có số đường 9 nn( 3) nn( 3) n = 9 1,0 chéo của đa giác là: . Từ đó 3n 2 2 AM= 6,5 10 1,0 3 41 BI= 4 II. PHẦN TƯ LUẬN: ( 10 điểm) Câu Hướng dẫn giải Điểm 1)Tập nghiệm của phương trình là: S= 0; 2;3 2,0 1 2xy 1 2 2)Ta có 1 1 2x 1 y 1 2 y 1 x 1 x 1 y 11 xy 31xy 1 y 2 x 2 xy 1 x 2 y 2 xy 1 xyxy xy 11 2 1,5 22 5,0đ 22 2 3xy 1 3 xy 1 Khi đó: M= x y xy x y 3 xy 3 xy 22 31xy Vì x, y Q nên là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ 2
3. 1 1 1 1 1 1 1 1 3)x + y + z = 2022 và x y z 2022 x y z x y z 1 1 1 1 1 Ta có: x y y z z x =0 1,5 xyzxyz xyzxyz( x= -y hoặc y = -z hoặc z = -x đpcm a) AEB đổng dạng với AFC ( g-g) 2,0 b) AEF đồng dạng với ABC ( c-g-c) AEF ABC Tương tự: CED đồng dạng với CBA ( c-g-c) CED ABC 1.0 Từ đó suy ra đpcm 12 4đ c)Chứng minh tương tự câu b) ta có : AFE BFD ( cùng bằng góc ACB ). Từ đó suy ra EFC DFC FH là đường phân giác của tam giác FIE mà FH vuông góc FB FB là đường phân giác ngoài tại F của tam giác FIE. 1,0 Áp dụng tính chất đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của tam giác HI BI FI ta có: ( cùng bằng ). Từ đó suy ra đpcm. HE BE FE Đk x khác 0: 22 211yy 2 2 Ta có: 2x 22 4 x 2 x xy xy 2 0 xx44 13 22 1,0 1.0đ 1 y xy x y 2 x 2 Từ đó xy -2. Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là -2 khi và chỉ khi x=1; y= - 2 hoặc x= - 1 ; y=2