Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Quảng Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Quảng Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 TỈNH QUẢNG NINH Môn thi: TOÁN - Bảng: B Ngày thi: 02/12/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm) Cho hàm số yxmxm 322 331 xmm 3 có đồ thị C và điểm I 1; 3 . a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 2022; . b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho C có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của C cùng với điểm I tạo thành một tam giác vuông tại I. Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho tam giác đều ABC. Trên mỗi cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh A, B, C. Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp 15 điểm đã cho (tính cả các điểm A, B, C)? b) Một người chọn ngẫu nhiên một số điện thoại, trong đó mỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này bằng 9. Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn. Câu 3. (5,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3 , BC 6 , đường thẳng SA vuông góc với mặt 1 phẳng ABCD . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho BM BC . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng 3 SAB bằng 45°. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SC. Chứng minh hình chóp A.CMHK nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. Câu 4. (1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc SAC  45 . Mặt phẳng P qua A và vuông góc với đường thẳng SC cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và diện tích đáy ABCD theo . Câu 5. (3,0 điểm) 3 3 22 41 x yx 1 y 2 x Giải hệ phương trình: xy, . 2 354321yxx Câu 6. (1,5 điểm)
2. 1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc,, 1. Chứng minh: 3 31 31 31 logabc bca log log 9 . 44 44 44 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4.5 điểm) Cho hàm số y=−x3+3mx2−3( m2−1) xm+3−m có đồ thị (C) và điểm I (−1; 3 ) a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2022;+∞) . b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (C) có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của (C) cùng với điểm I tạo thành một tam giác vuông tại I . Lời giải a) Tập xác định D = y′ =−3x2+6mx−3( m2−1) y′ =0⇔−3x2+6mx−3( m2−1) =0⇔−x2+2mx−( m2−1) =0*( ) Ta có ∆′=b′2−ac= m2− m2+110=>∀m∈ . ⇒ pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ (C) luôn có hai điểm cực trị. x1 =m+1 y′ =0 ⇔  x2 =m−1 Dễ thấy x1> x2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên (2022;+∞) khi và chỉ khi m+1≤ 2022⇔m≤ 2021 Vậy m ≤ 2021 thỏa yêu cầu. b) Hai điểm cực trị của (C) là Am( +1; 2 m+2, ) Bm( −1; 2 m−2 ) .   IA( m+2;2 m− 1,) IB( m ;2m − 5) Theo giả thiết tam giác ABI vuông tại I   ⇔IA. IB =0⇔mm( +2) +(2 m−12)( m− 5) =0⇔5m2 −10m+ 50=⇔m=1 Vậy m =1. Câu 2: (4.0 điểm) a) Cho tam giác đều ABC . Trên mỗi cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh ABC,, . Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp 15 điểm đã cho (tính cả các điểm ABC,, ). Lời giải ố ấ điể ừ ậ ợ điể 3 S cách l y 3 m tùy ý t t p h p 15 m là C15 . ố ấ điể ộc cùng mộ ạnh của tam giác là 3 S cách l y 3 m thu t c 3C6 . Trang 3
4. NĂM HỌC 2022 - 2023 33 Vậy số tam giác có các đỉnh thuộc tập hợp 15 điểm đã cho là C15−3C 6 =395. b) Một người chọn ngẫu nhiên một số điện tho ại, trong đó mỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099 . Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này bằng 9. Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn. Lời giải Giả sử số điện thoại là: 099aaaaaaa1234567 (trong đó aaaaaaa1,,,,,,234567∈{0;1; ,;9} ) Ta có: n(Ω) =107 Gọi A = “Số điện thoại may mắn” 4 Khi đó: Có A5 cách chọn aaaa1,,,234 TH1: aaa5,,67 là bộ số (1;3;5) ⇒ 3! cánh chọn TH2: aaa5,,67 là bộ số (1;1; 7) ⇒ 3 cánh chọn TH3: aaa5,,67 là bộ số (3; 3; 3) ⇒1 cánh chọn 4 ⇒nA( ) =A 5 (3!+ 3+ 1) = 1200 nA( ) 1200 Xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mẵn là PA( ) === 0,00012 . n(Ω) 107 Câu 3: (5.5 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3 , BC = 6 , đường thẳng SA 1 vuông góc với mặt phẳng ( ABCD). Điểm M thuộc đoạn BC sao cho BM= BC . Góc giữa 3 đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 45°. a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SC . Chứng minh hình chóp ACMHK. nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. Lời giải BC⊥ AB a) Do  ⇒BC⊥( SAB) . Ta có (SC,( SAB)) =(SC , SB) = CSB =45° . BC⊥ SA Suy ra ∆SBC vuông cân tại B . Khi đó SB= BC = 6 và SC = 62. Trong ∆SAB vuông tại A , ta có SA=SB2−AB2=36− 9=3 3 . 11 Vậy thể tích khối chóp S. ABCD là V= SA S =.3 3.3.6= 18 3 (đvtt). 3ABCD 3 Trang 4
5. NĂM HỌC 2022 - 2023 b) Cách 1: 1 1 Trong ( ABCD) kẻ MN//AC với N∈ AB . Suy ra BN= AB =1; AN = 2; BM= BC = 2 ; 3 3 111 MN= AC= AB2+ BC 2=9+ 36= 5 ; AM= AB2+ BM 2=94+= 13 . 333 Khi đó AC//( SMN) ⇒ d( AC, SM) =d( AC,( SMN)) =d( A,( SMN )). Trong ( ABCD) kẻ AP⊥ MN với P∈ MN . Trong (SAP) kẻ AQ⊥ SP (1) với Q∈ SP . MN⊥ AP Do  ⇒MN⊥(SAP) ⇒AQ ⊥MN (2) . MN⊥ SA Từ (1) và (2) suy ra AQ⊥ (SMN ) . Vậy d( ACSM,) == d( ASMN,( )) = AQ . 2 2AB. BC 23.6 4 5 Ta có AP=d( A, MN) = d( B, AC) = . =. = . 33AB2+ BC 239+ 36 5 45 3 3. SA. AP 12 453 Trong ∆SAP vuông tại A ta có AQ = =5 = . 2+ 2 16 151 SA AP 27 + 5 Cách 2: Trang 5
6. NĂM HỌC 2022 - 2023 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A≡ O(0;0;0) ; B(3;0;0) ; D(0;6;0) ; C (3;6;0) ; S (0;0;3 3 ) ; M (3; 2; 0) .    Ta có SM =(3; 2;− 3 3 ) và AC = (3;6;0), AM = (3; 2; 0) .      AC, SM = 3 151    Suy ra AC, SM =(−18 3;9 3;− 12) ⇒   .  .,=−36 3 AM AC SM      AM. AC, SM 36 3 12 312 453 Ta có d( AC, SM ) =   === . 3 151 151 151 AC, SM  c) Gọi O , J lần lượt là trung điểm của AC , AM . Trang 6
7. NĂM HỌC 2022 - 2023 Dựng trục của các ∆AHM và ∆AKC . Hai trục này là trung trực của các đoạn thẳng AC , AM nên giao điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACM . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ACMHK. chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ACM . 11 Ta có S=.AB. BC =.3.6= 9 (đvdt). ∆ABC 22 11 S= AB BM =.3.2= 3 (đvdt). ∆ABM 22 Suy ra S∆AMC=S∆ ABC−S∆ ABM =936−= (đvdt). Mặt khác 2 AC=AB 2+ BC 2=9+ 36= 3 5 ; AM= AB2+ BM 2=94+= 13 ; MC=BC = 4 . 3 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ACM . AM. AC. MC AM. AC. MC 13.3 5.4 65 Ta có S∆AMC =⇔R=== (đvtt). 4R4S∆AMC 4.6 2 Vậy: C =1800−AB− = 750. Câu 4: (1.5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có góc SAC =α > 450 . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng SC cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và diện tích đáy ABCD theo α . Lời giải Gọi H=AC∩ BD ⇒SH⊥( ABCD) . Gọi K là giao điểm của (P) và SC⇒AK⊥ SC và AK∩ SH= I . Ta có SC⊥ BD⇒( P) //BD⇒( P) ∩(SBD) = BD′′//BD và BD′′ đi qua I . Vậy thiết diện của (P) với hình chóp S. ABCD là tứ giác AB′ KD′ có AK⊥ BD′′. Theo giả thiết tam giác SAC là tam giác cân tại S và SAC = SCA =α > 450 . Đặt cạnh đáy của hình vuông ABCD là a . a2a2 Ta có: SH = tanα ,AK= a 2 sinα , SA=SC = . 2 2cosα Trong tam giác vuông SAK ta có Trang 7
8. NĂM HỌC 2022 - 2023 2a 2 2a21 − 4sin2αcos 2αa 2 cos 2α =2−2=−2a2 sin2α = = SKSAAK 22. 4cos α 4cos α2cosα SK. SC cos 2α Vì tứ giác CHIK nội tiếp nên: SI. SH= SK. SC⇒SI ==a 2 =a 2 cot 2α SH sin 2α SI cot 2α Vậy ta có BD′′=.BD= 2 a 2 . SH tanα 1 2 Diện tích tứ giác AB′ KD′ là S′′=AKBD.′′= 2 a cosα . cot 2α. AB KD 2 Diện tích tứ giác ABCD là S= a2 . S 2a2 cosα . cot 2α AB′ KD′= = αα Vậy tỉ số diện tích là: 2 2cos . cot 2 . SABCD a Câu 5: (3.0 điểm)  3 3 22 4( x+1−y−x) +1=y−2x Giải hệ phương trình:  ( xy, ∈ ) .  2  3y−5+4x−3=2x+1 Lời giải 3y2 −50≥ 3y2 −50≥  Điều kiện của hệ phương trình: ⇔ 3 . 4x −30≥ x ≥  4 4( 3 x+1−3 y2−x) +1=y2−2x  4  ⇔(2x+1−y2 ) +1=0 2 2  3 ++3 +2−+3 2−  ( x1) ( x1)( yx) ( y x)  2x+1=y2 (3)  ⇔ 4  +1= 04( )  2 3 ++3 +2−+3 2−  ( x1) ( x1)( yx) 4yx 2 2 3 3 + 2 x +13( x 1) 3 3 ( x+1) +3 ( x+1)( y2−x) +3y2−x=3y2−x++>0,∀x≥ ,3y2− 5≥ 0 244 Do đó (4) vô nghiệm. Thay y2 =2x+13( ) vào phương trình 3y2 −5+4x−3=2x+1 ta được phương trình 6x−2+4x−3=2x+1 Cách 1:  3 x ≥  4 6x−2+4x−3=2x+1⇔   1  (2x +1) −1=0  6x−2−4x−3 Trang 8
9. NĂM HỌC 2022 - 2023  3 x ≥  3 4 x ≥ ⇔⇔4 13 −10=Do2 x+10>∀ x ≥  6x−2−4x−31=  6x−2−4x−3 4  333 x≥x≥x≥ ⇔4⇔4⇔4  6x−2=4x−31+6x−24=x−3124++x−3x=4x−3  3  3 x ≥ x ≥ 4 x =1 ⇔4 ⇔⇔. x =1  2 x = 3 x−4x+30=  x = 3 Thay x =1 vào (3) ta được y2 =3⇔y=±3 (nhận). Thay x = 3 vào (3) ta được y2 =7⇔y=±7 (nhận). Vậy hệ đã cho có tập nghiệm S ={(1; 3) ,( 1;−3,3; ) ( −7 ) ,( 3; 7 )} . Cách 2: 6x−2+4x−3=2x+1⇔6x−2−( x+1) +4x−3−x=0 −x2 +4x−30= −x2+4x−3−x2+4x−3  ⇔+=0 ⇔  113 6x−2+x+14x−3+x +=0 VN voi x ≥  6x−2+x+14x−3+x4  x =1 ⇔  . x = 3 Thay x =1 vào (3) ta được y2 =3⇔y=±3 (nhận). Thay x = 3 vào (3) ta được y2 =7⇔y=±7 (nhận). Vậy hệ đã cho có tập nghiệm S ={(1; 3) ,( 1;−3,3; ) ( −7 ) ,( 3; 7 )} . Câu 6. (1.5 điểm) 1 Cho các số thực a , b , c thỏa mãn <abc,,<1. Chứng minh 3 313131 logab−+logbc−+logca−≥9 . 444444 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM− GM cho các số thực dương ta có 31111 3 b−=(3b−1) = 3( b−1) ≤b 44422 31111 3 1 c−=(3c−1) = 3( c−1) ≤c, kết hợp với <abc,,<1 ta được: 44422 3  31111 3 a−=(3a−1) = 3( a−1) ≤a 44422 313131 333 logab−+logbc−+logca−≥logab+ logbc+ logca 444444 Trang 9
10. NĂM HỌC 2022 - 2023 AM− GM 3 =3( logab+log bc+ logca) ≥ 9 logab .logbc .logca= 9 313131 Vậy logab−+logbc−+logca−≥9 . 444444 1 Dấu ""= xảy ra khi: a=b=c= . 2 Hết Trang 10