Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 106 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 106 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN - THPT Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 trang - 50 câu trắc nghiệm MÃ ĐỀ: 106 x Câu 1: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn F 2 0 . Tính số 8 x2 nghiệm phương trình Fx x . A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. 2 Câu 2: tập xác định của hàm số y log2 x 7x 10 là A. ;2 5; . B. 2;5. C. ;2  5; . D. 2;5 . Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 2021;2021 để hàm số 1 y ln x2 4 mx 2 nghịch biến trên khoảng ; ? 2 A. 2022. B. 2019. C. 2021. D. 2020. 2 4 Câu 4: Cho hàm số f x có đạo hàm fx x 1 x 3 x 1 , x . Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , BAC 1200 . Mặt phẳng AB C tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 3a3 9a3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 4 8 8 3 2 Câu 6: Cho hàm số y f x , biết f 0 và fx x., ex x . Tính tích phân 2 1 I xf x dx. 0 e 3 e 1 e 1 e 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 4 2 4 Câu 7: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2 a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC . a3 3 4a3 3 2a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 12 Câu 8: Cho mặt cầu S1 có bán kính là a , mặt cầu S2 có bán kính là 2a . Tỷ số diện tích của mặt cầu S1 và mặt cầu S2 bằng Trang 1
2. 1 1 A. . B. 4 . C. . D. 2 . 2 4 Câu 9: Cho hình đa diện đều loại 4;3 có cạnh bằng a . Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. S 4a 2 . B. S 6a2 . C. S 2 3a2 . D. S 3a2 . Câu 10: Tập giá trị của hàm số y 2sin2x 3 là A.  2; 2 . B. 1;5 C.  2;5. D. 1;2 . Câu 11: Số cách xếp 5 người ngồi vào một hàng ghế dài là A. 130 . B. 100 . C. 125 . D. 120 . Câu 12: Cho cấp số cộng u thỏa mãn u 3 và u 18 . Số hạng u bằng n 1 6 10 A. 27 . B. 30. C. 24. D. 21. Câu 13: Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 0,b 0, c 0,d 0 . B. a 0,b 0, c 0,d 0 C. a 0,b 0, c 0, d 0 . D. a 0,b 0, c 0,d 0. Câu 14: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ABC . Gọi P là mặt phawgrn qua B và vuông góc với đường thẳng SC . Thiết diện do mp P cắt hình chóp S. ABC là: A. Tam giác đều. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông D. Hình thang vuông. Câu 15: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. Ba mặt. B. Hai mặt. C. Năm mặt. D. Bốn mặt. Câu 16: Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng V và chiều cao bằng h là 3V V 2V 3V A. r . B. r . C. r . D. r . 2 h h h h Câu 17: Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau? A. y x4 2x2 3. B. y x4 2x2 4 . C. y x4 2x2 3. D. y x4 2x2 3. n 2 n Câu 18: Giả sử khai triển 1 2x a0 axax1 2 an x , biết rằng a0 a1 a2 71. Tính hệ số a5 .A. 672 . B. 627 . C. 672 . D. 627 . xx Câu 19: Cho ba số thực dương a,, b c khác 1. Đồ thị các hàm số y loga x , y b, y c được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 2
3. A. b c a . B. c b a . C. a b c . D. a c b . Câu 20: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, 4 f 1 12 và f x d x 17 . Khi đó f 4 bằng 1 A. 29 . B. 9 . C. 5. D. 19. P x 2 P x 2 Câu 21: Cho đa thức P x thõa mãn lim 2.Tính giới hạn L lim . x 3 x 3 x 3 x2 9 P x 2 1 1 1 1 2 A. L . B. L . C. L . D. L . 9 6 12 9 Câu 22: Với mọi số thực m,, n p thõa mãn plog2 m log8 n log 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2p 8m 4n B. p log 8m 4n . C. p 3n 2m . D. p 3m 2n . Câu 23: Một nghuyên hàm của hàm số fx()3 x 2 sin x là A. x3 cosx 2021 B. 3x3 cosx 2021 . C. x3 sinx 2021 . D. x3 cosx 2021. 2021x Câu 24: Cho hàm số f( x ) ln Tính tổng S f'1 f '2 f ' 2022 x 1 2021 2022 A. S ln 2021 B. S . C. S . D. S 2022 . 2022 2023 Câu 25: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình 2.f x 2021 3 là A. 4 . B. 5. C. 2 . D. 3. Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có AB 1, AD 2 và AA 3. Gọi MNPL,,, lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABB A , ABCD , ADD A ,CDD C và gọi Q là trung điểm của đoạn BL . Thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 8 Trang 3
4. Câu 27: Để chuẩn bị cổ vũ cho đội tuyển Việt Nam tham dự giải AFF Suzuki Cup 2020, một hội cổ động viên dự định sơn và trang trí cho 1000 chiếc nón lá như sau: Độ dài đường sinh của chiếc nón lá là 40cm , theo độ dài đường sinh kể từ đỉnh nón cứ 8cm thì sơn màu đỏ, màu vàng xen kẽ nhau, sau đó dán 20 ngôi sao màu vàng cho mỗi chiếc nón (như hình minh họa bên). Biết rằng đường kính của đường tròn đáy nón là 40cm , mỗi ngôi sao màu vàng và công dán giá 400 đồng, tiền sơn và công sơn màu vàng giá 30.000 đồng/m2 và tiền sơn và công sơn màu đỏ giá 40.000 đồng/m2. Hỏi giá thành để sơn và trang trí cho 1000 chiếc nón lá như trên là bao nhiêu? A. 17.047.787 đồng. B. 16.545.123 đồng. C. 16.545.132 đồng. D. 17.047.778 đồng. Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng 2021;2021 để phương trình 2x 1 x 2 6.2 7 m 48 .2 2 m 16m 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1. x2 15? A. 1997 . B. 1996 . C. 2021. D. 2020 . Câu 29: Cho hình lăng trụ ABC.''' A B C có BAC 600 ,AC 120, AB 40 và khoảng cách giữa hai đáy là 45 . Biết hình chiếu của A' lên mặt đáy ABC là điểm H thuộc cạnh BC . Hai mặt phẳng ABBA'', ACC '' A cùng tạo với mặt đáy góc bằng nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ' và AC' gần nhất với số nào sau đây? A. 10 . B. 7 . C. 32. D. 21. x e 1;x 0 Câu 30: Cho hàm số f x . Biết rằng hàm số f x liên tục trên và tích 2 2xx 32; x 0 e f ln x phân dx ae b3 c với a,, b c  . Giá trị ab 9c bằng 1 x e A. 69 . B. 33 . C. 13. D. 25 . 32 Câu 31: Cho hàm số yx mx 3x 1 C và điểm M 1; 2 . Biết có hai giá trị m là m1 và m2 để đường thẳng :y x 1 cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt A 0;1 , B và C sao cho tam 22 giác MBC có diện tích bằng 4 2 . Hỏi tổng m1 m2 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 3;5 . B. 15;17 . C. 16;18 . D. 31;33 . Câu 32: Cho hình lăng trụ ABCD.'''' A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6, AD 3,' AC 3 và mặt phẳng ACC'' A vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng 3 ACC'' A và ABB'' A tạo với nhau góc với tan . Thể tích V của khối tứ diện 4 BDA'' C là 8 16 A. V 16. B. V 8 . C. V . D. V . 3 3 Trang 4
5. Câu 35: [Mức độ 4] Cho hai hàm số bậc ba y fxy , g x có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng x 1,x 3 đều là các điểm cực trị của hai hàm số y fxy , g x đồng thời 3f 1 g 3 1, 2f 3 g 1 4 và f 2x 7 g 2x 3 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Sx f 2 xgx . g 2 x 27fx 4 g x 2 trên đoạn 1;3 . Tính M m. A. 225. B. 184. C. 154. D. 170. Lời giải FB tác giả: Toàn Hoàng Từ f 2x 7 g 2x 3 1: f 3 5 + Thay x 2 vào ta được f 3 g 1 1 kết hợp với 2f 3 g 1 4 . g 1 6 f 1 1 + Thay x 3 vào ta được f 1 g 3 1, kết hợp với 3f 1 g 3 1 . g 3 2 Ta có fx 3ax 1 x 3 fx ax 3 6 x2 9x b qua 1;1,3;5 a 1,b 5 fx x3 6x2 9x 5 . Tương tự có gx x3 6x2 9x 2 . Đặt t fx 1;5,x  1;3 gx 7 t . Xét Sx ht t3 6t2 9t 75,t 1;5  . 2 t 1 Ta có ht 3 t 12t 9 0 . t 3 maxSx max h t 75 1;3 1;5 M 75 M m 170 . minSx min h t 95 m 95 1;3 1;5 Trang 24
6. Vậy M m 170 . Câu 36: [ Mức độ 3] Cho hàm số y x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ở về hai phía của trục Ox ? A. 8. B. 5. C. 7 . D. 6 . Lời giải FB tác giả: Loan Minh Hai điểm cục trị của đồ thị hàm số y x3 8x2 m2 11 x 2 m2 2 ở về hai phía của trục Ox khi và chỉ khi đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt hay phương trình x3 8x2 m2 11 x 2m2 2 0 1 có 3 nghiêm phân biệt. Có 1 x3 8x2 11x 2 m2 x 2 0 x 2 x2 6x 1 m2 0 x 2 2 2 . x 6x 1 m 0 * Phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình * có hai nghiệm phân 0 10 m2 0 10 m 10 biệt khác 2 . 2 x 2 9 m 0 m 3 Do m nguyên nên m 2; 1;0;1;2. Vậy có 5 giá trị nguên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 37: [ Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y 3x4 4x3 12x2 m nghịch biến trên khoảng ; 1 ? A. 3. B. 4 . C. 6 . D. 5. Lời giải FB tác giả: Quang Trần x 0 Xét fx 3x 4 4x3 12x2 m có fx 12x 3 12 x2 24x ; fx 0 x 1 x 2 Bảng biến thiên Ta thấy hàm số y f x nghịch biến trên ; 1 khi 5 m 0 m 5 Do m và m 10 nên ta có m 5;6;7;8;9 . Trang 25
7. Câu 38: [Mức độ 3] Cho ba mặt cầu S1 , S2 , S3 có bán kính lần lượt là RRR1,,23 đôi một tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng P . Các tiếp điểm của ba mặt cầu với mặt phẳng P lập thành một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 2,3, 4 . Tính tổng R1 R2 R3 ? 61 59 67 53 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Lời giải FB tác giả: Quang Trần. Gọi ABC,, lần lượt là tiếp điểm của các mặt cầu S1 , S2 , S3 với mặt phẳng P . Không mất tính tổng quát, giả sử AB 2,BC 3, AC 4 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O1 trên OB2 . Khi đó ta có 2 2 2 22 2 R1 R2 OO12 OH1 OH2 AB R 2 R1 2 Suy ra 4RR12 AB hay RR12 1. 9 Tương tự ta cũng chứng minh được RR , RR 4 . 23 4 13 Ta có RR12 1 4 RR 1 12 R1 9 3 9 RR23 RR23 4 3 . 4 R2 RR 4 4 RR 4 13 13 R 3 RRR123 3 3 61 Suy ra R R R . 123 12 Câu 39: [Mức độ 3] Cho hai hàm số bậc ba y f x và ygx f mx n , (trong đó m, n ) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng điểm cực tiểu của hàm số y g x lớn hơn điểm cực đại của hàm số y g x là 5 đơn vị và g 0 1. Khi đó giá trị biểu thức P 3m 2n là Trang 26
8. 16 19 11 4 A. . B. . C. . D. . 5 2 2 5 Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt Do y f x là hàm số bậc ba nên fx ax 3 bx 2 cx d ; fx 3 ax2 2bx c f 0 1 a 1 f 2 3 b 3 Theo đồ thị ta có: . f 0 0 c 0 d 1 f 2 0 Do đó fx x 3 3x2 1. 3 2 Ta có gx f mx n gx mx n 3 mx n 1 n 1 TM Do g 0 1 n3 3n2 1 1 n 1 3 L . n 1 3 L gx mx 1 3 3 mx 1 2 1 mx 3 3 3mx 2 . Dựa vào đồ thị hàm số g x thì m 0 m  . 1 x 3 3 2 2 m gx 3mx 3m 0 m x 1 . 1 x m 1 x CD m Do m 0 . 1 x CT m 2 2 Theo bài ra ta có: x x 5 5 m . CTC D m 5 616 Vậy P 3m 2n 2 . 55 2x 1 Câu 40: [Mức độ 3] Cho hàm số y C và điểm M C . Tiếp tuyến của C tại M cắt x 1 đường tiệm cận ngang của đồ thị tại điểm A . Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị C có tọa độ là các số nguyên để điểm A cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn 2 10 ? A. 4 B. 6 C. 5 D. 3. Trang 27
9. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Khoa; Fb: Khoa Nguyen TXĐ: D \ 1 . 3 y . x 1 2 2x0 1 Giả sử M x0 ; C , x0 1, x0 . x0 1 3 2x 1 Tiếp tuyến của C tại M : y x x 0 . 2 0 x 1 x0 1 0 Đường tiệm cận ngang của đồ thị C : y 2 . 3 2x 1 2 Xét phương trình: 2 x x 0 2 x 1 3 xx 2x 1 x 1 2 0 x 1 0 000 x0 1 0 x 2x0 1. Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại điểm A 2x0 1;2 . 2 57 Ta có OA 2 102 OA2 40 2x 1 4 40 x . 0 20 2 Do x0 ,x0 1 x0 2; 1;0;2;3 . Do tọa độ điểm M là các số nguyên nên M 2;1, M 0;1, M 2;5 . Câu 41: [ Mức độ 4] Cho K là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, chọn ngẫu nhiên một số từ K . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4. 2243 2226 2250 2249 A. . B. . C. . D. . 9000 9000 9000 9000 Lời giải Fb tác giả: Lê Minh Huệ Không gian mẫu có 9000 phần tử. Gọi số có 4 chữ số mà tổng các chữ số chia hết cho 4 là abcd . Xét nhóm các chữ số khi chia cho 4 có 4 nhóm khác nhau về số dư 0,4,8 , 1,5,9 , 2,6 , 3,7 . TH1: a 9 Lập số bcd có 103 cách. Tiếp theo chọn a sao cho a b c d 4 có 2 cách. Có 2000 số. Trang 28
10. b 9 TH2: a 9 và b 8 Lập số cd có 102 cách. Chọn b để b c d chia cho 4 dư 3 có 2 cách. Có 200 số. TH3: a 9,b 9 c 8 Nếu thì chọn d có 10 cách, chọn c có 2 cách. c 9 Nếu c 8thì d chia 4 dư 2 nên có 2 cách chọn. Nếu c 9 thì d chia 4 dư 1 nên có 3 cách chọn. Có 2.10+2+3=25 số. TH4: a 9,b 8 c 8 Nếu thì chọn d có 10 cách, chọn c có 2 cách. c 9 Nếu c 8thì d chia 4 dư 3 nên có 2 cách chọn. Nếu c 9 thì d chia 4 dư 2 nên có 2 cách chọn. Có 2.10+2+2=24 số. Vậy có 2000+200+25+24=2249 số. 2249 Xác suất cần tìm là . 9000 Câu 42: [Mức độ 3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng 1 2 5 13 3 A. . B. . C. . D. . 4 5 4 4 Lời giải FB tác giả: Ngo Yen Trang 29
11. Gọi H là trung điểm của AB . Do mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy SH ABCD . dD , SBC Gọi SD , SBC sin . SD Do AD// SBC d D, SBC d A, SBC 2dH , SBC 2HK . Với K là hình chiếu vuông góc của H lên SB . a3 a 111 a 3 a 3 Ta có AH , BH mà HK dD , SBC . 22 HK2SH 2 BH 2 4 2 Tam giác SHD vuông tại H SD SH2 HD2 SH2 AH 2 AD2 2a . dD , SBC 3 13 Vậy sin cos SD 4 4 x 1 Câu 43: [ Mức độ 3] Cho hàm số y ( m là tham số). Tập hợp các giá trị của 2x2 2xm x 1 tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận là A. m 5;4 \ 4. B. m  5;4 \ 4 . C. m  5;4. D. m 5;4 \ 4 . Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt 1 1 1 1 Ta có lim y và lim y nên đường thẳng y và y là các x 2 1 x 2 1 2 1 2 1 đường tiệm cận ngang của ĐTHS. Nhận xét: Phương trình 2x2 2xm x 1 0 có nhiều nhất 2 nghiệm. Do đó để ĐTHS có 4 tiệm cận thì phương trình 2x2 2xm x 1 0 1 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. x 1 Ta có 2x2 2xm x 10 2 x2 2xm x 1 2 2 2x 2xm x 1 x 1 2 x 4x 1 m Bảng biến thiên hàm y x2 4x 1 Trang 30
12. Từ bảng biến thiên suy ra phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi m 5;4 \ 4 Câu 44: [ Mức độ 4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 0;2021 để phương trình ln3 xm m3 3ex ln xm m e3x có nghiệm lớn hơn 6? A. 2021. B. 1010 . C. 1624 . D. 2020 . Lời giải FB tác giả: Cao Bá Duyệt Phương trình ln3 xm m3 e3x 3.lnmex x m 0 . ln xm a Đặt m b . x e c Từ a3 b3 c3 3abc 0 abc ab 2 bc 2 c a 2 0 x a b c 0 ln xm m e 0 1 x ab c ln xm m e 2 Xét 2 : ln xm m ex ln xe x e x . Xét fx x ex . Có fx 1 ex 0 x 0 . Ta có Bảng biến thiên: x xx Do xe 1 x . Phương trình ln xe e vô nghiệm. Xét 1 : ln xm m ex 0 . tm ex Đặt ln xm t txe x et ex xe t t . t e x m Trang 31
13. u u Hàm gu e u . Có gu e 1 0 u g u đồng biến trên Mà gx gt xt x ln xm m ex x . Xét hx ex x . Xét hx ex 10 x 0 . Ta có Bảng biến thiên: Để PT đã cho có nghiệm x 6 thì phương trình hx m có nghiệm x 6 . Từ Bảng biến thiên m e6 6 . Mà m 0;2021 ; m nguyên m {398;399; ;2021} . Có 1624 giá trị của m . Câu 45: [ Mức độ 3] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện 1 a 5fx 7 f 1 x 3 x2 2x ,x . Biết rằng tích phân I x. f x d x (với a, b là 0 b a các số nguyên dương và là phân số tối giản). Tính T 3a b . b A. T 48 . B. T 16 . C. T 0 . D. T 1. Lời giải FB tác giả: Thành Đức Trung 1 1 1 1 Ta có I xd fx xf x fxx d f 1 f x d x 0 0 0 0 2 Từ điều kiện 5fx 7f 1 x 3 x 2x ,x Cho x 0 , ta có 5f 0 7f 1 0 Cho x 1, ta có 7f 0 5f 1 3 5 Từ đó suy ra f 1 8 1 1 fxx d f 1 x d x 0 0 2 Cũng từ điều kiện 5fx 7 f 1 x 3 x 2x ,x , ta suy ra 1 1 1 5fx 7f 1 x dx 3x2 6xx d f x d x 1. 0 0 0 Trang 32
14. 5 3 Ta có I 1 nên a 3,b 8 . 88 Vậy T 3a b 1 2020 2020 2022 2022 Câu 46: [Mức độ 3] Cho phương trình sinx cos x 2sin x cos x . Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng 0; 2021 bằng 2 2 1287 2 1287 2 A. . B. 643 . C. . D. 644 . 2 4 Lời giải FB tác giả: Trương Thị Tuyến Ta có: 2020 2020 2022 2022 2020 2 2020 2 sinx cosx 2sin x cosx sin x 12sin x cos x 12cos x 0 x k 2020 2020 cos 2x 0 42 sinx .cos 2xcos x .cos 2x 0 , k . 2020 tanx 1 x k 4 Tổng các nghiệm của phương trình là: k . 4 2 Để tổng các nghiệm trong khoảng 0; 2021 k 0,1, ,1286 . 2 1287 Khi đó tổng các nghiệm bằng .1287 12 1286 . 42 2 Câu 47: [ Mức độ 3] Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015 2021( 6 năm) là 9,9% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1”(tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỷ lệ giảm và tuyển dụng mỗi năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỷ lệ tuyển dụng mới hàng năm(làm tròn đến 0,01% ). A. 1, 72% . B. 2, 06% . C. 1,13% . D. 1,85% . Lời giải FB tác giả: Trương Thị Tuyến * Gọi x là số cán bộ công chức, viên chức tỉnh A năm 2015 (x ) r là tỷ lệ giảm hàng năm. Ta có số người mất việc năm thứ nhất xr Số người mất việc còn lại sau năm thứ nhất xxrx (1 r ) Tương tự số người mất việc sau năm thứ sáu là x(1 r) 5 r Suy ra tổng số người mất việc là: xr x(1 rr ) x (1 rr) 5 9,9%x Trang 33
15. r (1 rr ) (1 r )5 r 0,099 r 1 (1 r )6 0,099 (1 r )6 0,901 r 0,0172 1,72% 1 (1 r ) Tỷ lệ tuyển dụng mới hàng năm chính là tỷ lệ giảm hàng năm. Vậy tỷ lệ tuyển dụng hàng năm là 1,72%. Câu 48: [ Mức độ 4] Có bao nhiêu bộ x; y với x, y là các số nguyên và 1 x, y 2021 đồng thởi 2y 2x 1 thỏa mãn điều kiện xy 2 x 4y 8 log3 2x 3y xy 6 log2 ? y 2 x 3 A. 2018.2021. B. 2 . C. 4036 . D. 2018 . Lời giải FB Tác giả Toàn Hoàng, Kiều Thanh Bình Cách 1: Thầy Hoàng Thanh Toàn * xy,:, x y 2021 * xy,:, x y 2021 Điều kiện 2x 12y . 0, 0 x3,y 0 x3 y 2 2y 2x 1 BPT x 4 y 2 .log x 32 y .log 3 y 2 2 x 3 2y 2x 1 x 4 y 2 log3 log 3 1 y 2. x 3 . log2 log 2 1 0 y 2 x 3 2y y 2 2x 1 x 3 x 4 y 2. . m y 2 x 3 . n 0, m , n 0 y 2 x 3 x 4 y 2 m n 0 y 2 y 1 x {4,5, 2021} có 4036 bộ số x; y . y 2 Cách 2: Thầy Kiều Thanh Bình * xy, :, x y 2021 * xy, :, x y 2021 + Điều kiện 2x 12y . 0, 0 x3,y 0 x3 y 2 x 4 y 2 BPT cho có dạng x 3 y 2 log2 1 x 4 y 2 log3 1 0 (*). x 3 y 2 x 4 2 + Xét y 1 thì (*) thành x 3 log2 1 3 x 4 log3 0 , rõ ràng BPT này x 3 3 nghiệm đúng với mọi x 3 vì x 4 2 x 3 0, log2 1 log2 0 1 0, 3 x 4 0, log3 0 . x 3 3 Trường hợp này cho ta đúng 2018 bộ xy; x ;1 với 4 x 2021, x . Trang 34
16. + Xét y 2 thì (*) thành 4 x 4 log3 1 0 , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2021, x . Trường hợp này cho ta 2018 cặp x; y . + Với y 2,x 3 thì VT * 0 nên (*) không xảy ra. Vậy có đúng 4036 bộ số x; y thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 49: [ Mức độ 3] Cho khối trụ T có hai đáy là hai hình tròn O và O . Xét hình chữ nhật ABCD có hai điểm AB, cùng thuộc đường tròn O và hai điểm CD, cùng thuộc đường tròn O sao cho AB a 3,BC 2 a đồng thời mặt phẳng ABCD tạo với mặt đáy của hình trụ một góc 60 . Thể tích khối trụ T bằng a3 3 a3 3 A. . B. a3 3 . C. . D. 2 a3 3 . 3 9 Lời giải FB tác giả: Việt Thịnh, word Quốc Thép Gọi AB , lần lượt là hình chiếu vuông góc của AB, lên đường tròn O . Dễ thấy ABB A là hình chữ nhật. Do vậy AB// AB , AB AB 1 Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AB// CDAB, CD 2 . Từ hai điều trên suy ra DCB A là hình bình hành, nhưng vì tứ giác này nội tiếp đường tròn O nên nó là hình chữ nhật. Ta có BC là hình chiếu vuông góc của BC trên A B CD nên ta có: CD BC ABCD , ABCD BCBC; BCB 60 . CD BC BB 2.sin60 a a 3 hBC; 2a cos60 a DB DC2 CB 2 2a r a V rh2 a 3 3 Trang 35
17. Câu 50: [Mức độ 4] Cho hình chóp S. ABC , có đáy ta giác ABC vuông tại AAB, a 2 , AC a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S. ABC là a3 30 5a3 10 5a3 6 a3 210 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 24 Lời giải FB tác giả: Minh Phạm Ta có SA ABCD suy ra SA CD , cùng với CD AD ta được CD SAD vì vậy góc tạo bởi SC với mặt phẳng SAD là CSD hay ta có CSD 30 . Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AB, AC và O là trung điểm của BC lúc đó ta có OI, OJ, OS đôi một vuông góc với nhau, do đó ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với Ox,, Oy Oz là các tia trùng a5a 2 a5a 2 với OI, OJ, OS . Đặt , tọa độ các điểm SO ha A ;;0 , B ; ;0 , 22 22 a5a 2 và S0;0;ha . C ;;0 22  Tọa độ các vectơ AB 0; a 2;0 a. u với u 0; 2;0 ,  AC a5;0;0 a. v với v 5;0;0 ,  52 52 với . AS a; aha; a . k k ; ;h 22 22 Trang 36
18.  10 Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SAB là n uk, 2 h ;0; và pháp tuyến 1 2  10 của mặt phẳng SAC là n vk, 0; 5 h ; . 2 2 Theo giả thiết góc giữa hai mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAC bằng 60 nên ta có   n1 n 2 13 h .   22 n1 n2 1a 3 1 a3 30 Từ đây ta có thể tích khối chóp S. ABC là V .a 2.a 5 . 322 12 ___ HẾT ___ Trang 37