Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 01 trang) Bài 1. (5 điểm) 12 a) Cho hàm số yxmx 32 163 m x. 33 Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng 4; ? b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x2 43xm. Bài 2. (3 điểm) Cho các số dương x,,zy . Chứng minh rằng: x222yzxyzxyyzzx . yz zxxy2 xy yz zx Bài 3. (4 điểm) 135 2n 1 a) Tìm limu với u . n n 246 2n 2 11 v2 n b) Cho dãy số vn định bởi v1 1 và vn 1 với mọi n 1. vn Tìm công thức tính vn theo n. Bài 4. (4 điểm) Trong một buổi tiệc có 10 chàng trai, mỗi chàng trai dẫn theo một cô gái. a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo ? b) Ký hiệu các cô gái là GG12, , , G 10. Xếp hết 20 người ngồi thành một hàng ngang sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: 1. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là GG12, , , G 10. 2. Giữa G1 và G2 có ít nhất 2 chàng trai. 3. Giữa G8 và G9 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 3 chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy ? Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A111,,BC là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng AIBICI,, . Chứng minh rằng các đường thẳng AABBCC11,, 1 đồng quy. HẾT Giám thị không giải thích gì thêm. Ho ̣và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .
2. ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH - Năm học 2016 – 2017 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài 1. (5 điểm) a) TXĐ: D = 0,25 yx/2 21 m x 63 m 0,5 Hàm số đồng biến trên khoảng 4; khi và chỉ khi 0,5 xmxm2  21 6304 x 5 0,75 m 2 b) Vẽ đúng đồ thị (C): yx 2 43 x 0,75 Đường thẳng ym luôn vuông góc với Oy. 0,25 Dựa vào đồ thị, ta có: PT vô nghiệm khi và chỉ khi m 0 0,5 PT có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 0 hoặc m 1 0,5 PT có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 1 0,5 PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 01 m 0,5 Bài 2. (3 điểm) Ta có: xyz2 yzx2 zxy2 0,25 x 3 x , y , z yz 4 zx 4 xy 4 x222yzxyz Nên: 0,5 yz zx xy 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x yz 0,25 Ta có: x yxy2 yz 2 yz zx 2 zx , , 0,25 x 3 2 x y 2 yz 2 zx x y z xy yz zx Nên: 2 x yyzzx 0,5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x yz 0,25 Bài 3. (4 điểm) 135 2n 1 1 1,0 a) Bằng quy nạp ta chứng minh được . .  n 1 246 2n 2 34n 1 135 2n 1 Mà lim 0 nên lim . . 0 34n 246 2n 2 0,5 x 2 0,5 b) Dự đoán vn  tan 1. n 2n 1 Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp. 1,5 Bài 4. (4 điểm)
3. a) Có 2x10!x9! cách. 2,0 b) Giả sử có 20 chỗ ngồi được đánh số thứ tự từ trái sang phải là 1, 2, , 20. 0,25 Gọi x1 là số chàng trai được xếp bên trái G1 , x2 là số chàng trai được xếp ở giữa G1 và G2 , x3 là số chàng trai được xếp ở giữa G2 và G3 , , x10 là số chàng trai được xếp ở giữa G9 và G10 , x11 là số chàng trai được xếp bên phải G10 . 0,25 Bộ số x12,xx , , 11 hoàn toàn xác định vị trí các cô gái và: 1) xx12 x 11 10 2) x2 2 3) 13 x9 0,25 Đổi biến yx22 2 ta có: x1 yx 2 3 x 8 x 10 x 11 8 x 9 . Trong đó các ẩn không âm và 13 x9 0,25x4 Sử dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler ta được số bộ x12,xx , , 11 là: 999 CCC16 15 14 18447 Vậy có 18447.10! cách xếp thỏa đề. 0,25 Bài 5. (4 điểm) Xét trường hợp M nằm trong góc BAI . 0,5 Gọi M abc ,MM , lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BCCAAB,, . 1,5 Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được M cbAA11 M AA nên AA1 là đường trung trực của đoạn M bcM . Trường hợp M nằm trong góc CAI hoặc M nằm trên AI ta cũng chứng minh 0,5 được AA1 là đường trung trực của đoạn M bcM . 1,0 Chứng minh tương tự, ta được BB1 là đường trung trực của đoạn M acM và CC1 là đường trung trực của đoạn M abM . 0,5 Vậy AABBCC11,, 1 đồng quy.