Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

1. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ THI SỐ 1 (Đề thi có 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: . 4/2017 Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số y=+−− x3234 x mx (m là tham số). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) . Câu 2 ( 4,0 điểm) Giải phương trình: 3( x− 2) + 3 x + 4 = 32 xx ++ 1 − 3 ( xR∈ ) . Câu 3 ( 4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABC), đường SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 , M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. Câu 4 ( 3,0 điểm) 22  x−−2 3 −= yy − x + 465 x − y + Giải hệ phương trình  ( xy,∈ R). 2  2xxy−+ 3 −− 5 2 x +=− 13 y Câu 5 ( 3,0 điểm) 25a 16 bc Cho a>>> 0,b 0,c 0. Chứng minh rằng: ++>8. bc++ ca ab + Câu 6 ( 4,0 điểm) Có 2017 học sinh đứng thành vòng tròn và quay mặt vào giữa để chơi trò đếm số như dưới đây: Mỗi học sinh đếm một số lần lượt theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ học sinh A nào đó. Các số được đếm là 1, 2, 3 và cứ lặp lại theo thứ tự như thế. Nếu học sinh nào đếm số 2 hoặc số 3 thì phải dời khỏi ngay vị trí ở vòng tròn. Học sinh còn lại cuối cùng sẽ được thưởng. Hỏi học sinh muốn nhận phần thưởng thì lúc bắt đầu chơi phải chọn vị trí thứ bao nhiêu theo chiều kim đồng hồ kể từ học sinh A đếm số 1 đầu tiên. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 01/01
2. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI SỐ 1 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) (Gồm có 04 trang) Ngày thi: 4/2017 HƯỚNG DẪN CHẤM Thang Câu Đáp án điểm Cho hàm số y=+−− x3234 x mx (m là tham số). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) Ta có y'3= x2 +− 6 xm 0.5 Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) khi chỉ khi yx'≥ 0, ∀ ∈( −∞ ;0) Câu 1 ⇔3x2 + 6 xm − ≥ 0, ∀ x ∈( −∞ ;0) ⇔m ≤ fx( ) =3 x2 + 6 x , ∀ x ∈( −∞ ;0) 0.5 (2 điểm) ⇔m ≤ min fx( ) ,∀ x ∈( −∞ ;0) x∈( −∞;0) 0.5 Ta có f'( x) = 6 x + 6, fx( ) =⇔=− 0 x 1 Lập BBT, từ đó suy ra min fx( ) = f( −=−1) 3 x∈( −∞;0) 0.5 Vậy: m ≤−3 − + + = ++ − Giải phương trình 3( x 2) 3 x 4 32 xx 1 3 ĐK: x ≥ 3 ⇔3( xx − 4) +( 3443213 + −) =( x +−) +( x −− 31) 0.5 34( xx−−) 64( ) x − 4 0,5 ⇔34( x −+) = + 3x+ 4 + 4 2 xx ++ 13 −+ 31  3 61 0.5 ⇔−( x 43) + − + =0 + + ++ −+  3x 4 4 2 xx 13 31 x = 4 0.5 Câu 2  ⇔  3 61 (4 điểm) 30+ − +=  + + ++ −+  3x 4 4 2 xx 13 31 3 0.5 3 + >3, ∀≥x 3 Ta có: 3x ++ 44 6 1 61 0.5 + 0, ∀≥x 3  3x+ 4 + 4 2 xx ++ 13 −+ 31 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4 . 0.5 Trang 1/4
3. Gọi H là trung điểm của AC⇒⊥SH AC . Do ()()SAC⊥ ABC ⇒⊥ SH () ABC 0,5 Góc giữa SB và ( ABC) là SBH = 600 0,5 3a Câu 3 Trong tam giác SHB vuông tại H có SH= BH.tan 600 = 0,5 2 (4 điểm) 13a3 Vậy V= SH. S = . 0,5 S. ABC 38∆ABC Gọi N là trung điểm của AB⇒⇒MN// AC AC //( SMN ) 0,25 Ta có d( SM , AC )= d ( AC ,( SMN ))= d ( H ,( SMN )) (1) 0,25 Gọi D là giao điểm của BH và MN, K là hình chiếu vuông góc của H 0,25 lên SD. Do BD⊥ MN, MN ⊥⇒⊥ SH MN( SH D) ⇒⊥ MN HK 0,25 Có HK⊥ SD, HK ⊥⇒⊥ MN KH() SMN ⇒= KH d (,())(2) H SMN 0,25 Trong tam giác SHD vuông tại H có 1 1 1 52 3a 13 0,5 = + =⇒=KH (3) KH2 SH 2 SD 229a 26 3a 13 Từ (1), (2) và (3) suy ra d(,) SM AC= KH = . 0,25 26 x ≥ 2  Điều kiện: y ≤ 3  2 0,5 2xxy−+ 3 −≥ 50 Câu 4 22 Từ (12233*) ⇒( xx −) + −=( − yy) + −( ) (3 điểm) 2 Xét hàm số: ft( ) = t + t với t ≥ 0 0,25 1 Ta có: ft'( ) = 2 t + > 0, ∀> t0 ⇒ ft( ) đồng biến với ∀≥t 0 2 t 0.25 Trang 2/4
4. Từ (*) ⇒fx( − 2) = f( 3 − y) ⇔−=−⇔ x 23 y y =− 5 x 0.25 Thay vào phương trình (2) ta được: 2xx2 − 41021 + = x ++− x 2 0,25 ⇔−(2x 4) 2 x +=−+⇔− 1 xx2 2 5 x43 12 x + 42 x 2 −+= 36 x 9 0 0,5 22 ⇔−( xx226) + 6( xx −+=⇔−+= 6) 90( xx 2 6 3) 0 0,5 xy=+36 ⇒=− 26 xx2 −6 +=⇔ 30  xL=3 − 6 ( ) 0,5 Vậy tập nghiệm của hệ PT là S =+−{(3 6;2 6)} 25a 16 bc Cho a>>> 0,b 0,c 0. Chứng minh rằng: ++>8 bc++ ca ab + Ta có 1.0 25a 16 bc 25 16 1 ++=++++(abc) −−−25 16 1 bc++ ca ab + bc ++ ca ab + 1 25 16 1 0.5 =(bccaab +++++) + + −42 2 bc++ ca ab + Câu 5 222 (3 điểm) 1222541    0.5 =( bc ++) ( ca ++) ( ab +)  +  +  −42 2 bc++  ca  ab +  1 2 0.5 ≥(5 ++ 4 1) − 42 = 8 (Bunhiacopxki cho 6 số) 2 abk+= 0.5  Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi b+= c5 k ⇒= a 0, c = 4 kb , = k  ca+=4 k ( a = 0 trái với giải thiết). Vậy dấu ""= không xảy ra. Xét hai trường hợp: 1) Có 3n học sinh đứng thành vòng tròn thì sau lần đếm thứ nhất còn lại 1.0 3n−1 học sinh và học sinh B đếm số 1 đầu tiên trong vòng đầu sẽ đếm số 1 đầu tiên ở vòng thứ 2, do đó học sinh B sẽ ở lại đến cùng. 2) Xét trường hợp có 2017 học sinh. Vì 367= 729 < 2017 <= 3 2187 Câu 6 Nên ta sẽ đưa về TH1 để đến khi nào còn lại 36 học sinh thì học sinh A 1.0 (4 điểm) phải là người đếm số 1 đầu tiên trong 36 người. Vậy cần có 2017−= 729 1288 học sinh dời khỏi vòng tròn, tương ứng 1.0 với 644 nhóm ( mỗi nhóm 3 người loại ra 2 người). Do đó cần có 644.3= 1932 học sinh đứng trước học sinh A. Nghĩa là học sinh A phải chọn vị trí thứ 1933 kể từ học sinh đếm số 1 đầu tiên 1.0 trong 2017 người. Trang 3/4
5. Lưu ý: - Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25) - Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. .Hết Trang 4/4