Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút(không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( 2,0 điểm): 1) Cho I2;1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y xmx3 31 có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích ΔIAB bằng 82. 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho B A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường 6km gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp D A nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là C 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. 9km Câu 2 (2,0 điểm): 8 1) Giải phương trình tanx cot3 x . sin3 2x 32 3 xx 613 xyy 10 2) Giải hệ phương trình . 32 225x yxyxxy 3108 Câu 3 (2,0 điểm): u 1) Cho dãy số ()u có uuun 7, 5 12 ( * ) . Tìm lim n . n 11nn 5n 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với AB(1;3), (3; 1) . Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm trên đường thẳng dx:60 y và có hoành độ dương. Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , AS BB 6000 ,CS 90 ,ASC 120 0 . 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi VVVAABC.''',, BABC .''' CABC .'''lần lượt là thể tích các khối chóp AA.' B ' C ', B.'ABC ' ', CABC.' ' '. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PVVV AABC.''' BABC .''' CABC .'''theo a. CN AM 3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất SC AB của đoạn thẳng MN. Câu 5 (1,0 điểm): 18 Với các số thực dương abc,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 28ab bc 22()5bac22 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2017 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu Nội dung Điểm 1) Tìm tất cả các giá trị của m để ()C y xmx3 31 có hai điểm cực trị A, B sao cho m (1,0đ) diện tích ΔIAB bằng 82 với I(2;1). TXĐ: D= ; yxmy'2 33;0 ' xm 2 (1) 0,25 ()Cm có hai điểm cực trị A, B PT (1) có 2 nghiệm phân biệt m 0 Khi đó: A m;2 mm 1, B m ;2 mm 1 Phương trình AB: y 21mx hay 210mx y I.1 0,25 4m 4m Ta có: AB 44 m m2 1, d I ; AB ( Do m 0) 4141mm22 112 4m SABdIABmmABI ; .44 1. 82 0,25 22 41m2 482222()mm mm m TM 0,25 Kết luận: m = 2 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị (1,0đ) trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. + Đặt CD x km , x [0;9] B CD x2 36 ; AD 9 x nên chi phí xây dựng đường ống là : 6km 0,25 D A C 9km I.2 T x 260000000x2 36 100000000(9x ) đồng + Xét hàm số T(x) trên đoạn [0 ; 9] ta có : 13x T '(x) 20000000 5 T’(x) = 0 13x 5 x2 36 2 x36 0,25 25 5 168x22 25 x 36 xx2 . 42 5 + Lại có T(0) 2460000000; T( ) 2340000000; T(9) 260000000 117 2 0,25 5 Suy ra T(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 9] bằng 2340000000 khi x = . 2 5 + Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất bằng 2340000000 đồng khi x = hay điểm D cách A một 0,25 2
3. khoảng bằng 6,5 km. 8 1) Giải phương trình tanx cot3 x . (1,0đ) sin3 2x 8ossincx44 x Điều kiện: sin 2x ¹ 0 . PT tương đương với 0,25 sin33 2x sinxx cos 1 II.1 cxos22 sin x 1 c os2 xcx . os 2 0,25 cxos2 cxcxos2 2 os2 2 0 0,25 cxos2 1 kết hợp với điều kiện : phương trình vô nghiệm 0,25 cxos2 2 32 3 xx 613 xyy 10 (1) 2) Giải hệ phương trình 32 (1,0đ) 2xy 2 5 xy x 3 x 10 y 8 (2) 220xy * ĐK: 50 xy 0,25 122 x 3 xyy3 (*) Xét hàm số f ttt 3 . Ta có f '2 tt  310 t ft đồng biến trên  0,25 Do đó (*) yx2 . Thay y x 2 vào (2) ta được : 37231028xxxxx 32 II.2 33 xx 23 33172xxxxx 32 3 1030 xx310 2 33172xx 0,25 x 3 32 x2 10 (3) 33172xx 7 32 PT (3) vô nghiệm vì với 0 x thì 1 2 3,x2 10 10 . Vậy hệ 2 33172xx 0,25 x 3 có nghiệm duy nhất . y 1 u 1) Cho dãy số ()u có uuun 7, 5 12 ( * ) . Tìm lim n . (1,0đ) n 11nn 5n uunn 11 512 u n 35(3) u n 0,25 * Đặt vunn 35 v n 1 vn n  dãy số ()vn lập thành cấp số nhân có công bội III.1 0,25 qvu 5,11 3 10 nn 11 n vvqnn1 10.5 u 2.5 3 0,25 n n un 2.5 3 1 limnn lim lim[ 2 3 ]=-2 0,25 55 5 3) 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với (1,0đ) AB(1;3), (3; 1) . Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E III.2 và F. Tìm tọa độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm trên đường thẳng dx:60 y và có hoành độ dương.
4. Đường tròn (I) có tâm I2;1 ,bán kính r 5 . AF là E đường cao tam giác MEF nên H,A,F thẳng hàng H M AI NI 1 AI song song với HM nên HM 2AI HM NM 2 B I' A I 0,25 N F Gọi I’đối xứng với I qua A nên I '(0;5) . I I’ 2AI HM, I I’ / /HM nên HMI I’ là hình bình 0,25 hành I’H=IM=r= 5 Hd Htt(; 6), t 0; IH'5(0)(65)5 t22 t 0,25 2 t 1 2240tt . Vậy H (1; 7) . 0,25 tl 2( ) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , AS BB 6000 ,CS 90 ,ASC 120 0 . (1,0đ) 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Xét tứ diện SABC có : SA SB SC a S 0 ABS đều :do SA=SB, ASB 60 AB a 120 SBC vuông tại S BCa 2 a a SAC: AC SA22 SC 2 SA . SC . C os120 0 a 3 a 0,25 C IV.1 A H B Có : AC222 AB BC ABC vuông tại B 0,25 Hình chóp S.ABC có SA SB SC a . Hạ SH  (ABC) H là tâm đường tròn ngoại tiếp 0,25 tam giác ABC H là trung điểm của AC a a2 2 12a3 Xét SAC:SH= ; Có : S VSHS. 0,25 2 ABC 2 S. ABC312 ABC 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi VVVAABC.''',, BABC .''' AABC .'''lần lượt là thể tích các IV.2 (1,0đ) khối chóp AABC.' ' ',.'' BABC ',.'' AABC '. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PVVV AABC.''' BABC .''' CABC .'''theo a.
5.      Đặt a SA , b SB , c SC , SA ' xSA xa ,     S SB','(0,,1) ySB yb SC zSC zc x y z       C'' A SA ' SC ' xa zc ,'' C B SB ' SC ' yb zc c       GA GB GC GS22 GI GJ 0 I A'      b CA''''4' CB CC CS CG C' 0,25 G a  1111     C'( G SA SB SC 4') SC a b c ()(1) z C A 4444 B' J B    Do A’, B’, C’, G đồng phẳng nên CG ' mCA ' ' nCB ' ' mxa nybc ( mznz )(2) 1 mx 4 1111 0,25 Mà abc , , không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có ny 4 4 xyz 1 mz nz z 4 V AA 'SA SA ' 1 Ta có AABC.''' 1 VSASAxSABC.''' '' VVV 111 Tương tự ta có AABC.''' BABC .''' CABC .''' 1111 VVVSABC.''' SABC .''' SABC .''' xyz 0,25 VVVAABC.''' BABC .''' CABC .''' V SABC .''' VSABC.''' SA''' SB SC xV yz SABC.''' xyzV SABC . VSASBSCSABC. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 1 1 1 1 27 27 9a3 2 3 4 xyzPVVVV AABC.''' BABC .''' CABC .''' SABC . xyz xyz 64 64 256 0,25 3 92a3 92a3 khi xyz thì P nên giá trị nhỏ nhất của P là 4 256 256 CN AM (1,0đ) 3)Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho . Tìm giá trị SC AB nhỏ nhất của đoạn thẳng MN. CN AM Đặt mm(0 1) SC AB S     NC mSC mc,() AM mAB m b a      0,25 MNMA AS SCCNmbaacmc ( ) c IV.3 (1)mambmc (1) N b a C A M B aa22 Do ab.,.0,. bc ac nên MNmma22 (3 5 3) 2 22 0,25
6. 51111a 33 0,25  3(am222 ) a a MN m [0;1] 61212 6 5 a 33 0,25 Dấu đẳng thức xẩy ra khi m . Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 6 6 V Với các số thức dương abc , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1,0 18 P . 28ab bc 22()5bac22 1 1 0,25 Ta có 82.22bc b c b c . 2a b 8bc 2(a b c) 88 0,25 Mặt khác 2(ac )22 2 b ( ac ) b . 52()2 ac22 b 5 abc 18 Do đó P . 2(abc ) 5 abc Đặt t abct,0. 0,25 5 18 0 + Xét ft() , t 0. t 3 25tt Ta có f'(t) - 0 + 18(35)(55)tt ft'( ) , t 0. 2tttt2222 (5)2(5) f(t) 5 9 ft'( ) 0 t - 3 10 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên 0,25 59 9 f ()tf ( )  t 0 Pfabc() 310 10 55 9 9 Khi ac , b thì P .Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 6 10 10