Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hòa Bình (Có đáp án)

1. UBND TỈNH HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 15/12/2017. (Đề thi gồm có 01trang) Thời gian làm bài 180 phút. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Câu 1: (3,0 điểm): a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ()xxx=+ 1 323 - 2 . 21xmx-+2 b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng. 2 ()x-1 Câu 2 (5,0 điểm): a) Tính tổng các nghiệm x  ; của phương trình: 2(cx os 3 sin x )cos x cos x 3 sinx 1. xx b) Giải phương trình ()35++ =() 35 7.20.x 33 2 xy 36340 x xy c) Giải hệ phương trình (,xy ). 2 (1)1(6)6xy x y xxy 512 Câu 3 (4,0 điểm): Cho hình chóp SABCD. , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB= a 2, BCa và SA=== SB SC SD =2 a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA . a) Tính thể tích khối chóp SABCD. theo a. b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ADC quanh AD theo a. c) Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ()BKH . Câu 4 (4,0 điểm): n æö2 çxx2 -¹÷ , 0 7 ç ÷ a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của èøx , biết rằng n là số 323 nguyên dương thỏa mãn 42CCAnnn+1 += . b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Câu 5 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K() 2; 5 và đường tròn (C) có phương 22 trình (xy-+-=1110) ( ) . Đường tròn ()C2 tâm K cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho dây cung AB = 25. Viết phương trình đường thẳng AB . Câu 6 (2,0 điểm): 2 a) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng (ab++³) ( a22 b) 8 ab 22. b) Cho xyz,, là các số thực thỏa mãn xyz>>>0 và xyz++=1 . 1182 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =+++. 223 ()xy () yz xz y Hết
2. UBND TỈNH HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN. (Đáp án gồm có 03trang) Ngày thi: 15/12/2017 Câu Nội dung Điểm Tập xác định của hàm số D = . fxʹ( )=-6(1 x x ) 0,5 1a fxʹ()= 0 khi xx==0, 1 1,0 (2đ) Xét dấu fxʹ( ). Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ ()1; 2 và một cực tiểu (0;1) . 0,5 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giới hạn: lim y = ¥ hoặc lim y = ¥ x 1+ x 1- 0,5 æö2 ÷ Ta có: limç 2xmx-+=-+ 1÷ 2 m 1 với m ³-1. x 1èøç Do đó với m 0 . 0,5 èøèøçç22÷÷èøç 2 ÷ 2b 2 (1,5đ) æö 1735352 ç ÷ Ta có PT tttt+= 7710 - += = =ç ÷ 0,5 t 22èøç ÷ Từ đó suy ra PT có 2 nghiệm x = 2 . 0,5 ĐK: y 1 2c 3 0,5 Phương trình (1) tương đương : x 13xyyyx 13 3 1 (2đ) 1,0
3. +++++=++2 (xx12) ( xx 67) xx 712 x 12267328 xxxxx 2 xx 16 xx240 xx 22 73 x 2 xx 16 x 40* xx 22 73 Chứng minh phương trình (*) vô nghiệm xx 22 xx 661 -  02x 0,5 xx 2222 73 x 22 Kết luận hệ phương trình có nghiệm xy;2;3 S H 0,5 3a A O B (2đ) K D C Gọi OACBD=Ç. Ta có SO^( ABCD) . AC a 3 313aa22 a 13 OA == . SO2222=- SA OA =-=4 a = SO . 0,5 22 44 2 113aa3 .26 Vaa== 2. 1,0 SABCD. 32 6 3b 2 SDCACaxq 6. 1,0 (1đ) Chỉ ra được K là trọng tâm tam giác BCD , KA= 2 KC . Chứng minh được ^ . SA( BKH) 0,5 Do đó góc giữa SB và ()BKH là góc SBH . a 6 2.SO AC a 39 3c Tính được BK = , KH == 3 36SA (1đ) Tam giác BKH vuông ở K . 0,5 2397aaa222 a 7 Từ đó suy ra BH2 =+ = = BH 3364 2 BH 7 và cosSBH ==. SB 4 323 * 4a Từ 42CCAnnn+1 +=. Điều kiện n Î , n ³ 3. Tìm được n = 11. 1,0
4. 11 (2đ) æö1111-k 11 2221÷ kkkkk 223- çxCxCx-=÷ åå() -22 =() - 0,5 èøç ÷ 11() k 11 Khai triển x kk==00x Hệ số x7 tương ứng với 22-= = 3kk 7 5. 7 5 5 0,5 Vậy hệ số x là C11 ()-=-2 14784 3 Tính số phần tử của không gian mẫu: n() C14 364. 0,5 Gọi A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X không có cạnh nào là cạnh của đa giác ” Suy ra A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X có ít nhất một cạnh là cạnh của đa 0,5 giác ” 4b TH 1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa mãn. (2đ) 0,5 TH 2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có 14.10=140 tam giác thỏa mãn. Suy ra nA( ) 14 140 154 Vậy số phần tử của biến cố A là: nA( )  n ( ) nA ( ) 210 0,5 nA() 15 Suy ra PA() n() 26 Gọi H là giao điểm IK và AB . 0,5 Tính được IH = 5 5 Viết PT đường thẳng IK:2-++= x y 1 0. HIKHttÎ ( ;2 - 1) 0,5 (2đ) IH= 50;1 H() - hoặc H(2;3) 0,5 Đường thẳng AB đi qua H và vuông góc với IK nên có phương trình: xy++=220 hoặc xy+-=280. 0,5 2 6a ()ab+³40; ab >() a22 +³ b 20 ab > 0,5 (0,5đ) Nhân các vế tương ứng hai bđt trên, suy ra điều phải chứng minh. 11 8 118 Theo phần a) ta có +³ với ab, > 0 nên +³. 22 2 222 ab()ab+ (xy ) ( yz) ( xz) 1182882 Suy ra P =+++³++ 22323 (xy ) ( yz) xzyy( xz -) xz 2 mn22(mn+ ) Ta chứng minh được bất đẳng thức : +³ với abmn,, ,> 0 0,5 ab ab+ 2 ab 14(12+ ) 9 đẳng thức xảy ra khi = . Ta có: +³ = . 222 6b mn (xz ++) 4xz ( xz) 4 xzxz( ) (1,5đ) æö ç ÷ ç 142722722÷ Vì vậy P ³++³+=+8ç ÷ . ç 2323234xz÷ èøç()xz-+-÷ yyy() xz()1 y 36 1 æö1 Xét hàm số ft()=+ với 01<<t . Ta được minft()== fç ÷ 216 23 ç÷÷ 0,5 ()1-t t ()0;1 èø3 1 2 2 Vậy P nhỏ nhất bằng 216 khi y = , và xz+= , ()xz-=2 xz 3 3 0,5 22 11 1 11 Hay xz+=, xz = . Tức là xyz=+;; = =- 327 33333 33 Hết