Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Lai Châu (Có đáp án)

1. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề thi có 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/4/2018 Câu 1 ( 6,0 điểm) 42 a) Cho hàm số y= x − mx +− m 1 có đồ thị là (Cm ) .Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. m 3 b) Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên thỏa mãn fx( +−=2221 x) x −. Tính tích 10 phân I= ∫ fx( )d x. 1 xxx2 c) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25−+= 2.10m 4 0 có hai nghiệm trái dấu. Câu 2 ( 4,0 điểm) a) Cho hình lăng trụ ABCD.'' A B C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi. Hình chiếu vuông góc của A' lên ( ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD . Biết AB= a , ABC =1200 , AA' = a . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.'' A B C ' D ' theo a . xz− 3 y − 3 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , mặt 1 32 phẳng (α) :xyz +−+= 30 và điểm A(1; 2;− 1) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α) . 22 x 2 y x y 63 xy Câu 3 ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình 32 4 x 2 xy 2 x 3 12 y Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho các số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=++ ab35 ac bc . Câu 5 ( 3,0 điểm) Có 20 người xếp thành một vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho không có hai người kề nhau được chọn. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 01/01
2. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25) - Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM 42 a) Cho hàm số y= x − mx +− m 1 có đồ thị là (Cm ) .Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và trục hoành là: 0.5 x42− mx + m −=1 0 (1) Câu 1 2 2 t =1 Ý a Đặt t= xt( ≥ 0). Khi đó (1) ⇔t − mt + m −=1 0 (2) ⇔  0.5 (2 điểm) tm= −1 Yêu cầu bài toán ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt 0.5 ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ 1 m >1 ⇔  . Vậy  . 0.5 m ≠ 2 m ≠ 2 Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn 10 fx( 3 +−=2221 x) x −. Tính tích phân I= ∫ fx( )d x. 1 10 10 Ta có: I=∫∫ f( x)d x = f( t) dt . 0.5 11 Câu 1 Đặt tx=32 +2 x −⇒ 2 d t = 3 x + 2d x. Ý b ( ) tx=⇒=11 0.5 (2 điểm) Đổi cận: tx=10 ⇒= 2 10 2 Khi đó: I=∫∫ f( t) dt = f( x32 +−2 x 23)( x + 2) dx . 0.5 11 2 39 =−∫(2x 13)( x2 += 2) dx 0.5 1 2 Trang 1/4
3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25xxx−+= 2.10m2 4 0 có hai nghiệm trái dấu 2xx xxx2 55  2 25−+= 2.10m 4 0 (1) ⇔ −20  +=m 22  x 5 0.5 Đặt t = > 0 . Phương trình (1) có dạng: 2 t22−+20 tm = ⇔mtt22 =−+2 (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình (2) phải có hai nghiệm tt, thỏa mãn: 01 0 gt′( ) =−+22 t ; gt′( ) =01 ⇔= t ; lim gt( ) = −∞ t→+∞ 0.5 BBT: Từ bảng biến thiên suy ra 0<mm2 < 1 ⇔ ∈−( 1; 0) ∪( 0;1) . 0.5 A' B ' D ' C ' A B H D C Câu 2 Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD ⇒⊥A' H( ABCD) . Ý a a 3 0.5 (2 điểm) BAD =−=18000 ABC 60 nên tam giác ABD đều cạnh a ⇒=AH 3 a 6 ∆A' AH vuông tại H ⇒=A'' H AA22 −= AH 0.5 3 aa2233 SS=2 = 2. = 0.5 ABCD∆ ABD 42 a3 2 V= AHS'. = 0.5 ABCDA'''' B C D ABCD 2 Câu 2 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng Trang 2/4
4. Ý b xz− 3 y − 3 d : = = , mặt phẳng (α) :xyz +−+= 30 và điểm A(1; 2;− 1) . (2 điểm) 1 32 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α) . Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến n =(1;1; − 1)  0.5 Gọi Md= ∩∆⇒M(3 ++ t ;3 3 tt ;2 ) ⇒ AM =++(2 t ;1 3 tt ;2 + 1)  ∆//(α ) ⇒AM . n = 0 ⇔=− t 1 0.5  Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là AM =(1;2;1 −−) 0.5 xy−−+121 z Phương trình chính tắc của ∆ là: = = . 0.5 1−− 21 22 x 2 y x y 6 3 xy (1) 32 4 x 2 xy 2 x 3 1 2 y (2) 3 1 2. Điều kiện x và y 0.5 2 2 2 2 (1) viết lại là x +(1-3y)x + 2y +y-6 = 0. 0.5 xy 2 Do đó . 0.5 xy 23 Vì điều kiện nên ta loại xy 23. 0.5 Câu 3 Thay yx 2 vào (2) ta được phương trình 0.5 (4 điểm) x32 2 xx 2 2 x 34 52 x 0 (3) 35 Xét hàm số f(x) = x32 2 xx 2 2 x 34 52 x 0 với x ; 0.5 22 11 35 ta có fx'( ) 3 x2 4 x 1 >0 với x ; 23x 24 (5 2x )3 22 0.5 35 nên f(x) đồng biến trên ; 22 Nhận thấy x 2 là nghiệm của (3). Do đó x 2 là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm xy, 2,0 0.5 Cho các số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=++ ab35 ac bc . c=−1( ab +) ≥⇔≤+≤ 00 ab 1 Theo giả thiết ta có: 0.5 Câu 4 ac+=−≥⇔≤≤1 b 00 b 1 (3 điểm) Khi đó ab+3 ac + 5 bc = ab + 3 c( a ++ b) 2 bc = ab + 31( −+( a b))( a ++ b) 2 b( 1 −+ ( a b) 2 0.5 = −+ + + +−+−2 32(ab) ( ab) ( b b) ab 1 Xét hàm f( x) =−+ x2 xx, ∈[ 0;1] . Dễ thấy fx( ) ≤ ∀∈ x[0;1] 0.5 4 Trang 3/4
5. Theo chứng minh trên ab+∈[0;1] ; b ∈[ 0;1] 11 0.5 nên f( a+≤ b) ; f( b) ≤− ;0 ab ≤ 44 1 15 Suy ra ab++≤+=3 ac 5 bc 3. 2. 0.5 4 44 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=0; bc = = 0.5 2 Có 20 người xếp thành một vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho không có hai người kề nhau được chọn. Ta giải bài toán tổng quát sau: Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? Giả sử ta chọn được k người. Gọi x1 là số người tính từ người đầu tiên đến trước người thứ nhất được chọn, x2 là số người giữa người thứ nhất được 0.5 chọn và người thứ hai được chọn, , xk là số người giữa người thứ k -1 và người thứ k được chọn và xk+1 là số người sau người thứ k được chọn đến cuối. Khi đó ta có : x1 + x2 + + xk+1 = n – k (1) Với x1, xk+1 là các số nguyên không âm ; x2, , xk là các số nguyên ≥ 1. Ngược lại, nếu (x1, , xk+1) là một nghiệm của (1) với x1, xk+1 ≥ 0, x2, , xk ≥ 1 thì ta cho tương ứng với cách chọn người thứ 1+x1, 2+x1+x2, , 0.5 k+x1+ +xk thì rõ ràng do (i + x1 + + xi) – (i-1 + x1 + +xi-1) = 1 + xi ≥ 2 Câu 5 nên không có 2 người liên tiếp được chọn. (3 điểm) Đặt y1 = x1, yk+1 = xk+1 và yi = xi – 1 với i=2, , k thì được y1 + y2 + + yk+1 = n – 2k + 1 (2) với yi là các số nguyên không âm. 0.5 k Theo kết quả định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng Cn−k +1. Giả sử 20 người đó được đánh số 1, 2, , 20. Ta xét các trường hợp sau : TH1: Người số 1 được chọn. Khi đó người số 2 và số 20 không được chọn. Như vậy ta phải chọn thêm 4 người từ 3 đến 19 sao cho không có hai người 0.5 kề nhau được chọn. Vì 19 không kề 3 nên có thể coi đây là 17 người xếp theo 4 một hàng dọc. Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng C14 . TH2 : Người số 1 không được chọn. Khi đó ta cần chọn 5 người từ số 2 đến 20 sao cho không có 2 người kề nhau được chọn. Vì 2 và 20 không kề nhau nên có thể coi đây là 19 người xếp theo một hàng dọc. Theo kết quả của bài 0.5 5 toán trên, số cách chọn bằng C15 . 4 5 C14 + C15 =4004 0.5 .Hết Trang 4/4
6. UBND TỈNH LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017-2018 PHIẾU CHẤM VÒNG 1 Môn: Địa lí Mã túi Số phách . . Câu 1 Điểm Nội dung Điểm chấm 42 a) Cho hàm số y= x − mx +− m 1 có đồ thị là (Cm ) .Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và trục hoành là: Câu 1 42 x− mx + m −=1 0 (1) 0.5 Ý a (2 2 2 t =1 Đặt t= xt( ≥ 0). Khi đó (1) ⇔t − mt + m −=1 0 (2) ⇔  0.5 điểm) tm= −1 Yêu cầu bài toán ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt 0.5 ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ 1 m >1 ⇔  . Vậy  . 0.5 m ≠ 2 m ≠ 2 Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn 10 fx( 3 +−=2221 x) x −. Tính tích phân I= ∫ fx( )d x. 1 10 10 Ta có: I= f( x)d x = f( t) dt . ∫∫ 0.5 Câu 1 11 Ý b Đặt tx=32 +2 x −⇒ 2 d t =( 3 x + 2d) x. (2 tx=⇒=11 0.5 điểm) Đổi cận: tx=10 ⇒= 2 10 2 Khi đó: I=∫∫ f( t) dt = f( x32 +−2 x 23)( x + 2) dx . 0.5 11 2 39 =−∫(2x 13)( x2 += 2) dx 0.5 1 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25xxx−+= 2.10m2 4 0 có hai nghiệm trái dấu 2xx Câu 1 xxx2 55  2 25−+= 2.10m 4 0 (1) ⇔ −20  +=m Ý c 22  (2 x 5 0.5 điểm) Đặt t = > 0 . Phương trình (1) có dạng: 2 t22−+20 tm = ⇔mtt22 =−+2 (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình (2) phải 0.5 Trang 1/4
7. có hai nghiệm tt12, thỏa mãn: 01 0 gt′( ) =−+22 t ; gt′( ) =01 ⇔= t ; lim gt( ) = −∞ t→+∞ 0.5 BBT: Từ bảng biến thiên suy ra 0<mm2 < 1 ⇔ ∈−( 1; 0) ∪( 0;1) . 0.5 A' B ' D ' C ' A B H D C Câu 2 Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD ⇒⊥A' H( ABCD) . Ý a (2 a 3 0.5 BAD =−=18000 ABC 60 nên tam giác ABD đều cạnh a ⇒=AH điểm) 3 a 6 ∆A' AH vuông tại H ⇒=A'' H AA22 −= AH 0.5 3 aa2233 SS=2 = 2. = 0.5 ABCD∆ ABD 42 a3 2 V= AHS'. = 0.5 ABCDA'''' B C D ABCD 2 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng xz− 3 y − 3 d : = = , mặt phẳng (α) :xyz +−+= 30 và điểm A(1; 2;− 1) . 1 32 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt Câu 2 α Ý b đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( ) . (2 Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến n =(1;1; − 1) điểm)  0.5 Gọi Md= ∩∆⇒M(3 ++ t ;3 3 tt ;2 ) ⇒ AM =++(2 t ;1 3 tt ;2 + 1)  ∆//(α ) ⇒AM . n = 0 ⇔=− t 1 0.5  Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là AM =(1;2;1 −−) 0.5 Trang 2/4
8. xy−−+121 z Phương trình chính tắc của ∆ là: = = . 0.5 1−− 21 22 x 2 y x y 6 3 xy (1) 32 4 x 2 xy 2 x 3 1 2 y (2) 3 1 2. Điều kiện x và y 0.5 2 2 2 2 (1) viết lại là x +(1-3y)x + 2y +y-6 = 0. 0.5 xy 2 Do đó . 0.5 xy 23 Câu Vì điều kiện nên ta loại xy 23. 0.5 3 Thay yx 2 vào (2) ta được phương trình 0.5 (4 x32 2 xx 2 2 x 34 52 x 0 (3) điểm) 35 Xét hàm số f(x) = x32 2 xx 2 2 x 34 52 x 0 với x ; 0.5 22 11 35 ta có fx'( ) 3 x2 4 x 1 >0 với x ; 23x 24 (5 2x )3 22 0.5 35 nên f(x) đồng biến trên ; 22 Nhận thấy x 2 là nghiệm của (3). Do đó x 2 là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm xy, 2,0 0.5 Cho các số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=++ ab35 ac bc . c=−1( ab +) ≥⇔≤+≤ 00 ab 1 Theo giả thiết ta có: 0.5 ac+=−≥⇔≤≤1 b 00 b 1 Khi đó ab+3 ac + 5 bc = ab + 3 c( a ++ b) 2 bc = ab + 31( −+( a b))( a ++ b) 2 b( 1 −+ ( a b) 2 0.5 = −+ + + +−+−2 32(ab) ( ab) ( b b) ab Câu 4 2 1 (3 Xét hàm f( x) =−+ x xx, ∈[ 0;1] . Dễ thấy fx( ) ≤ ∀∈ x[0;1] 0.5 4 điểm) Theo chứng minh trên ab+∈[0;1] ; b ∈[ 0;1] 11 0.5 nên f( a+≤ b) ; f( b) ≤− ;0 ab ≤ 44 1 15 Suy ra ab++≤+=3 ac 5 bc 3. 2. 0.5 4 44 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=0; bc = = 0.5 2 Có 20 người xếp thành một vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người Câu 5 sao cho không có hai người kề nhau được chọn. (3 Ta giải bài toán tổng quát sau: Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao điểm) nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? 0.5 Giả sử ta chọn được k người. Gọi x1 là số người tính từ người đầu tiên đến Trang 3/4
9. trước người thứ nhất được chọn, x2 là số người giữa người thứ nhất được chọn và người thứ hai được chọn, , xk là số người giữa người thứ k -1 và người thứ k được chọn và xk+1 là số người sau người thứ k được chọn đến cuối. Khi đó ta có : x1 + x2 + + xk+1 = n – k (1) Với x1, xk+1 là các số nguyên không âm ; x2, , xk là các số nguyên ≥ 1. Ngược lại, nếu (x1, , xk+1) là một nghiệm của (1) với x1, xk+1 ≥ 0, x2, , xk ≥ 1 thì ta cho tương ứng với cách chọn người thứ 1+x1, 2+x1+x2, , 0.5 k+x1+ +xk thì rõ ràng do (i + x1 + + xi) – (i-1 + x1 + +xi-1) = 1 + xi ≥ 2 nên không có 2 người liên tiếp được chọn. Đặt y1 = x1, yk+1 = xk+1 và yi = xi – 1 với i=2, , k thì được y1 + y2 + + yk+1 = n – 2k + 1 (2) với yi là các số nguyên không âm. 0.5 k Theo kết quả định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng Cn−k +1. Giả sử 20 người đó được đánh số 1, 2, , 20. Ta xét các trường hợp sau : TH1: Người số 1 được chọn. Khi đó người số 2 và số 20 không được chọn. Như vậy ta phải chọn thêm 4 người từ 3 đến 19 sao cho không có hai người kề 0.5 nhau được chọn. Vì 19 không kề 3 nên có thể coi đây là 17 người xếp theo 4 một hàng dọc. Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng C14 . TH2 : Người số 1 không được chọn. Khi đó ta cần chọn 5 người từ số 2 đến 20 sao cho không có 2 người kề nhau được chọn. Vì 2 và 20 không kề nhau nên có thể coi đây là 19 người xếp theo một hàng dọc. Theo kết quả của bài 0.5 5 toán trên, số cách chọn bằng C15 . 4 5 C14 + C15 =4004 0.5 Tổng điểm toàn bài: điểm. Bằng chữ: Lai Châu, ngày . tháng .năm 2018 CÁN BỘ CHẤM THI LẦN 1 (Ký, ghi rõ họ tên) Trang 4/4