Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT HẢI DƯƠNG Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2018 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 21x − 1) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng dy: =−+ xm cắt (C) tại hai x +1 điểm phân biệt A và B sao cho ∆PAB đều, biết P(2;5) . 2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB= 25 m , chiều rộng AD= 20 m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( MN, lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m . Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C . Câu II (2,0 điểm) (31)4x++22 yy =+ 431 x + 1) Giải hệ phương trình  . 3xy= 4 x ++ 42 x + 3 2) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12. Câu III (2,0 điểm) 2 11+−un 1) Cho dãy số (un ) xác định bởi uu11=1, n+ =, ∀≥n 1 . Xét tính đơn điệu và bị chặn un của (un ) . 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD (AB // CD , AB> CD )có AD= DC , D(3; 3) . Đường thẳng AC có phương trình xy−−=20, đường thẳng AB đi qua M (−− 1; 1) . Viết phương trình đường thẳng BC . Câu IV (3,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.’’’’ A B C D có đáy ABCD là hình vuông . 1) Gọi S là tâm của hình vuông ABCD''''. SA , BC có trung điểm lần lượt là M và N . Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ()ABCD một góc bằng 600 và AB= a . 2) Khi AA' = AB . Gọi RS, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’ D , CD’sao cho RS vuông a 3 góc với mặt phẳng (CB ' D ') và RS = . Tính thể tích khối hộp ABCD.’’’’ A B C D theo a . 3 3) Cho AA' = AB = a . Gọi G là trung điểm BD ' , một mp( P)thay đổi luôn đi qua G cắt các đoạn thẳng AD', CD ', D ' B ' tương ứng tại HIK,, . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 11 1 T =++ . DHDI'.' DIDK '.' DKDH '.' Câu V (1,0 điểm) 16 Cho các số dương abc,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = − . a+ ab +3 abc a ++ b c Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị coi thi số 1: Chữ kí giám thị coi thi số 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu Nội dung Điểm Câu I.1 21x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) . Tìm m để đường thẳng dy: =−+ xm cắt (C) 1,0 đ x +1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho ∆PAB đều, biết P(2;5) . hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ()C là nghiệm phương trình 21x − =−+⇔xm x2 −( m − 3) xm − −= 1 0( 1) ( x = −1không là nghiệm của (1)) 0,25 x +1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔∆>⇔0mm2 − 2 + 13 >⇔ 0 m ∈ 0,25 xx12+=− m3 Gọi xx12, là các nghiệm của phương trình (1), ta có:  xx12=−− m 1 Giả sử Ax( 11;−+ x m) , Bx( 22;−+ x m) 2 Khi đó ta có: AB=2( x12 − x ) 0,25 2 2 22 PA=( x1 −+−+−=2) ( x 1 m 5) ( x 12 −+− 22) ( x ) , 2 2 22 PB=( x2 −+−+−=2) ( x 2 m 5) ( x 21 −+− 22) ( x ) Suy ra ∆PAB cân tại P Do đó ∆PAB đều ⇔=PA22 AB 22 2 2 ⇔−+−=( x12) ( x 2 2) 2( xx12 −) ⇔+( xx 12) +4( xx 12 +−) 6 xx 12 −= 80  = 2 m 1 0,25 ⇔mm +4 −=⇔ 50  . Vậy giá trị cần tìm là mm=1, = − 5 . m = −5 Câu I.2 Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB= 25 m, chiều rộng 1,0 đ AD= 20 m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( MN, lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m . Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C . B M C Giả sử con đường đi từ A đến C gặp vạch chắn MN tại E đặt NE= x( m )( x ∈ [0;25]) ⇒=AE x22 +10 ; CE=(25 −+ x )22 10 25m 0,25 E x A 20m N D AE CE x2 +100 (25−+x )2 100 Thời gian làm đường đi từ A đến C là tx()=+= + ()h 0,25 15 30 15 30 xx(25− ) tx'( ) = − ; 0,25 15xx22+ 100 30 (25 −+ ) 100
3. tx'( )=⇔ 0 2 x (25 −+ x )22 100 =− (25x ) x + 100 xx(25−≥ ) 0 ⇔  2 2 22 4x [(25−+ x ) 100] =− (25xx ) ( + 100) 0≤≤xx 25 0≤≤ 25 ⇔⇔ 22 2 2 2 2 4(25−xx ) ( −+ 25) x [400 −− (25 x ) ]=0 ( x − 5)[4(25 − xx ) ( ++ 5) x (45 − x )]=0 ⇔=x 5; 20++ 725 10 2 725 2 5 tt(0) = , (25) = , t (5) = ⇒ Thời gian ngắn nhất làm con đường từ 30 30 3 0,25 25 A đến C là (giờ). 3 CâuII.1 (3x++ 1)22 4 yy =+ 4 3 x + 1 (1) 1,0 đ Giải hệ phương trình  3xy= 4 x ++ 4 2 x + 3 (2) y ≥ 0  Điều kiện  1 . x ≥−  3 (1)⇔ (3x + 1)22 − 4 3 xy += 1 − 4 y (*) xét hàm số ft( )= t4 − 4 tt ( ∈ [0; +∞ )); từ (*) ta có f( 3 x+= 1) fy ( ) ft'( )= 4 t3 − 4; ft '( ) = 0 ⇔= t 1 bảng biến thiên 0,25 t 0 1 +∞ f'(t) - - 0 + f(t) Từ bảng biến thiên ta thấy : hàm số nghịch biến trên [0;1] ; đồng biến trên [1;+∞ ) + Nếu 31x + và y cùng thuộc [0;1] hoặc [1;+∞ ) thì ta có 31x+= y ⇔ yx = 31 + 0,25 thay vào (2) ta có 3xx= ++ 31 x = 1 3(31)4xxxxxxx+ = ++ 42 +⇔ 3 92 =++ 42 +⇔ 3  ⇔ (thỏa 3xx=−+− 31 y = 4 0,25 mãn) +Nếu 31x + và y không cùng thuộc [0;1] hoặc [1;+∞ ) thì 31xy− ( 3x+− 1 1)( y −≤⇔ 1) 0 .≤⇔ 0xy ( −≤ 1) 0 0,25 3xy++ 11 + 1 từ (2) ⇔3xy ( − 1) = ( x ++ 3 1)2 > 0 vô lý. Vậy hệ có 2 nghiệm (;xy )là (1; 4) CâuII.2 Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ 1,0 đ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12. Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là Ω 5 Số phần tử của không gian mẫu là: n( Ω )=C12 = 792 0,25 Gọi A là biến cố “ Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12''
4. Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : + 2 tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, một tiết mục khối 11 0,25 + 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11 + 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11 221 212 311 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) =CCC4. 3 . 5++= CCC 4 . 35 . CCC 435 . . 330 . 0,25 330 5 Xác suất cần tìm là P = = . 0,25 792 12 Câu III.1 2 11+−un 1,0 đ Cho dãy số (u ) xác định bởi uu=1, + =, ∀≥n 1 . Xét tính đơn điệu và bị n 11n u n chặn của (un ) . Chứng minh un>0, ∀∈ * (1) . (1) n 0,25 u1 =10 > (1) đúng khi n = 1. +−2 11uk uk Giả sử uu>0, k ≥⇒ 1 + = = >0 kk1 2 uk 11++u k 0,25 * Vậy (1) đúng khi n = k + 1 ⇒unn >0, ∀∈ . 2 22 11+−un 11 +−− uunn * unn++11−= u −=un CD )có AD= DC , D(3; 3) . Đường thẳng AC có phương trình 1,0 đ xy−−=20, đường thẳng AB đi qua M (−− 1; 1) . Viết phương trình đường thẳng BC . Gọi H là hình chiếu của D trên AC và D ' là giao điểm của DH với AD . D C Vì DC= AD nên ∆ADC cân tại D⇒= DAC DCA mà CAB = DCA (so le H trong)⇒=DAH D' AH ⇒H là trung điểm của I BB’. BB 'qua B và vuông góc với AC. Ta viết 0,25 B A D' M được phương trình BB’: xy+−=60 H=∩⇒ BB' AC H (4; 2) . Có H là trung điểm của DD ' . Do đó D '( 5;1) .  AB đi qua M và nhận MD ' làm vtcp nên phương trình AB: x− 3 y −= 20⇒∩=AC AB A(2;0)   Ta có ADCD ' là hình bình hành nên AD= D' C . Do đó,C (6;4) . 0,25 Gọi d là đường trung trực của DC , suy ra d:3 xy+− 17 = 0 .Gọi I= d ∩ AB , I là trung 53 11 43 11 điểm của AB . AB∩= d I ; ⇒B; . 10 10 55 0,25    Đường thẳng BC đi qua C và nhận CB làm vectơ chỉ phương nên BC:9 x+−= 13 y 106 0 . 0,25 Câu Cho hình hộp đứng ABCD.’’’’ A B C D có đáy ABCD là hình vuông . III.1 1) Gọi S là tâm của hình vuông ABCD''''. SA , BC có trung điểm lần lượt là M và 1,0 đ N . Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ()ABCD một góc bằng 600 và AB= a .
5. S Gọi H là trung điểm của AC => SH là trung tuyến trong tam giác ∆.SAC . Mặt khác ∆SAC cân tại S M => SH là đường cao ⇒⊥SH AC (SAC) ⊥( ABC);( SAC) ∩=( ABC) AC  SH⊂⊥( SAC); SH AC  I H C A 0 ⇒⊥SH( ABC) 60 0,25 a N B Gọi I là trung điểm của AH , mà M là trung điểm của SA => IM là đường trung bình trong  IM// SH  tam giác SAH ⇒  1 IM= SH  2 ⊥  0,25 SH( ABC) 0  ⇒⊥IM( ABC) ⇒ MNI =( MN,( ABC)) = 60 IM// SH  33 ∆ABC vuông cân tại B , có AB = a => BC = a; AC= a 2 => CI = CI= AC = a 2 . 44 1 a NC= BC = ; ∆ABC vuông cân tại B ⇒==AC 450 . 22 0,25 aa10 30 Xét ∆CNI CÓ : NI= CI22 + CN −2 CI . CN .cos ICN = ⇒= MI IM.tan 600 = 44 aa30 1 1 1 3 30 ⇒=SH2 MI = ⇒ V =.S .SH = . . AB . BC . SH = 2 S. ABC 3 ∆ABC 3 2 12 0,25 Câu Khi AA' = AB . Gọi RS, lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’ D , CD’sao cho III.2 a 3 1,0 đ RS vuông góc với mặt phẳng (CB ' D ') và RS = . Tính thể tích khối hộp 3 ABCD.’’’’ A B C D theo a .            Đặt AA'= mAD ,'' = nAB ,'' =⇒=== p m n p bmn;. = np . = pm . = 0     D' C' và AR'.';'.'= xADDS= yDC n Ta có          A' B' p A' ;' R= xm + xn D S = ym + y p ⇒= R S'''' RA + A D + D S   0,25 S =( y − xm) +−(1 xn) + yp R m D C A B Do đường thẳng RS vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có       ( y− xm) +−(1 xn) + yp .0 m + n = RS.' B C = 0 ( ) ( ) 0,25   ⇔     RS.' D C = 0 − +− + + =  (( y xm) (1 xn) yp) .0( m p)  2 x = 1+−yx 20 =  3  21    ⇔⇔Vậy RS, là các điểm sao cho AR'= ADDS '; '= DC ' 0,25 20yx−= 1 33  y =   3
6.    1 11 b2 ba3 3 ⇒=−++⇒RS m n p RS23 =⇒= RS = ⇔=⇒b a V =a 0,25 3 33 3 3 3 ABCD.''' A B C D ' Câu Cho AA' = AB = a . Gọi G là trung điểm BD ' , một mp( P)thay đổi luôn đi qua G cắt III.3 các đoạn thẳng AD', CD ', D ' B ' tương ứng tại HIK,, . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1,0 đ 11 1 T =++ . DHDI'.' DIDK '.' DKDH '.' D' D' C' K A' B' H E G G F I C A D C 0,25 B' A B Vì AA' = AB = a nên ABCD.' A B ' C ' D 'là hình lập phương có G là trung điểm BD ' nên G là tâm của ABCD.' A B ' C ' D '. Gọi E, F lần lượt là tâm ADD'A' và BB'C'C ⇒ E, F lần lượt là trung điểm A'D và B'C; G là trung điểm EF        1    ⇒+GA GB' ++ GC GD '2 = GE + 2 GF =⇔= 0 D ' G( D 'D'CD'B' A + + ) 4  DA'  DC '  DB ''   a2  a 2  a 2 ⇔4'DG = .' DH + .' DK + .' DI ⇔= DG ' .' DI + .' DK + .DH' (1) DH''' DK DI 4'DI 4' DK 4' DH Vì 4 điểm H,I,K,G đồng phẳng nên          GH=+⇔−= kGI lGK. DH ' DH ' kDI (' − DG ') + lDK (' − DG ')  kl   1  ⇔=DG' .' DI + .' DK − .' DH (2) 0,25 kl+−11 kl +− kl +− 1    aa22 a 2 do DIDKDH',',' không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta được ++ =1 4'DI 4' DK 4' DH 1 ta chứng minh được (ab+ bc + ca )( ≤ a ++ b c )2 nên 3 0,25 1 1 1 11 1 1 8 T = + + ≤() ++2 = DHDI'.' DIDK '.' DKDH '.' 3 DI ' DH ' DK ' 3 a2 8 32a ⇒= ⇔ = = = T2 DH' DI '' DK Nghĩa là: (P) đi qua G và song song với 34a 0,25 8 mp(ABC). Vậy giá trị lớn nhất của T là . 3a2 Câu V Cho các số dương abc,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1,0 đ 16 P = − . a+ ab +3 abc a ++ b c ab+ 4 Vì a,b,c là các số dương ⇒+≥a42.4 b a b ⇔+≥ a 44 b ab ⇔ ab ≤ (1) . 4 Đẳng thức xảy ra ⇔=ab4 . Vì a,b,c là các số dương 0,25 ab++4 16 c ⇒++≥a4 b 16 c 333 a .4 b .16 c ⇔++≥ a 4 b 16 c 12 abc ⇔≤3 abc (2) . 12 Đẳng thức xảy ra ⇔=ab4 = 16 c.
7. ababc+4 ++ 4 16 Từ (1) và (2) => ⇔+ab3 abc ≤ + 4 12 3 ababc+4 ++ 4 16 3 4 ⇔+a ab + abc ≤+ a + ⇔+a ab + abc ≤( a ++ b c) . 0,25 4 12 3 13 36 ⇔≥⇒≥P − (3) a++ ab3 abc 4(abc++) 4(abc++) abc++ Đặt t= abct ++( > 0) 36 36 1 Từ (3) xét ft()= − ( t > 0); ft '() =− + ;ft '() = 0 ⇔= t . 42tt2 tt32 4 *) Bảng biến thiên : t 0 1 +∞ 4 ft'( ) - 0 + 0,25 ft() +∞ −12 1 Nhìn vào bảng biến thiên ⇒P ≥ f( a ++ b c) ≥ f( ) =−∀ 12, abc , , > 0 4  1 a =  21  ab=4 = 16 c  1 đẳng thức xảy ra ⇔1 ⇔=b abc++= 84 0,25  4  1 c =  336 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -12 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.