Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Đồng Nai (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020 Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số y1 ( m2 4) x (4 m 1) x2 x 3 , với m là tham số. a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên . b) Tìm các số thực m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1. c) Tìm các số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 2; 1] bằng 9 Giải a) y' 3 x22 2(4 m 1) x m 4 , Hàm số nghịch biến trên 11 ' 0 (4m 1)2 3( m 2 4) 0 19m2 8 m 11 0 m 1. y ' 19 Vậy có hai giá trị nguyên m 0 và m 1 m 1 b) Hàm số có cực đại tại x 1 y '(1) 0 m2 8 m 9 0 m 9 + Nếu m 1 y ' 3 x2 6 x 3 0 x 1 không là cực đại m 1 (loại) + Nếu m 9, y ' 3 x2 74 x 77, y '' 6 x 74 x , y ''(1) 80 0 nên hàm số có cực đại tạ x 1. Vậy m 9 (nhận) c) Vì Min y 9 suy ra mọi giá trị của hàm số y với x [ 2; 1] phải lớn hơn hay bằng 9 [ 2; 1] 22 y( 1) 9 m 4 m 5 9 m 4 m 4 0 nghĩa là m 2 y( 2) 9 2m22 16 m 139 2m 16 m 40 x 0 32 2 Thử lại ta có y x 71 x có y' 3 x 14 x 0 14 x 3 Suy ra hàm nghịch biến trên [ 2; 1] và minyy ( 1) 9. Vậy m 2 thỏa mãn [ 2; 1] Câu 2. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình ( 10 3)xx ( 10 3) 38 . 2) Giải phương trình sin2x cos2 x 3sin x cos x 1 0 Giải 1) Vì ( 10 3)x .( 10 3)x (10 9)x 1 1 Đặt tt ( 10 3)xx ( 0) ( 10 3) t t 19 6 10 ( 10 3)2 1 2 Ta được : t 38 t 38 t 1 0 221 t t 19 6 10 ( 10 3) ( 10 3) 2 ( 10 3) ( 10 3)x ( 10 3)2 x 2 ( 10 3)x ( 10 3) 2 x 2 2) sin2x cos2 x 3sin x cos x 1 0 cosx (2sin x 1) 2sin2 x 3sin x 2 0
2. cosx (2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0 (2sin x 1)(sin x cos x 2) 0 1 xk 2 sinx 2 6 ()k 5 sinx cos x 2 ( VN ) xk 2 6 Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 18,432 m3 (tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá 800 nghìn đồng/m2 . Tìm các kích thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó. Giải Gọi chiều dài rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật là 18,432 x, 2 x , h ( x , h 0) V 2 x2 h 18,432 h 2x 2 18,432 55,296 Tổng diện tích 5 mặt (không có nắp) là S 2 x2 6 xh 2 x 2 6 x 2 x 2 2x 2 x 55,296 27,648 27,648 27,648 27,648 Xét f()2 x x2 2 x 2 32.3 x 2 . 34,56 x x x x x 27,648 Dấu xảy ra 2x2 x 2,4 h 1,6 . x Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài và chiều cao là 2,4 ; 4,8 ;1,2 Chi phí là 34,56.800000 27648000 (đồng) Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc mặt phẳng đáy, SA a . Biết MN, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh AB và AD sao cho AM AN a 1) Chứng minh thể tích S. AMCN có giá trị không đổi 2) Tính theo a khoảng cách từ C đến ()SMN . Chứng minh mặt phẳng ()SMN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Giải
3. 1) Đặt AM mAN,, n mn a ND mBM n 2 11an am am an2 a a S MBC BMBC.,.() S NDC NDDC S AMCN a a mn 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a 3 (không đổi) suy ra thể tích khối S AMCN SAS (không đổi) 36 AMN DENDm m2 manmmnnm 2 2() 2 2) Ta có DE CE a DE a AM NA n n n n n m22 mn n n HC CE m22 mn n k d(,( C SMN )) k .(,( d A SMN )) HA MA mn Gọi GK, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MN và SG SG AK ( SMN ) d ( A ,( SMN )) AK AM2. AN 2 m 2 n 2 AG 2 AM2 AN 2 m 2 n 2 mn22 .a 2 AG2.()() SA 222 m 2 n 2 m n 2 m 2 n 2 m n 2 AK 2 mn AG2222 SA m n m 22 n ( m n ) 22222 ( m n ) m n ( m n ) 2 [( m n ) 2 2 mn ] a 2 mn22 m2 n 2()() m n 2 mn m n AK [(m n )2 mn ] 2 ( m n ) 2 mn (m n )( m22 mn n ) dCAMNkAK( ,( )) . mna ()m n2 mn Cách khác: Chọn A(0;0;0), S (0;0; a ), C ( a ; a ;0), M ( m ;0;0), N (0; n ;0) SM ( m ;0; a ), SN (0;;) n a [ SM , SN ](; an am ; mn ) a22 n a m mna Phương trình (SMN ) : anx amy mnz mna 0 d ( C ,( SMN )) ()()()an2 am 2 mn 2 a3 mna a()() a 2 mn a a 2 mn an222222( m ) mn amn [( ) 2 2 mnmn ] 2222 aa ( 2 mnmn ) 22 a()() a22 mn a a mn a a4 2 amn m 2 n 2 a2 mn Vì d( C ,( SMN )) a cố định và C cố định nên ()SMN luôn tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm C và bán kính Ra
4. Câu 5. (3,0 điểm) 1) Một tổ gồm 8 học sinh là An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh sẽ cùng đi trên một chuyến bay để dự đợt học tập, tham quan và trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ 8 vé máy bay có số ghế là 18ABCDEFGH , 18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18 . Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên một vé. Tính xác suất để có đúng 4 học sinh trong tổ mà mỗi bạn chọn được một vé có chữ của số ghế trùng với chữ đầu của tên mình. kk 2) Cho n và k là hai số nguyên dương thỏa mãn nk . Chứng minh rằng CCn n k là số chẵn Giải 1) n( ) 8! Chọn 4 học sinh trong 8 học sinh, sau đó phát vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tiên của tên học sinh thì có 1 cách chọn Còn 4 học sinh còn lại và phát không đúng như đề bài, giả sử các vé sắp xếp sẵn theo thứ tự là ABCD + Bạn có tên chữ cái B đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau: BADC;; BCDA BDAC + Bạn có tên chữ cái C đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau: CADB;; CDAB CDBA + Bạn có tên chữ cái D đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau: DABC;; DCAB DCBA C 4.9 1 Vậy có C 4.1.9 (cách chọn) nên xác suất cần tìm là: 8 8 8! 64 2) Ta có: nnk!( )! ( nk )! ( nkk )!(2 )! ( nk )!.2 kk .(2 1)! CCkk . n n k kknkn! !( )! ! kknk ! !( )! kknk ! !( )!(2 k )! (2 knk )!( )! kk ! ! (n k )!.2 (2 k 1)! . 2CCn k . k 2 (2k )!( n k )! [(2 k 1) k ]! k ! n k21 k Câu 6. (3,5 điểm) 2 11 1) Giải phương trình 3 x log22 2 x 1 2 2 x log 2 xx 2) Cho ba số thực a,, b c thỏa mãn ab bc 26 ac . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 2 b 2 c 2 Giải 2 11 3 x log22 2 x 1 2 2 x log 2 (1) xx 2 xx 0 2 x 0 Điều kiện xx 00 1 x 2 1 x 0 20 2 x 1 x 2
5. 2 11 (1) ( 2 xx 1)2 log 2 2 1 log 2 22 xx 1 28 Xét hàm f( t ) ( t 1)2 log t ( t 0), f'( t ) 2 t 2 2 2 2 0 2 t ln2 ln2 ln2 1 Có thể xét ft''( ) 2 t 2 ln2 11 f''( t ) 0 2 t t 2 ln2 2ln2 1 2 2 8 Lập bảng biến thiên suy ra minf '( t ) f ' 2 2 0 2ln2 ln2 ln2 ln2 Suy ra f'( t ) 0  t 0 f ( t ) đồng biến x 1 1 3 13 Ta được 2 x 2 x32 x 2 4 x 1 0 (x 1)( x2 3 x 1) x x 2 3 13 x 2 3 13 So với điều kiện ta có nghiệm xx 1, 2 2) Cho ba số thực a,, b c thỏa mãn ab bc 26 ac . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 2 b 2 c 2 Ta có: 6 ab bc 2 ca ( 2 1). a .[( 2 1) b ] ( 2 1). c .[( 2 1) b ] 2 ca a 2 ( 2 1)2b 2 c2 ( 2 1)2b 2 ( 2 1). ( 2 1). ()ac22 22 2 1 2 1 2 1 6 a2 ( 2 1) b2 c2 ( a2 2 b 2 c 2 ) 2 2 2 21 6 PP 12( 2 1) 2 HẾT