Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Hưng Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Hưng Yên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6,0 điểm). 32 1. Cho hàm số y x mx 1 có đồ thị Cm . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng dy :1 x cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị Cm tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau. 2 x 1 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Gọi Ax 11;, y Bx 22 ; y là các điểm cực trị của C x 2   22 với xx12 . Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 22 MA MB MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (4,0 điểm). 1 1. Giải phương trình: log 2xx 2 log 2 1 . 2 1 3 323 2. Cho các số thực abc, , 2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc 64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 22 thức P log2 abc log 22 log . Câu III (5,0 điểm). 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD 2, a AB BC CD a , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho 6a 43 NS 2 ND . Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng , tính thể tích của khối 43 chóp S.ABCD theo a. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 60o . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay V1 có thể tích lần lượt là VV12, . Tính tỉ số . V2 lnx 1 Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm I dx . xxln 1 1 x 2 y 2 738 yx Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình . 3 3xy 8 x 5 xy22 6 x 12 y 7 a 1 1 Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy a xác định . Tìm số hạng tổng quát a n 2 n 1 n aann 1 ,1  n 2n và tính liman . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh Giám thị coi thi
2. HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO 32 Câu I. 1. Cho hàm số y x mx 1 có đồ thị Cm . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng dy :1 x cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị Cm tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau. Hướng dẫn Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là: xA 0 0; 1 x32 mx x 0 . Dễ thấy ky 01 suy ra không có tiếp tuyến x2 mx 1 0* A tt vuông góc nhau tại A. Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*). xx 1 12 Ta có và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì x3 x 2.3 mx x 2 m 1 xx m 11 22 12 96 mm22 4 1 m 2 5 m 5, thỏa mãn m2 40 . Vậy các giá trị của m là m 5 . 2 x 1 Câu I. 2. Cho hàm số y có đồ thị C . Gọi Ax 11;, y Bx 22 ; y là các điểm cực trị của x 2   22 C với xx12 . Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 22 MA MB MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn. 11 yx , x 2 y ' 1 x 3, x 1 Ta có 2 12 là hoành độ các điểm cực x 2 x 2   trị hay AB 3; 4 , 1; 1 . Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA IB 0 I 5; 9 .  22      22    Khi đó T 2 MA MB 22 MA MB MI IA MI IB MI 22 T 2 IA22 IB MI 2 MI 2 52 y 9 52 y 9 27 5 32 Nên Tmin 32 yM 9 0; 9 . 1 Câu II. 1. Giải phương trình: log 2xx 2 log 2 1 . 2 1 3 323 Hướng dẫn. 1 2tt PT log 2x 2 log 2x 1 tx 2 2 1 3 3 2 3 1 2 1 3 323 t t 3 23 1 tt 1 f t a b 1 0, 0 ab , 1 , ta có 4 23 4 23
3. ft' att ln a b ln b  0, t suy ra ft nghịch biên trên nên ft 0 có nghiệm duy nhất tx 1 13 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. abc 64 Câu II. 2. Cho các số thực abc, , 2; 8 và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của 2 22 biểu thức P log2 abc log 22 log . Hướng dẫn. Đặt loga x ,log b y ,log c z xyz , , 1;3 , x y z 6 . Ta cần tìm GTLN của 2 22 222 Px y z. Không giảm tổng quát ta giả sử 1 xyz3 x 1; 2 , z 2; 3 . 2 P x22 z 6 z x 2 z2 2 6 xz 36 2 x2 12 x (Parabol đồng biến đối với z vì 65 xx 3 2; P2.32 6 6 x 36 2 x22 12 xx 2 6 x 18 14 ) ( tại 2 22 xx 12 ) suy ra Pmax 141,2,3 xyz (loại yxz 1, 2, 3 ). Vậy Pmax 14 abc 2, 4, 8 (và các hoán vị). Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD 2, a AB BC CD a , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho NS 2 ND . Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng 6a 43 , tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 43 Hướng dẫn. Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a, CDE là a 3 tam giác đều cạnh a. Kẻ CH vuông góc với ED thì CH và là đường cao của hình thang 2 33a 2 cân ABCD, suy ra S . ABCD 4 Lấy a =1. Dựng hệ tọa độ Axyz như hình z S 31 vẽ, với B ; ; 0 , D 0; 2; 0 , Sh 0; 0; 3 , 22 khi đó tọa độ các điểm M 313h 2 x M ; ; , Nh 0; ; . 442 3 B   3hh 33 N C Ta có AM, AN ;; , khi 4 46 đó phương trình mặt phẳng (AMN) là A 23 E H y 33hx h y z 0 D 3 23h 6 Khoảng cách d S, AMN suy ra 4 43 93hh22 3
4. 4 26 67a 22 2 43hh 3 12 36 hh 4 S 0;0; hay SA và thể tích khối chóp 3 77 7 1 6aa 7 323 3 3 a 21 S. ABCD là: V . 3 7 4 14 o Câu III. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 60 . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn V1 xoay có thể tích lần lượt là VV12, . Tính tỉ số . V2 Hướng dẫn. C D I A B a 3 Đặt AB a , khi đó AC h ABtan 60oo a 3, IA R AB tan 30 . Khi cho tam giác 3 ABC và nửa hình tròn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón tròn xoay và khối VV ah22/3 a . a 3 9 1 non cầu. Ta có: 3 . VV 4 R /3 3 4 2 cau 4.a 3 9 1 lnx Câu IV. Tìm họ nguyên hàm I dx . xxln 1 1 Hướng dẫn. 2 Đặt xln x 1 1 t x ln x 1 t 1 1 lnx dx 2 t 1 dt , suy ra 21 t It dtt 2 2 ln tC Ix 2 xx ln 1 2 ln xx ln 1 1 C. t x 2 y 2 738 yx Câu V. Giải hệ phương trình: . 3 3xy 8 x 5 xy22 6 x 12 y 7 Hướng dẫn. + Xét x 2 thì từ phương trình đầu ta có y 2 thế vào phương trình thứ hai không thỏa mãn. Lập luận tương tự đối với y 2 ta suy ra điều kiện xy,2 .
5. + Biến đổi phương trình thứ nhất: yy 22 1 7 3 1t 7 t 3, t 0 t 1 xy 2. xx 22 Thế vào phương trình thứ hai: 3 385xx2 xx32 6127 x (*). 3 Đặt 3 3xx2 85 txx 3 23 85 t, từ (*) ta có ttx33 11 x uu Hay t u t22 tu u 10 t u x 1. Từ đó ta được: 3 385xx2 x 1 xx32 61160 x xxx 1,2,3 (thỏa mãn). Vậy hệ đã cho có ba nghiệm xy, 1;1,2;2,3;3  . a 1 1 Câu VI. Cho dãy a xác định . Tìm số hạng tổng quát a và tính n 2 n 1 n aann 1 ,1  n 2n liman . Hướng dẫn. n 2 Dễ thấy dãy số đã cho là dãy số dương và tăng. Giả sử an 4 ,1  , khi đó ta có: n 2n 1 nn 2 1 24 nn 1 n 3 a 1 đúng, a 44 4 (đúng tới n + 1). 1 n 1 22nn 1 22 nn 2 n n 2 n 2 Vậy an 4 ,1  . Suy ra lima lim 4 4 2. n 2n 1 n 2n 1 Lời bình: Nhìn chung đề này ở mức độ khá. HẾT