Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Ninh Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Ninh Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH THUẬN NĂM HỌC: 2019 - 2020 Khóa ngày: 21/03/2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: (Đề thi có 01 trang / 20 điểm) Bài 1: Cho x, y ,z là các số thực dương thỏa xyz 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 . x3 y z y3 z x z3 x y 2 Lời giải 1 1 1 2 y2 2 VT x z . x y z y z x z x y 2 1 1 1 1 1 1 2 y2 2 x y z Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có: x z . x y z y z x z x y 2 xy yz zx Theo giả thiết x, y ,z là các số thực dương thỏa xyz 1, khi đó: 2 xy yz zx 33 xyz 3 VT VT VT (đpcm). 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1. Bài 2: Giải phương trình 5x2 14 x 9 x2 x 20 5x 1 . Lời giải 5x2 14 x 9 0 2 Điều kiện xác định: x x 20 0 x 5. x 1 0 Ta có: 5x2 14 x 9 5 x 1 x2 x 20 2 x2 5 x 2 5 x 1 x 4 x 5 . u x 4 Đặt với điều kiện: u 3, v 0 . 2 v x 4 x 5 Khi đó phương trình trên trở thành: 2 2 u v 3u 2 v 5 uv 3 u u v 2 v u v 0 u v 3 u 2 v 0 . 3u 2 v 5 61 x 2 2 2 TH1: u v suy ra: x 4 x 4 x 5 x 5x 9 0 . 5 61 x 2
2. 5 61 Đối chiếu điều kiện nhận x . 2 x 8 2 2 TH2: 3u 2 v suy ra: 3x 4 2 x 4x 5 4 x 25 x 56 0 7 . x 4 Đối chiếu điều kiện nhận x 8. 5 61  Vậy tập nghiệm của phương trình S ;8 . 2  Bài 3: Cho a 2, b 3,c 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c 4 bc a 2 ca b 3 N . abc Lời giải c 4a 2 b 3 2 c 4 2 a 2 3 b 3 Ta có: N . c a b2 c 2a 3 b Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1 4 c 4 1 2 c 2 1 3 b 3 1 1 1 N N . 2c 2 a 2 2 b 3 2 4 2 2 2 3 2 c 4 c 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 a 2 a 4 . b 6 3 b 3 Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần. Lời giải TH1: Xếp số 0 ở mọi vị trí. 3 Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: C7 cách. 2 Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: C4 cách. 2 Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có: A8 cách. 3 2 2 Vậy theo quy tắc nhân có C7 C4 A8 11760 số. TH2: Xếp số 0 vị trí đầu. 3 Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: C6 cách. 2 Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: C3 cách. 1 Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có: A7 cách. 3 2 1 Vậy theo quy tắc nhân có C6 C3 A7 420 số. Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có 11760 420 11340 số thỏa mãn điều kiện bài toán.
3. sinABC sin sin Bài 5: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 1 và 3 ma m bm c (với ma,, m b m c lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh ABC,, của tam giác ABC ). Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Lời giải 2 2 2 Xét bài toán: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a b c 2 3 a .ma . 2b2 2 c 2 a 2 Áp dụng công thức trung tuyến, ta có: m2 2m 2 b2 2 c 2 a 2 . a 4 a 2 2 2 Suy ra: 2 3a . ma a 3 2 b 2c a . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3a2 2 b 2 2 c 2 a 2 2 3a. m a 3 b2 c 2 2 a 2 2 3a . m a2 b 2 c2 (đpcm). a 2 a a b c Theo giả thiết, ta có R 1 suy ra sinABC ,sin ,sin ; 2 2 2 sinABC sin sin a b c Khi đó: 3 1 ma m b m c 2ma 3 2 mb 3 2 mc 3 a2 b2 c2 1(*). 2ama 3 2 bmb 3 2cmc 3 2 3a . m a2 b 2 c 2 a 2 2 2 Áp dụng bài toán chứng minh trên, ta có: 2 3b. mb a b c . 2 3c . m a2 b 2 c 2 c a2 b2 c2 Khi đó ta hoàn toàn chứng minh được: 1 2ama 3 2 bmb 3 2cmc 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Thật vậy: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ama 3 2 bmb 3 2 cmc 3 a b c a b c a b c a2 b2 c2 1( ). 2ama 3 2 bmb 3 2cmc 3 Căn cứ vào giả thiết (*) suy ra bất đẳng thức ( ) xảy ra dấu bằng, tức là: 2a2 b 2 c 2 2 2 2 2b a c a b c . Vậy suy ra tam giác ABC đều (đpcm). 2 2 2 2c a b Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó bằng tổng giai thừa các chữ số của nó. Lời giải Giả sử số cần tìm là abc a 0 . Theo giả thiết, ta có: 100a 10 b c a ! b ! c!. 7! 5040 1000 Nhận thấy , nên a, b , c 7 . abc 1000
4. Xét max a , b ,c 6, suy ra max a !, b !,c ! 720 . Tuy nhiên abc 666 , do đó a,, b c 5 . Nếu a,, b c 4, suy ra a!! b c! 3.4! 72 100 . Vậy trong ba số a,, b c có ít nhất một số 5 . TH1: Có một số bằng 5, suy ra hai số còn lại nhỏ hơn 5 . Suy ra a!! b c! 5! 4! 4! 168 . Khi đó a 1 suy ra b 5 hoặc c 5 . Xét số cần lập là 1b 5 hoặc 15c . KN1: abc 1b 5 , trong đó b 1;2;3;4. Suy ra 100 10b 5 1! b ! 5! b ! 16 10 b . Kiểm tra b 1;2;3;4, ta thấy b 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. KN2: abc 15 c , trong đó c 1;2;3;4 . Suy ra 100 50 c 1! 5! c ! c ! 29 c . Kiểm tra c 1;2;3;4 , ta thấy không tồn tại c thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: Có hai số bằng 5. Suy ra 5! 5! 0! 100a 10 b c 5! 5! 4! 241 abc 264 , suy ra a 2 . Thử lại 255 2! 5! 5!, nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH3: Cả ba số bằng 5. Nhận thấy 555 3.5! nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là: 145. HẾT