Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃIU NĂM HỌC: 2019 - 2020 Ngày thi: 06/12/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ThU ời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 02 trang) Câu 1: (5,0 điểm). a) Giải hệ phương trình sau (với xy, ∈ ) y+ xy22 +22422 x + y += x2 +  . 22 62y+=+ yx 6 y x b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 22 9.3xx−2+( 2mm + 11) .3−+−xx22 − 4 += 2 0 . Câu 2: (5,0 điểm). a) Cho hàm số fx()có đạo hàm trên và hàm fx'( ) có đồ thị như hình bên. Tìm các điểm cực trị của hàm số 1 gx( )= f( 2 x − 1) + x2 −+ x 2019. 2 b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% / tháng. Tính tổng số tiền anh Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng. Câu 3: (5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC) , tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a) Tính theo a và α thể tích khối chóp G. ANC với G là trọng tâm tam giác SBC , N là trung điểm BC . b) Gọi M là trung điểm AC . Tìm giá trị của α để khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SC đạt giá trị lớn nhất. Trang 1
2. Câu 4: (3,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 15. Câu 5: (2,0 điểm). Cho hàm số fx( ) =2019xx − 2019− . Các số thực ab, thỏa mãn ab+>0 và 4ab++ 31 f( a22++ b ab ++2) f( −− 99 a b) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = khi ab++10 ab, thay đổi. HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Nội dung Điểm 1 a) Giải hệ phương trình sau (với xy, ∈ ) 5,0 đ y+ xy22 +22422 x + y += x2 +  22 62y+=+ yx 6. y x b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 22 9.3xx−2+( 2mm + 11) .3−+−xx22 − 4 += 2 0 1.a Điều kiện y ≥−2 . 1,0 Ta có y+ xy22 +22422 x + y += x2 + ⇔( yx +−222 + 2)( y ++ 22 x + 2) = 0 0,75 Do đó yx= 2 , thay vào phương trình sau ta được 86x43+ xx −= 0 x = 0  Suy ra 1 43xx3 −=  2 Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số). 0,5 1 0,75 Với −≤11x ≤ ta đặt x = cost (với t ∈[0;π ] ), phương trình trở thành cos3t = suy 2 πππ57 ra tt=,, = t = 99 9 Như vậy hệ có nghiệm  ππ22 55 π π 77 π 2 π (0;0,cos)  ;cos ,cos ;cos ,cos ;cos   99 9 9 9 9 Trang 2
3. 2.b xx2 −+22 2m + 11 Viết lại phương trình 3 +2 −4m += 20 (1) 3xx−+22 0,5 2 Đặt t = 3xx−+22 . 2 Xét t'=( 2 xx − 2) .3xx−+22 .ln 3 xx2 −+22 0,5 Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị t0 ∈(3; 9) thì phương trình 3 = t0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2. + Phương trình (1) trở thành t2 +2( 1 − 2 mt) + 2 m += 11 0 tt2 ++2 11 ⇔=2m (2). 21t − + Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt nhỏ hơn 2 khi phương trình (2) có hai 0,5 nghiệm phân biệt tt12, thuộc khoảng (3; 9) . tt2 ++2 11 2tt2 −− 2 24 t = −3 = ∈ + ft( ) , t (3; 9) . ft'0( ) = 2 = ⇒  21t − (21t − ) t = 4 Bảng biến thiên 0,5 Từ bảng biến thiên suy ra (2) có hai nghiệm phân biệt tt12, thuộc khoảng (3; 9) khi 26 5 13 52<mm < ⇔<< . 52 5 2 a) Cho hàm số fx()có đạo hàm trên và hàm fx'( ) 5,0 có đồ thị như hình bên. Tìm các điểm cực trị của hàm điểm số 1 gx( )= f( 2 x − 1) + x2 −+ x 2019 . 2 b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể thức lãi kép,kì hạn Trang 3
4. 1 tháng với lãi suất 0,65% / tháng. Tính tổng số tiền anh Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng. Ta có gx'()'2121= f( x −+) x − 1,0 2a (3,0đ) Suy ra gx'( )= 0 khi 213,211xx−= −= hoặc 2x −= 13 hay x=−==1, xx 1, 2 . 1,0 Do đó bảng biến thiên của hàm số x – ∞ -1 1 2 + ∞ y' + 0 – 0 + 0 – g(-1) g(2) y g(1) 1,0 Suy ra x =1 là điểm cực tiểu; xx=−=1, 2 là các điểm cực đại của hàm số. Trang 4
5. • Cuối tháng thứ 1, ông Giàu có số tiền là: P1 =+= a ar.1 a( + r) 2.b (2,0đ) • Đầu tháng thứ 2, ông Giàu có số tiền là: 0,5 Paa+=(1 + r) +=+ aaa(1 + r) = a 11 ++( r) 1  • Cuối tháng thứ 2, ông Giàu có số tiền là: 2 P2=+=+++++= P 11 Praa.( 1 r)  aa( 1 r) a( 11 +++ r) ( r)  • Đầu tháng thứ 3, ông Giàu có số tiền là: 22 Paa+=1 + r ++ 1 r  += aa 11 ++ r ++ 1 r  2 ( ) ( ) ( ) ( )  • Cuối tháng thứ 3, ông Giàu có số tiền là: 22 PPPrarrarrr= +. = 11 ++ ++ 1 + 11 ++ ++ 1 . 3 22 ( ) ( ) ( ) ( ) = +32 ++ ++ 0,5 ar(111) ( r) ( r) • Cuối tháng thứ n, ông Giàu có số tiền là: nn−−12 n 2 Pan =(1 + r) ++( 1 r) ++( 1 r) ++++ ( 1r) ++( 1 r) S n n (11+−r) ⇔=Pan (1. + r) ( 3) r Vậy sau 20 tháng anh Giàu nhận được tổng số tiền 1,0 n (1+− 0,65%) 1 5( 1+ 0,65%) . triệu 0,65% Trang 5
6. 3 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với 5,0 mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. a) Tính theo a và α thể tích khối chóp G.ANC với G là trọng tâm tam giác SBC, N là trung điểm BC. b) Gọi M là trung điểm AC. Tìm giá trị của α để khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SC đạt giá trị lớn nhất. S H G A D M B N C 3a 1,0 (3,0đ) 1 Dễ thấy, ( ), α = SBA và d( G ,( ABC ))= d ( S ,( ABC )) 3 𝑆𝑆𝑆𝑆 ⊥ 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 1,0 1 S= S, SA = a sinαα , AB = a cos . ANC2 ABC 1,0 11  1  1 (cos)aaα23 sincos αα 2 Do đó VS. ANC =  SA  SABC  = asinα . = . 3 3  2  18 2 36 3b 1,0 (2,0) Vẽ hình vuông ABCD, mp(SCD) chứa SC và song song với MN nên 11 d( MN , SC )= d ( MN ,( SCD ))= d ( M ,( SCD ))= d ( A ,( SCD ))= AH . 22 111 4 aa 1,0 Tam giác SAD có = + = ⇒=AH sin 2α ≤. AH2 AS 2 AD 2 a 22sin 2α 2 2 π Do đó khoảng cách cần xét lớn nhất khi sin 2αα=⇒= 1 . 4 Câu 4 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau 3,0 được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính điểm xác suất để số được chọn chia hết cho 15. Trang 6
7. + Gọi x= abcd 4 0,5 + Số phần tử không gian mẫu: nA(Ω=) 9 . + x chia hết cho 15 ⇔ x3 và x5. Suy ra x= abc5. Suy ra x chia hết 15 khi abc++ chia 3 dư 1. + Ta tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc mà abc++ chia 3 dư 1. 0,5 Xét 3 tập A={1; 4;7} , BC ={ 2;8} , = { 3;6;9} Th1: 1 số thuộc tập A , 2 số thuộc tập C . 1 2 Có C3 cách chọn một số thuộc tập A , C3 cách chọn hai số thuộc tập C . Ta có 0,5 12 CC33. .3! số . Th2: 2 số thuộc tập A , 1 số thuộc tập B . 2 2 0,5 Có C3 cách chọn hai số thuộc tập A , 2 cách chọn hai số thuộc tập B .Ta có 2.C3 .3! số Th 3: 2 số thuộc tập B , 1 số thuộc tập C . 0,5 1 1 Có 1 cách chọn hai số thuộc tập B , C3 cách chọn hai số thuộc tập C . Ta có C3.3! số . Gọi D là biến cố “ Chọn được số chia hết cho 15”. 11 2 1 nD( ) =++ CC33. .3! 2. C3 .3! C 3.3! . 0,5 CC11. .3! ++ 2. C2 .3! C 1.3! 1 = 33 3 3 = PD( ) 4 . A9 28 Câu 5 Cho hàm số fx( ) =2019xx − 2019− . Các số thực ab, thỏa mãn ab+>0 (2,0đ) 4ab++ 31 f( a22++ b ab ++2) f( −− 99 a b) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab++10 khi ab, thay đổi. Ta có fx'( ) =+> 2019xx .ln( 2019) 2019− .ln( 2019) 0 , ∀∈x . Suy ra fx( ) đồng biến trên 0,5 Lại có f(−= x) 2019−xx − 2019 =−fx( ). Suy ra fx( ) là hàm số lẻ. f( a22++ b ab ++2) f( −− 99 a b) =⇔ 0 f( a22 ++ b ab +=−−−2) f( 99 a b) = f( 99 a + b) 0,5 ⇔a22 + b + ab +=29 a + 9 b ⇔+++−−=a22 b ab29 a 9 b 0 ⇔4a22 + 4 b + 4 ab +− 8 36 a − 36 b = 0 22 ⇔(2ab + ) − 18(2 ab ++ ) 3(b − 3) −= 19 0 . ⇔(2ab + )22 − 18(2 ab +−=−− ) 19 3(b 3) ≤ 0 0,5 ⇒(2ab + )2 − 18(2 ab +−≤ ) 19 0 ⇒−≤1 2ab +≤ 19 ⇒ 2 ab +≤ 19 ⇔ 2 ab +− 19 ≤ 0. 2ab+− 19 Mặt khác PP−=2 ≤⇒ 02 ≤ Dấu bằng xảy ra khi ab++10 2ab+= 19 a = 8 ⇔ . 0,5 ab−=30 = 3 ChúU ý: 1. Mọi lời giải đúng, khác với hướng dẫn chấm, đều cho điểm tối đa theo từng câu và từng phần tương ứng. Trang 7
8. 2. Tổ chấm thảo luận để thống nhất các tình huống làm bài có thể xảy ra của học sinh. Trang 8