Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH THUẬN MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Bài 1. (6,0 điểm) a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 11 x2 9 trên đoạn 0;4 . b. Cho hàm số đa thức y fx( ) có đồ thị như sau: y 1 1 O 2 x Tìm số điểm cực trị của hàm số yfx 2 2 x 2 . ab * Bài 2. (5,0 điểm) Xét dãy số un thỏa u1 a b, un 1 u 1 ,  n ; trong đó a, b là hai số thực un dương. a. Chứng minh un là dãy số giảm khi a b; b. Tính limun . x xy 1 Bài 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình có ba 2 3x ym 0 nghiệm phân biệt. Bài 4. (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k và n sao cho k n. Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp 1,2, ,n . Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh k 1 tổng tất cả các phần tử được chọn bằng Cn 1 . Bài 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên O sao cho M khác với các điểm A, B và OM không vuông góc với AB. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại C. Gọi I là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Đường thẳng OC cắt lại I tại điểm thứ hai là E. a. Chứng minh E là trung điểm của OC; b. Gọi CD là đường kính của I . Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên O . ___ HẾT ___
2. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 11 x2 9 trên đoạn 0;4. b) Cho hàm số đa thức y fx có đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số yfx 2 2 x 2 . Lời giải a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;4. 2 x 1 TM 2x 11 x 9 Ta có y , y 0 9 . x2 9 x KTM 2 Ta có y 0 33, y 1 10 10, y 4 35 . Vậy miny 35,max y 10 10 . 0;4  0;4  b) Đặt gx fx 2 2 x 2 . Ta có gx 2 x 1 fx 2 2 x 2 . Gọi x xx1,, xx 2 x 3 (với x1 x 2 x 3 ) là các điểm cực trị của hàm số f x . Từ đồ thị, ta có x1 1;0 , x 2 0;1 , x 3 1;2 . x 1 x 1 2 x 1 0 2 x 2 x 2 x 0 1 x 2 x 2 x1 1 Ta có g x 0 . fx 2 2 x 2 0 x2 2 x 2 x x2 2 x 2 x 0 2 2 2 x2 2 x 2 x 2 3 x 2 x 2 x3 0 3 Xét phương trình (1), ta có 1 2 x1 x 1 1 0 nên phương trình (1) vô nghiệm. Xét phương trình (2), ta có x2 1 0 nên phương trình (2) vô nghiệm. Xét phương trình (3), ta có x3 1 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Như vậy phương trình g x 0 có ba nghiệm đơn nên hàm số g x có ba điểm cực trị. ab * Câu 2. Xét dãy số un thỏa u1 a b,, un 1 u 1  n ; trong đó a, b là hai số thực dương. un a) Chứng minh un là dãy số giảm khi a b . b) Tính lim un . Lời giải
3. u1 2 a 2 a) Khi a b , ta có a * . un 1 u 1 ,  n un n 1 Ta chứng minh: u a,  n * 1 bằng phương pháp quy nạp. n n Ta có: u1 2 a 1 đúng với n 1. k 1 Giả sử 1 đúng với n k , tức là: u ak; 1 . k k a2 ak 2 2 Ta có: u u2 a a 1 đúng với n k 1. k 1 1 uk 1 k 1 k a k n 1 Vậy u a,  n * 1 , ta có u 0,  n * n n n n 2 a 2 u n 2 n Ta có n 1 n 1  1, n * . Vậy u là dãy số giảm . un 1 n2 2 n 1 n n a n b) Không mất tính tổng quát, giả sử a b. * Trường hợp 1: a b n 1 Khi đó u a,.  n * n n * Trường hợp 2: a b Khi đó: ab a2 ab b 2 a 3 b 3 u a b ; 2 a b a b a2 b 2 2 2 abab a b a4 b 4 u3 a b a b 3 3 3 3 ; u2 a b a b an 1 b n 1 Qui nạp ta được u ,.  n * n an b n an 1 b n 1 n n khi a b a b * Do đó un , n . n 1 akhi a b n n 1 a 1 * Khi a b, ta có limun lim lim 1 a a . n n n 1 b n 1 n 1 1 a b a * Khi ta có limu lim lim a . a b, n n n n a b 1 b 1 a a
4. Vậy limun a . x xy 1 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có ba nghiệm phân 3x2 ym 0 biệt. Lời giải x xy 1 1 Xét hệ phương trình: . 2 3x ym 0 2 Điều kiện: xy 0. Vì x 0 không phải là nghiệm của phương trình nên x 0 . Ta có : (1) xy 1 x . x 1 1 x 0 2 1 . xy1 x y2 x x 1 Thay vào phương trình (2) ta có: 3x2 2 xm (3). x Để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0. 1 Xét hàm số fxx32 2 x , x ;1 \ 0 . x   3 2 1 6x x 1 Ta có: fx 6 x 1 . x2 x 2 3 2 1 fx 0 6 xx 1 0 x . 2 Bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điêm của đồ thị hàm số y fx và đường thẳng y m . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0 5 khi m ;3 . 4 x xy 1 5 Vậy m ;3 thì hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt. 4 3x2 ym 0
5. Câu 4. Cho hai số nguyên dương k và n sao cho k n. Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp 1,2, ,n . Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh tổng tất cả k 1 các phần tử được chọn bằng Cn 1 . Lời giải Theo đề bài ta có: k 1 TH1: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 1 có Cn 1 tập. k 2 TH2: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 2 có Cn 2 tập. k k TH k: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 2 có Cn k tập. k 1 k 2 kk Suy ra tổng các phần tử được chọn là CCn 1 n 2 C nk . k 1 k 2 kkk 1 Dễ dàng ta chứng minh được CCn 1 n 2 CC n k n 1 (đpcm). Câu 5. Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên O sao cho M khác với các điểm A, B và OM không vuông góc với AB. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại C. Gọi I là đường tròn đi qua và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Đường thẳng OC cắt lại I tại điểm thứ hai là E. a) Chứng minh E là trung điểm của OC . b) Gọi CD là đường kính của I . Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định M di động trên O . Lời giải a) Có MCO ACO CME EC EM Mà CMO vuông tại M M là trung điểm OC . b) Vẽ DF BC F( I ) DE AB E', DD '  AB F ' là trung điểm của AO F ' cố định Ta có CD//' EO ( CA ) E là trung điểm của CO CDOE ' là hình bình hành Mà CDD' A là hình chữ nhật DA' CD EO ' F là trung điểm D' E ' Gọi Bx là tiếp tuyến tại B của (O ) . Có: (BC , Bx , BM , BA ) 1. Mà BC DFBx, DCBM , DEBA , DD '( BM  AMAM ,  OCOC , DE ) (DC , DF , DE , DD ') 1.
6. Mà DC// AB DF qua trung điểm D' E '. DEF, ', ' DF qua F ' cố định. ___ HẾT ___