Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Lạng Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Lạng Sơn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Câu 1. (4 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yxx 33 2 3 m 2 1 xm 3 2 1 có hai điểm cực trị trái dấu. 1 b) Cho hàm số bậc ba y f x ax3 bx 2 x c và đường thẳng y gx có đồ thị như 3 trong hình vẽ bên và AB 5 . Giải phương trình fx gx x2 2 . Câu 2. (6 điểm) 3 2 3 x 6 x 13 xyy 10 Giải hệ phương trình trong tập số thực . 2xy 2 5 xy 3 y a) Giải phương trình 1 sin2xx cos 1 cos 2 xx sin 1 sin2 x . b) Giải phương trình 1 sin2xx cos 1 cos 2 xx sin 1 sin2 x . Câu 3. (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số có 5 chữ số đôi một khác nhau abcde với abcde, , , , 1,2,3, ,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn và thỏa mãn abcd e . Câu 4. (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để số tiền thu được của khách sạn trong 1 ngày là lớn nhất. Câu 5. (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA.' B ' C ', ABCA.' B ' C ', M là trung điểm AA', G là trọng tâm tam giác ABC' ' ' . a) Gọi I  MB''; ABJ  MC '' AC . Tính thể tích VA'. BCIJ ' ' . b) Tính khỏng cách giữa hai đường thẳng BC, MG . c) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng và P và ABC' ' ' . ___ HẾT ___ 1
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (4 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yxx 33 2 3 m 2 1 xm 3 2 1 có hai điểm cực trị trái dấu. 1 b) Cho hàm số bậc ba y f x ax3 bx 2 x c và đường thẳng y gx có đồ thị như 3 trong hình vẽ bên và AB 5 . Giải phương trình fx gx x2 2 . Lời giải a) Ta có yxxm 32 6 3 2 1 3 xxm 2 2 2 1 . Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình y 0 xx1 , 2 là hai điểm cực trị x x 2 Theo định lý Vi-ét, ta có 1 2 . 2 xx1 2 m 1 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là 2 m 1 xx1 2 0 m 1 0 . m 1 b) Đặt g x mx n (với m 0 ).  Ta có A 1; m n , B 2;2 m n . Suy ra AB 3;3 m . 16 4 Ta lại có AB 5 9 9 m2 25 m 2 m (vì m 0 ). 9 3 4 Do đó g x x n . 3 Dựa vào đồ thị, ta thấy fxgxax 2 1 x 2 ax 3 2 xx 2 2 . Mặt khác, ta lại có f x g x ax3 bx 2 x c n . b 2 a 3 2 Đồng nhất hệ số, ta được a1 fxgxx 2 xx 2 . 2a c n Do đó 2
3. fx gx x2 2 fx gx x2 2 0 3 2 2 x 2 xx 2 x 2 0 x 0 3 2 x 3 x x 03 13 . x 2 Câu 2. (6 điểm) 3 2 3 x 6 x 13 xyy 10 a) Giải hệ phương trình trong tập số thực . 2xy 2 5 xy 3 y b) Giải phương trình 1 sin2xx cos 1 cos 2 xx sin 1 sin2 x . Lời giải 3 2 3 x 6 x 13 xyy 10 a) . 2xy 2 5 xy 3 y Ta có x3 6 x 2 13 x x a 3 x a 10 x36 x 2 13 xx 3 3 xaxaaxa 2 3 2 3 10 a 2 Nên xxxyy3 6 2 13 3 10 x 2 3 x 2 yy 3 , dễ thấy hàm số 3 2 fttt ft 3 t 1 0 nên hàm số đồng biến trên . Suy ra ta được x 2 y . Thay vào phương trình thứ hai ta được 7 3x 7 2 x 5 x điều kiện 0 x 2 Khi đó phương trình đã cho được viết lại 3x 3 7 2 x 1 3 x 3 x 3 7 2x 1 x 3 0 3x 3 7 2 x 1 x 3 3 2 . 1 0 VN 3x 3 7 2 x 1 Vậy nghiệm của hệ là x; y 3;1 . b) Giải phương trình 1 sin2xx cos 1 cos 2 xx sin 1 sin2 x . sinxx cos sin xxxx cos sin cos sin xx cos 2 3
4. x k 4 1 sinxx cos sin x cos x x k x k 4 4 sinx 1 xk 2 . 2 cosx 1 x k2 Câu 3. (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số có 5 chữ số đôi một khác nhau abcde với abcde, , , , 1,2,3, ,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn và thỏa mãn abcd e . Lời giải Lập số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau từ các số 1,2,3, ,9 là một chỉnh hợp chập 5 5 của 9 phần tử nên nS( ) A9 9.8.7.6.5 15120 . 1 Chọn ngẫu nhiên một số từ S có n  C15120 15120. Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số chẵn và thỏa mãn abcd e ” 4 TH1: e 6 : có C5 5 cách lập số thỏa mãn biến cố A. 4 TH2: e 8: có C7 35 cách lập số thỏa mãn biến cố A. 40 1 Do đó: n( A ) 35 5 40 . Vậy P( A ) . 15120 378 Câu 4. (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để số tiền thu được của khách sạn trong 1 ngày là lớn nhất. Lời giải Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khác sạn cần đặt ra x 400 . Giá chênh lệch sau khi tăng là x 400 x 400 x 400. Số phòng cho thuê giảm nếu giá tăng là 2. . 20 10 x 400 x Số phòng cho thuê với giá x là 50 90 . Tổng doanh thu trong ngày là: 10 10 x x2 fxx 90 90 x . \ 10 10 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x với x 400 . x Ta có: fx' 90 , fx ' 0 x 450. 5 Mặc khác: max f x f 450 20250 . x 400; Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày 2.025.000 (đồng). Câu 5. (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA.' B ' C ', ABCA.' B ' C ', M là trung điểm AA', G là trọng tâm tam giác ABC' ' ' . 4
5. a) Gọi I  MB''; ABJ  MC '' AC . Tính thể tích VA'. BCIJ ' ' . b) Tính khỏng cách giữa hai đường thẳng BC, MG . c) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng và P và ABC' ' ' . Lời giải MI MJ 1 a) Ta có . MB' MC ' 3 Đặt V VMA' B ' C ' . 8 8 1 32 16 3 V VV V . .2. . 2 3 . ABCIJ'.'' MAIJ ' 9 9 3 4 9 b) Lấy H ABK'', AC '' sao cho HK// BC và G HK . 5 d BC,,,, MG d BC MHK d B MHK d A MHK . 2 Có HK MAG' , kẻ A' O MG A ' O  MHK . 1 1 1 Ta có A' O 2 . AO'2 AM ' 2 AG ' 2 5 d BC, MG . 2 . 2 MA' c) Góc tạo bởi mặt phẳng P và ABC' ' ' là MGA ' , ta có tanMGA ' 1. GA' ___ HẾT ___ 5