Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN TOÁN - LỚP 12 Đề thi gồm có 08 trang Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;0 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 3 0 . Mặt phẳng : 2x by cz d 0 (với b,, c d ) đi qua điểm A, song song với trục Oy và vuông góc với P . Khi đó, giá trị b c d bằng A. 2 . B. 0 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn A  Ta có mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến nP 2; 2;1 . Trục Oy có 1 vectơ chỉ phương j 0;1;0 .  Suy ra n, j 1;0;2 / /n 1;0; 2 . P Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng P và song song với trục Oy nên nhận vectơ n 1;0; 2 là vectơ pháp tuyến, mặt phẳng đi qua điểm A nên có phương trình 1. x 1 0. y 2 2. z 0 0 x 2 z 1 0 2 x 4 z 2 0 . Do đó b 0; c 4; d 2 . Vậy b c d 2. Câu 2. Thiết diện qua trục của hình nón N là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . Tính diện tích toàn phần của hình nón N . a2 1 2 2 a2 2 2 a2 2 1 A. S . B. S . C. S a2 2 1 . D. S . xq 2 xq 2 xq xq 2 Lời giải Chọn D Ta có tam giác SAB vuông cân tại S có SA SB a . a 2 Suy ra AB SA2 SB 2 a2 R . 2 a2 a2 2 Diện tích xung quanh hình nón N là S Rl a . xq 2 2 a2 Diện tích mặt đáy hình nón N là SR 2 . d 2 a2 2 1 Vậy diện tích toàn phần của hình nón là SSS . d xq 2 Trang 1
2. 2 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y log x 2 mx 4 có tập xác định là . m 2 A. m 2 . B. m 2 . C. . D. 2m 2 . m 2 Lời giải Chọn D a 0 1 0 Điều kiện xmxx2 2  4 0, 2 m 2 . 2 0 m 4 0 Vậy 2m 2 . Câu 4. Cho hàm số y fx là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên . Gọi C là đồ thị của hàm số đã cho. Tiếp tuyến với đồ thị C tại các điểm có hoành độ x 1; x 0 lần lượt tạo với trục hoành góc 300 ;45 0 . Tiếp tuyến với đồ thị C tại các điểm có hoành độ x 1; x 2 lần lượt song song với đường thẳng dy1 : 2 x 1 và vuông góc với đường thẳng d2 : y x +5 . 0 2 3 Tính I 3 fxfxx . d 4 fx . fxx d 1 1 1 37 A. . B. . C. 58. D. 14 . 2 12 Lời giải Chọn D 3  Từ giả thiết, ta có: f 1 tan 300 ; f 0 tan 45 0 1; ff 1 2; 2 1. 3  Đặt t f x dt f x dx . 3  TH1: f 1 ; fff 0 1; 1 2; 2 1, ta có 3 0 2 1 1 3 I 3 fxfxx . d 4 fxfxx . d 3 tt d 4 tt3 d 14 1 13 2 3 3  TH2: f 1 ; f 0 1; ff 1 2; 2 1, ta có 3 0 2 1 1 3 I 3 fxfxx . d 4 fxfxx . d 3 tt d 4 tt3 d 14 1 13 2 3 3  TH3: f 1 ; fff 0 1; 1 2; 2 1, ta có 3 0 2 1 1 3 I 3 fxfxx . d 4 fxfxx . d 3 tt d 4 tt3 d 14 1 13 2 3 3  TH4: f 1 ; f 0 1; ff 1 2; 2 1, ta có 3 Trang 2
3. 0 2 1 1 3 I 3 fxfxx . d 4 fxfxx . d 3 tt d 4 tt3 d 14 1 13 2 3 0 2 3  Vậy I 3 fxfxd . x 4 fxfxd . x 14 1 1 Câu 5. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm trên . Biết f x có bảng xét dấu như sau: Hàm số yfx 2 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2;1 . B. 4; 3 . C. 2; 1 . D. 0;1 . Lời giải Chọn C  Ta có: y 2 x 2 fx 2 2 x  Hàm số nghịch biến khi x 1 2x 2 0 x 1 2 2 x 2 x 2 x  fx 2 x 0 2 x 1 y 0 x 2 x 3 x 3 x 1 . 2x 2 0 3 x 1 x 1 x 1 2 fx 2 x 0 2 1x 2 x <3 3 x <1 Câu 6. Cho hàm số y fx và y gx có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn 1 1 f x g x dx 2022; f x g x d x 2023. Giá trị của biểu thức f 1 g 1 f 0 g 0 bằng 0 0 A. 1. B. 1. C. 4045 . D. 4046 . Lời giải Chọn C u g x du g x dx  Đặt . dv f x dx v f x 1 1 1  Ta có: fxgxd x fxgx fxgxd x 0 0 0 2022f 1 g 1 f 0 g 0 2023 f 1 g 1 f 0 g 0 4045 mln x 2 Câu 7. Cho hàm số y ( m là tham số thực). Gọi m0 là giá trị của m để miny max y 2 . lnx 1 1;e  1;e  Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 0 m0 10 . B. m0 2 . C. 6 m0 11. D. 0 m0 2. Lời giải Trang 3
4. Chọn C Ta có m 1 lnx 1 mx ln 2 mxln 2 ln x 1 ln xmx 1 ln 2 m 2 y x x . lnx 1 2 ln xxx 1 2 ln 1 2 TH1: Nếu m 2 0 m 2 . m 2 m 2 Khi đó y  0 xeyy 1; min 1 2, max y ye . x ln x 1 2 1;e  1;e  2 m 2 Suy ra minyy max 2 2 2 mm 2 8 10 (thỏa mãn). 1;e  1;e  2 TH2: Nếu m 2 0 m 2. m 2 m 2 Khi đó y  0 xe 1; max yy 1 2 , min y ye . x ln x 1 2 1;e  1;e  2 m 2 Suy ra minyy max 2 2 2 mm 2 8 10 (không thỏa mãn). 1;e  1;e  2 Vậy m0 10 . Suy ra khẳng định đúng là 6 m0 11. 1 1 Câu 8. Cho biểu thức Pxx 2 3  6 x với x 0. Khẳng định nào dưới đây đúng? 7 11 5 A. P x 6 . B. P x . C. P x 6 . D. P x 6 . Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1 1 Ta có Pxxxx 2 3  6 2 3 6 x . Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , thoà mãn f 6 1 và 6 3 xfx2  6 fx d x 10. Khi đó xfx 3 d x bằng 0 3 A. 13. B. 26 . C. 13. D. 26. Lời giải Chọn A 3 Với I xfx 3 d x . 3 x t 3 Đặt t x 3 . dt d x Đổi cận: Khi x 3 t 0 ; x 3 t 6 . 6 6 6 6 Ta có I t3 ftt d x 3 fxx d xfxx d 3 fxx d . 0 0 0 0 6 6 6 Mặt khác xfx2 6 fxx d  10 xfxx 2 d 6 fxx d 10 0 0 0 Trang 4
5. Điều kiện: 8 4xx 42 0 1 x 2 . 2x 1 gx . fxx 2 2 2 1 x2 x 2 1 x 1 2 x 2 1 5 2x 1 0 x n 2 2 Cho g x 0 2 2 x x 2 1 1 f 2 xx 2 1 0 1 5 2 x2 x 2 1 2 x n 2 1 x k 2 Ta có: g 1 f 1 mm 8 1 5 g fmm 1 2 2 1 g f 2 mm 4 2 g 2 8 m Suy ra maxgx () 8 m ;min gx () 2 m .  1;2   1;2  8m 5 5 2 m 2 m 3 Để maxf 8 4 xx 4 1 m 5 .  1;1  2m 5 m 7 5 8 m Vậy m 3 7 10. mm 8 2 m 8 ( m 2) Chú ý: Công thức nhanh maxg x 5.  1;1  2 Câu 34: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a 15 a 2 a 7 A. . B. . C. . D. 2a . 5 2 7 Lời giải Chọn A Trang 18
6. Ta có: SB , ABC SB , AB SBA 600 Dựng hình thoi ACBE AC// SEB d d d AC; SB AC; SBE A ; SEB Kẻ AK EB và AH SK . Từ đó suy ra AH SEB d AH . A; SEB a 3 Ta có: SA AB.tan 600 a 3 và AK 2 AK. AS 15 AH a . AK2 AS 2 5 Câu 35: Cho hàm số y ax33 bx 2 2 cx d ( a,,, b c d là các hằng số, a 0 ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm a số y x4 abx 3 3 bcx 2 dcxd 2 2022 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 4 A. 2; . B. 1;2 . C. ;0 . D. 0;2 . Lời giải Chọn B Xét hàm số y ax33 bx 2 2 cx d y 3 ax2 6 bx 2 c . Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị đi qua các điểm A 0;1 , B 2; 3 nên d 1 d 1 (1) 8abcd 12 4 3 2 abc 3 1 Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số có hai điểm cực trị là xx 0, 2 y 0 có hai nghiệm là 0 và c 0 2 (2) 12a 12 b 0 a 1 b 1 Từ (1) và (2) suy ra c 0 d 1 Trang 19
7. a Ta có ygx x4 abx 3 3 bcx 2 dcxd 2 2022 4 gxax 33 abx 2 2 3 bcxdcx 2 3 6 x 1 gx 0 x ; 2,5  0,16; 2,3 a Do đó hàm số y x4 abx 3 3 bcx 2 dcxd 2 2022 nghịch biến trên khoảng 4 1;2 . Câu 36: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A B C có AB a , góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác A BC . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC bằng bao nhiêu? 343 a3 49 a3 343 a3 343 a3 A. . B. . C. . D. . 1296 108 432 5184 Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC là AMA 60 . AA a3 3 a 1 a Ta có tan tan AA 3. GH AA . AM 2 2 3 2 a2 a 2 a 7 Khi đó AG GH2 AH 2 4 3 12 AG27 a 2 .2 7 a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là R 2GH 12.2 a 12 3 3 43 4 7 343 a Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là V R . . 3 3 12 1296 2 2 2 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu Sx1 : 4 yz 16 , 2 2 2 Sx2 : 4 yz 36 và điểm A 4;0;0 . Đường thẳng di động nhưng luôn tiếp xúc với S1 , đồng thời cắt S2 tại hai điểm B, C phân biệt. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 24 5 . B. 48 . C. 28 5 . D. 72 . Lời giải Trang 20
8. Chọn A Ta có S có tâm I 4;0;0 và bán kính R 4 . S có tâm I 4;0;0 và bán kính R 6 . 1 1 2 2 Lại có IA 8 nên điểm A nằm ngoài hai mặt cầu SS1 , 2 . Gọi H là tiếp điểm của và S1 , ta có IH BC mà BC là dây cung của S2 nên H là trung điểm của BC . 2 2 2 2 Ta có BC 2 BH IB IH R2 R 1 4 5 . 1 Tam giác ABC có diện tích S dABCBC , . 2 5. dABC , . 2 Do đó tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi và chi khi d ABC, lớn nhất. Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Điểm A không thuộc mặt phẳng BCI Ta có d A, BC AH AI2 IH 22 AI . IH .cos AIH AI 2 IH 2 8 2 4 2 4 5 . Trường hợp 2: Điểm A thuộc mặt phẳng BCI Ta có d A, BC AH AI IH 12. Suy ra maxd A , BC 12 max S ABC 2 5.12 24 5 . Vậy tam giác ABC có diện tích lớn nhất bằng 24 5 . Câu 38. Cho hàm số fxxx 1 x 2 x 3 x 2021 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  18;20  để phương trình f x mfx. có 2022 nghiệm phân biệt? A. 39. B. 18. C. 20 . D. 38. Lời giải Chọn D f x Ta có fxmfx .* m . f x f x Đặt g x , phương trình * trở thành gx m . f x Ta có fxxx 1 2 x 2021 xx 2 x 2021 xx 1 x 2020 1 1 1 1 g x . xx 1 x 2 x 2021 Trang 21
9. 1 1 1 1 gx  0, x 0;1;2; ;2021 . x2 xx 1 2 2 2 x 2021 2 Bảng biến thiên của hàm g x . Từ bảng biến thiên suy ra phương trình gx m có 2022 nghiệm khi và chỉ khi m 0 . Do m nguyên thuộc đoạn  18;20 nên có38 giá trị m thỏa mãn bài toán. n * * Câu 39. Cho dãy số un thỏa mãn u1 1, un 1 2 u n ,  n . Với mỗi n ta đặt vn  n k1 u k . k 1 Hỏi trong dãy vn có bao nhiêu số hạng là số nguyên dương có bốn chữ số? A. 6 . B. 9. C. 4 . D. 12. Lời giải Chọn C n 1 Ta được un là một cấp số nhân công bội q 2, u1 1 un 2 . vn nu1 n1 . u 2 n 2 . u 3 3. u n 2 2. u n 1 u n 2n 3 n 2 n 1 vn n n1 .2 n 2 .2 3.2 2.2 2 (1) 2n 3 n 2 n 1 n 2vn n .2 n 1 .2 4.2 3.2 2.2 2 (2) n 2 n1 2 n vn n 2 2 2 n 2. 2.2 n 2 1 2 Hàm fx 2.2x x 2 đồng biến trên 1; 1000 f n 9999 Do vậy n 9;10;11;12 . Câu 40. Có bao nhiêu gía trị nguyên của tham số m để phương trình sinx 2 cos 2 x 2 2cos3 xm 1 2cos 3 xm 2 3 2cos 3 xm 2 có đúng một nghiệm 2 trên 0; ? 3 A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn B sinx 2cos2 x 22cos 3 xm 1 2cos 3 xm 2 32cos 3 xm 2 2sin3xx sin 2 2cos 3 xm 2 2cos 3 xm 2 2cos 3 xm 2 3 Hàm số ft 2 t t đồng biến trên 3 3 2 fxf sin 2cos xm 2 sin x 2cos xm 2sin xx  0 0; 3 Trang 22
10. sin2x 2cos 3 xm 2 m 1 2cos 3 xx cos 2 . 3 2 2 Xét hàm số y 2cos x cos x trên 0; . 3 x 0 sinx 0 y' 2sin xxx .cos . 3cos 1 cos x 0 x 2 1 cos x 2 3 x ; 2 3 BBT Từ BBT ta có, phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi m1 0 m 1 1 28 m 4; 3; 2; 1  . m1 3 4 m 27 27 Câu 41. Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng 2 . Gọi M, N là trung điểm của SB, SC . tính thể tích của khối chóp S. ABC biết CM BN . 26 26 26 A. . B. . C. 26 . D. . 6 3 2 Lời giải Chọn B Khối chóp SABC đều nên SA SB SC x . 2 3 Gọi O là trọng tâm ABC SO  ABC ; Do AB 2 OC . 3 Xét tam giác cân SBC có SB SC x . BN CM G G là trọng tâm tam giác SBC . SG BC I , I là trung điểm BC . Ta có    2 2  2      2   2 GA GB GC SI BN CM SI BN CM SI BN CM 3 3 3 SI2 BN 2 CM 2 ( do CM BN ) SC2 IC 2 2. BN 2 Trang 23
11. SB2 BC 2 SC 2 x2 Có BN 2 nên xx2 1 2 4 x 10 2 4 2 26 3 SO SC2 OC 2 . Diện tích ABC : S 22 3 3 4 1 26 26 Thể tích khối chóp bằngV . 3. . 3 3 3 Câu 42. Cho tập hợp A 1;2; ;20  . Chọn ngẫu nhiên bốn số khác nhau từ tập A . Xác suất để bốn số được chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp là 28 1 364 284 A. . B. . C. . D. . 57 5 969 285 Lời giải Chọn A Gọi A là biến cố: ” bốn số được chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”. 4 Ta có: n  C20. Gọi bốn số được chọn là : a,,, b c d a b c d . 1 a a 1 b Có: b 1 c 1 a b 1 c 2 d 3 17. c 1 d d 20 4 Do đó có: C17 cách chọn bộ bốn số a,,, b c d a b c d . 4 n A C17 28 Vậy: P A 4 . n  C20 57 Câu 43: Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 vuông góc với mặt phẳng ABCD ; M , N hai điểm thay đổi nằm trên hai cạnh AB , AD sao cho SMC  SNC . 1 1 Tính tổng T khi thể tích khối chóp S. AMCN đạt giá trị lớn nhất. AN2 AM 2 2 3 13 5 A. T . B. T 2 . C. T . D. T . 4 9 4 Lời giải Chọn D Tọa độ hóa với O A, Ox AB , Oy AD , Oz AS . Trang 24
12. Do SA 2 , ta có S 0;0;2 ; A 0;0;0 ; B 2;0;0 ; D 0;2;0 C 2;2;0 . Đặt AM x ; AN y x, y  0;2 Mx ;0;0 ; N 0; y ;0 .  SM x;0; 2   n SM; SC 4;2 x 4;2 x  SMC Do đó SN 0; y ; 2 .   n SN; SC 4 2 y ; 4; 2 y  SNC SC 2;2; 2 8 2x Ta có SMC  SNC 4 4 2y 4 2 x 4 4 xy 0 xyxy 2 8 y . x 2 8 2x Do y 2 2 x 1. x 2 SAMCN SSS ABCD BMC DCN 4 2 x 2 yxy . 1 2 2 8 2x 2 8 x2 Do đó VSAMCD SA S AMCN x y x 3 3 3 x 2 3 x 2 Xét hàm 2 8 x2 2x2 4 x 8 fx ; x  1;2  f x . 2 3 x 2 3 (x 2) x 2 2 3 f x 0 x2 4 x 8 0 . x 2 2 3 l Lập BBT ta được Maxfx f 1 f 2 2 . 0;2  x 1 y 2 1 1 1 1 5 Vậy MaxVSAMCN 2 T . x 2 AM2 AN 2 x 2 y 2 4 y 1 4 2 Câu 44: Cho hàm số trùng phương y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số 4 3 2 x 2 x 4 x 8 x y 2 có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng? fx 2 fx 3 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. Lời giải Chọn C x42 x 3 4 x 2 8 x xx22 x 2 y 2 2 fx 2 fx 3 fx 2 fx 3 Trang 25
13. x mm 2 x 0 f x 1 2 Ta có: fx 2 fx 3 0 x n n 2 f x 3 x 2 x 2 Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x 0; x 2 là các nghiệm kép và đa thức 2 2 xx2 x 2 fx2 fx 3 có bậc là 8 nên y 2 2 2 2 a x x 2 x 2 x m x n Vậy hàm số có các tiệm cận đứng là x 0; x 2; x m ; x n . 2 Câu 45. Cho parabol Py1 : x 6 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d: y a 0 a 6 . Xét parabol P2 đi qua hai điểm A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P1 và d ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P2 và trục hoành (tham khảo hình vẽ) 3 2 Nếu SS1 2 thì giá trị của biểu thức T a12 a 108 a bằng A. 218 . B. 219 . C. 216 . D. 217 . Lời giải Chọn C 2 x 6 Phương trình hoành độ giao điểm của P1 và trục hoành: x 6 0 x 6 Phương trình hoành độ giao điểm của P1 và đường thẳng d : x 6 a x2 6 a x 6 a Trang 26
14. 6 a 3 6 a 2 x 4 Diện tích S1 2 x 6 a dx 2 6 a x 6 a 6 a 0 3 3 0 2 * P2 có dạng: y mx a a Điểm A6;0 P 0 mam .6 2 6 a a Vậy y xa2 x 2 6 6 6 6 a 2 4 6a Diện tích S2 2. xdx 6 6 0 3 4 4 6a * Theo giả thiết, ta có: S S 6 a 6 a 1 2 3 3 6 a 3 6 a 2 a312 a 2 108 a 216 0 Vậy T a312 a 2 108 a 216 . Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4xx 2 1 1 2 2 x m có hai nghiệm phân biệt? A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn A 2 4xx 2 1 1 2 2 x m 2 x 1 2 2 x m x xx 2 2 m 4 2.2 1 2m 4x 4.2 x 1 (1) x xx 2m 4x 1 2 2 m 4 2.2 1 Đặt t 2x 0 , 2mt 2 4 t 1 1 (2) 2 2m t 1 * Đồ thị của hai hàm số yt 2 4 t 1 và y t 2 1 trên 0; 2 2 * Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị Pyt1 : 4 t 1 và P2 : y t 1 trên 0; là: ttt2 4 1 2 1 2 tt 2 4 2 0 ty 1 2 P1 tiếp xúc với P2 tại A 1; 2 * Phương trình 4xx 2 1 1 2 2 x m có hai nghiệm phân biệt 2 có hai nghiệm phân biệt Trang 27
15. 1 1 1 2m 1 m 2 2 2m 2 m 1 m 0;1  . Vậy có hai số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ymxm 2 1 3 2 sin x nghịch biến trên ? A. 1. B. 2 . C. Vô số. D. 3. Lời giải Chọn D ymxm 21 32 ym 2132cos m x . Hàm số ymxm 2 1 3 2 sin x nghịch biến trên y 0,  x 2m 1 3 m 2 cos xx  0, 1 Đặt t cos x 1 t 1 . 1 có dạng 2m 1 3 mt 2  0, t  1;1  1 2m 1 3 m 2 . 1 0 m 1 5 3 m . 2m 1 3 m 2 .1 0 5 m 3 Do m nguyên nên m 3; 2; 1 . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 48. Cho lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC a 3 . Góc ACB 30  , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ABC bằng 60 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC a 21 a 21 3a a 21 A. . B. . C. . B. . 2 4 4 8 Lời giải Chọn B Gọi M,, H I lần lượt là trung điểm của AA ,, AC AC . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ABC là đường thẳng AB và mặt phẳng BAB 60  . 3a AA BB tan BA B . AB . 2 Trang 28
16. 2 2 2 2 3a a 21 Tam giác AA C là tam giác vuông tại A A CA A AC a 3 2 2 Tam giác ABC vuông tại B và ACB 30  nên ta có AB a 3 sin ACB AB AC .sin 30  AC 2 BC3 a cos ACB BC AC .cos30  . AC 2 a 3 Tam giác ABC là tam giác vuông tại B HB HA HC . 2 Tam giác ABC là tam giác vuông tại IHA IHB IHC c g c IA IB IC 1 A C a 21 Tam giác AA' C là tam giác vuông tại A IC IA IA 2 2 4 a 21 Từ 1 , 2 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC , bán kính R IA . 4 Câu 49. Cho hàm số f x ax3 bx 2 cx d ( a,,, b c d là hằng số, a 0 ) và a d 4 a b 3 gx x xabdx 2021 a b 2 Biết đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Hỏi hàm số yf 1 xg2 1 x 2 có bao nhiêu cực trị? A. 2 . B.3. C. 0 . D.1. Lời giải Chọn D Xét hàm số: f x ax3 bx 2 cx d Ta có: fx 3 ax2 2 bxc Dựa vào đồ thị hàm số f x , ta có: f 0 d 4 ; fx mxx 2 , m 0 . m 3 a 2 2 2 mx x 2 3 ax 2 bx c mx 2 mx 3 ax 2 bx c b m c 0 m 8m fx x3 mx 2 4 , f 2 0 4 mm 4 0 3. 3 3 3 fxx 33 x 2 4; gx xx 4 3 2021 2 Trang 29
17. f x 3 x2 6 x ; g x 6 x3 3 x 2 x 2 y f 1 x2 g 1 x2 x 6 1 x2 6 6 x3 2 1 x Cho y 0 x 0 Kết luận: Hàm số y f 1 x2 g 1 x2 có 1cực trị. Câu 50. Có tất cả bao nhiêugiá trị nguyên của tham số để phương trình log3 log 3 x m x m có 1 nghiệm trên khoảng ;9 ? 3 A. 4 . B.5. C. 7 . D.6. Lời giải Chọn D 1 Xét phương trình log3 log 3 x m x m trên khoảng ;9 3 Điều kiện: log3 x m 0 m min log3 x 1 1 x ;9 3 x m Ta có: log3 log 3 x m x m log3 x m 3 x m log3 x x m log3 x x x m 3 log3 x 3 x m 3 Xét hàm số g x 3t t ; g x 3t ln 3 1 0, t g log3 xgxm log3 xxm log3 xxm 1 1 Xét hàm số f x log x x ; f x 1;f x 0 x 3 x ln 3 ln 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: m 6; 5; 4; 3; 2; 1 . Kết luận: Có tất cả 6 giá trị nguyên. ___ HẾT ___ Trang 30