Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 06 trang) I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm): 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx=3 −( m +14) x +− m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −3. 2. Cho xy, là hai số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: yy2+ 3 128 P= −2 −+( xy). xy2 +1 ( xy+ ) 729 3 Câu 2 (1,0 điểm): Giải phương trình 3x−+3 73 − x+−( xx 39 2 + 24 x + 7) .3xx−3 =+ 3 1. Câu 3 (3,0 điểm): 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2, a AD = 2. a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM ). 2. Cho hình lăng trụ ABCD. A′′′′ B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=6, AD = 3, A′ C = 3 và mặt phẳng ( ACC′′ A ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ACC′′ A ) 3 và ( ADD′′ A ) là α thỏa mãn tanα = . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD A′′′′ B C D 2 Câu 4 (1,0 điểm): Hai bạn Quý và Mão mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một tập con khác rỗng từ tập E = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Tính xác suất để mỗi bạn chọn được một tập con có 3 phần tử và trong hai tập con đó có ít nhất hai phần tử giống nhau. II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu 1: Tập xác định D của hàm số y=ln xx2 +− 2 3 là A. D =( −∞; − 3] ∪[ 1; + ∞) . B. D =( −∞; − 3) ∪( 1; + ∞) . C. D = . D. D = \{ − 3;1} . xx2 − 4 Câu 2: Gọi xx, là hai điểm cực trị của hàm số fx( ) = . Tích xx bằng 12 x +1 12 A. −5. B. −2. C. −1. D. −4. Câu 3: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un ) có công bội q khác 1. Biết SS63= 65 và u3 = −80. Số hạng u1 bằng A. 5. B. 4. C. −5. D. −4. x −1 Câu 4: Cho hàm số fx( ) = . Khẳng định nào dưới đây đúng ? x2 11 1 A. fx( )d. x=−++ C B. fx( )d x= ln x −+ C . ∫ xx2 ∫ x 11 1 C. fx( )d. x=−−+ C D. fx( )d x= ln x ++ C . ∫ xx2 ∫ x 2xx2 Câu 5: Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình (3− 22) ≥+( 3 22) là A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Trang 1/6
2. 4 Câu 6: Cho hàm số fx( ) có đạo hàm fx′( ) =−++( x315)( x)( x ) với mọi x ∈ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (−3;1) . B. (−∞; − 1.) C. (3;+∞) . D. (−1; 3) . 4 − x2 Câu 7: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là xx2 −−23 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 8: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm xác định và liên tục trên . Hàm số y= fx′( ) có đồ thị như hình vẽ: Số điểm cực đại của hàm số y= fx( ) là A. 3. B. 2. C. 5. D. 4. Câu 9: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh nữ và 3 học sinh nam thành một hàng ngang. Xác suất để không có học sinh nam nào đứng cạnh nhau bằng 5 5 5 1 A. . B. . C. . D. . 12 14 42 112 Câu 10: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= a , BC = 2 a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2. a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 21a 21a 57a 2 57a A. . B. . C. . D. . 7 7 19 19 Câu 11: Số nghiệm của phương trình ln( x2 − 4) .ln( xx + 2) .ln( += 3) 0 là A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 12: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30° . Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng 6a3 6a3 3a3 A. . B. 3a3. C. . D. . 18 3 3 Câu 13: Cho hàm số bậc bốn y= fx( ) có đồ thị hàm số y= fx′( ) như hình vẽ: Số điểm cực tiểu của hàm số y= fx( ) là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. 2sinx + 3 π Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn 0; bằng sinx + 1 2 5 A. 5. B. 2. C. 3. D. . 2 Trang 2/6
3. Câu 15: Cho đa giác đều (H ) có 16 đỉnh. Số tam giác vuông được tạo thành từ các đỉnh của hình (H ) bằng A. 112. B. 128. C. 3360. D. 560. Câu 16: Cho hàm số fx( ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số y= fx( 2 ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (−2;0) . B. (−1; 0) . C. (0;1) . D. (1; 2) . 3 = 3 Câu 17: Cho ab, là hai số thực dương thỏa mãn logab (ab) 3. Giá trị biểu thức log ab (ba) bằng 4 1 7 2 A. − . B. − . C. − . D. . 3 3 3 3 Câu 18: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′′′ B C có tất cả các cạnh bằng 2.a Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, α là góc giữa GA′ và mặt phẳng ( ABB′′ A ). Giá trị tanα bằng 15 3 1 A. . B. 3. C. . D. . 15 12 6 Câu 19: Cho mặt cầu (S ) có tâm I và bán kính R = 10. Một mặt phẳng (P) cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có AB=4, BC = 5, CA = 3. Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng 5 15 5 17 A. . B. . C. 4 6. D. 4. 2 2 Câu 20: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên tập và có đồ thị hàm số y= fx′( ) như hình vẽ: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= fxm( + 2 ) nghịch biến trên khoảng (−1; 0 ) là A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Câu 21: Cho tam giác ABC cân tại A có AB= a và ABC =30 ° . Cho tam giác ABC quay xung quanh đường thẳng AC ta được một khối tròn xoay (N ). Thể tích của khối (N ) bằng πa3 3πa3 πa3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 4 12 4 Câu 22: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình 22 9xx− 2.3+1 += 8 m có đúng hai nghiệm phân biệt bằng A. 9. B. 8. C. 3. D. 11. Câu 23: Cho hàm số fx( ) có fx′( ) =(4 x − 2) ln x với mọi x ∈(0; +∞) và f (1) = 2. Tích phân e fx( ) ∫ dx bằng 1 x A. 2e − 3. B. 2e − 2. C. 2e − 4. D. 2e − 1. Trang 3/6
4. Câu 24: Cho hàm số bậc ba y= ax32 + bx ++ cx d có đồ thị như hình vẽ: fx( + 2) Số nghiệm nguyên của bất phương trình ≤ 0 là fx( − 2) A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 25: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số fx( ) =4 x22 −++−+ 4 x 6 4 x x 1. Tích các nghiệm của phương trình fx( ) = M bằng A. 2. B. 4. C. −2. D. −4. 1 x2023 1 = b Câu 26: Cho ∫ 2025 dx .3 với ab, là các số nguyên, a và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. 0 ( x + 2) a Giá trị ab+ bằng A. 2024. B. 0. C. 2022. D. 2023. Câu 27: Cho hàm số bậc ba y= fx( ) và đường thẳng y= gx( ) có đồ thị như hình vẽ: Gọi AB, lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y= fx( ) và y= gx( ) với trục tung, biết đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình f( x) −=2 gx( ) bằng A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 28: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−20;20) để phương trình log25x+ log( mx −=) 3 có nghiệm thực là A. 11. B. 13. C. 12. D. 14. fx( ) ++ x1 Câu 29: Cho hàm số fx( ) thỏa mãn f (1) = ln 4 và fx′( ) = với mọi x > 0. Giá trị của x +1 f (3) bằng A.8ln 2. B. 4ln 2. C. 32ln 2. D. 16ln 2. Câu 30: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC ). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SAM ) các góc bằng 30° và 45° , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Thể tích của khối chóp S. ABC bằng a3 a3 a3 A. a3. B. . C. . D. . 2 3 6 Trang 4/6
5. π 4 π +∞ +≥ Câu 31: Số giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (1; ) để ∫ loga ( 1 tanxx) d là 0 16 A. 0. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 32: Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ: 3 Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y= fx( ) − mfx( ) nghịch biến trên khoảng (1; 3) là A. 9. B. 1. C. 3. D. 4. 5a Câu 33: Cho khối lăng trụ ABC. A′′′ B C có AB= a, BC = 3, a CA = . Biết AA′′′= AB = AC và cạnh 2 bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy ( ABC) một góc 60° . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 53a3 15 3a3 15 3a3 53a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 8 8 Câu 34: Cho hàm số bậc ba y= fx( ) có đồ thị như hình vẽ: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx( ) = f( fx( )) ++2 fx( ) m có 5 điểm cực trị là A. 3. B. 5. C. 0. D. 4. Câu 35. Cho tham số m > 1, biết đồ thị hàm số yx=43 + x −+1 m cắt đường thẳng y= xm + tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tanAOB = − 3 (với O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 6 63 39 9 A. m ∈1; . B. m ∈;. C. m ∈;. D. m ∈;2 . 5 52 25 5 Câu 36: Cho hàm số f( x) = ax4 + bx 32 +− x 3 với ab, là hai số nguyên dương và a < 4. Có bao nhiêu cặp số (ab; ) để hàm số fx( ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 ? A. 8. B. 23. C. 7. D. 10. Câu 37: Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ( CD< AB), cạnh bên SC= 5. a Tam giác SAD đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD). Gọi HK, lần lượt là trung điểm của cạnh AD và AB, khoảng cách từ B tới mặt phẳng 52a (SHC ) bằng . Bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm SBCK,,, bằng 2 5a 11 3a 5a 11 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 6 Trang 5/6
6. Câu 38: Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm liên tục trên và hàm số y= fx′( ) có đồ thị như hình vẽ. Biết fa( ) =1, fb( ) = 9. 2 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log33fx( ) − 2log fx( ) −= m 0 có 8 nghiệm phân biệt là A. (−1;1) . B. (1; 9) . C. (−1; 0) . D. (−3;1) . Câu 39: Cho hàm số fx( ) có đạo hàm cấp 3 trên và thỏa mãn f(1−= x) x 2023 − xf′′ ( x) với 1 mọi x ∈ . Tích phân ∫ xf′( x)d x bằng 0 2023 2023 A. − . B. . C. 1. D. 0. 2 2 Câu 40: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 ° . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi EFGHIK, , , ,, lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB,,,, BC CD DA SB và SC. Thể tích của khối đa diện IKEFGH bằng 9a3 3a3 15a3 5a3 A. . B. . C. . D. . 128 32 128 64 HẾT - Họ và tên thí sinh: SBD: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 6/6
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 D 11 C 21 A 31 B 2 D 12 D 22 B 32 C 3 C 13 D 23 B 33 C 4 D 14 D 24 B 34 A 5 C 15 A 25 A 35 A 6 D 16 C 26 A 36 C 7 B 17 B 27 B 37 B 8 A 18 A 28 C 38 C 9 B 19 A 29 A 39 A 10 D 20 A 30 D 40 B II. PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic. - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC. - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Hướng dẫn chấm tự luận Câu 1 (3,0 điểm): 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx=3 −( m +14) x +− m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −3. 2. Cho xy, là hai số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: yy2+ 3 128 P= −2 −+( xy). xy2 +1 ( xy+ ) 729 Ý Đáp án Điểm a) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x33−( m +1) x +− 4 m =⇔ 0 mx( + 1) = x −+ x 41( ) 0,25 Câu 1.1 Dễ có x = −1 không phải là nghiệm của phương trình (1). (1,5 điểm) Với x ≠−1. 3 xx−+4 (1.) ⇔=m 0,25 x +1 xx3 −+4 Xét hàm số fx( ) =, ∀x ∈( − 3; +∞) \{ − 1} . x +1 235xx32+− ′ = Ta có fx( ) 2 . 0,5 ( x +1) fx′( ) =⇔0 2 x32 + 3 x −=⇔ 5 0 x = 1. Trang 1/5
8. Bảng biến thiên: 0,5 Từ bảng biến thiên ta có các giá trị của tham số m cần tìm là m ∈(2;10) . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 2 xy+1132 3 2 .1( +y) = x +.1( + y) ≥+( xy) yy 2 1.2 xy2 +1 ( xy+ ) ⇔≥ 0,5 (1,5 điểm) y (1+ y3 ) yy1+ 3 ⇔≤2 . xy2 +1 ( xy+ ) 1++yy33 2 128 −1 128 Khi đó P≤22 − −+=−+( xy) 2 ( xy). 0,25 ( xy++) ( xy) 729 (xy+ ) 729 Đặt xytt+=,( > 0.) −1 128t Xét hàm số ft( ) = − , với t ∈(0; +∞) . t 2 729 0,25 2 128 9 f′′( t) = −;ft () = 0 ⇔= t . t3 729 4 Bảng biến thiên 0,5 16 Từ BBT ta có giá trị lớn nhất của P bằng − . 27 1 Dấu bằng xảy ra khi xy=; = 2. 4 Trang 2/5
9. 3 Câu 2 (1,0 điểm): Giải phương trình 3x−+3 73 − x+−( xx 39 2 + 24 x + 7) .3xx−3 =+ 3 1. Ý Đáp án Điểm 3 3x−+3 73 − x+−xx 39 2 + 24 x + 7 .3xx−3 =+ 3 1 ( ) −+3 − 3 − − − 0,25 ⇔3x3 73 x +−( xx3) .3 x3 − 3 .3 x 3 + 34.3 xx 3 =+ 3 1 3 Câu 2 ⇔3x−+3 73 − x +−( xx3)3 .3 x−3 − 3 .3 x − 3 + 34.3 xx − 3 −= 3 1 (1,0 điểm) 3 3 ⇔373−−xx +( xx − 3) − 3 += 733 3 3 0,25 ⇔373−−xx +−( 7 3xx) = 33 +−( 3) . ( 1) Xét hàm số ft( ) =+∈3t t3 , t . Ta có ft′( ) =3t ln 3 +> 3 t2 0, t ∈ nên hàm số ft( ) đồng biến trên 0,25 tập . = 3 32 x 2 (1) ⇔ 7 − 3x =−⇔ 3 xx − 9 x + 24 x − 20 =⇔ 0 . x = 5 0,25 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 5. Câu 3 (3,0 điểm): 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2, a AD = 2. a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM ). 2. Cho hình lăng trụ ABCD. A′′′′ B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=6, AD = 3, A′ C = 3 và mặt phẳng ( ACC′′ A ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ACC′′ A ) 3 và ( ADD′′ A ) là α thỏa mãn tanα = . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD A′′′′ B C D 2 Ý Đáp án Điểm 3.1 (1,5 điểm) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và CM. Vì M là trung điểm cạnh AD và AM BC nên A là trung điểm của đoạn BE. Dựng HF⊥ CE, HK ⊥ SF( F ∈∈ CE ,. K SF ) 0,25 44 Suy ra d( B,( SCM)) = d( H ,.( SCM)) = HK 33 Trang 3/5
10. Ta có SH=3, a BE = 4. a 0,25 CE= BC22 += BE2 a 2 + 16 a 2 = 3 2 a . Diện tích tam giác CHE là 3 31 31 32a2 S∆∆= S = . BC . BE= . . 2 a .4 a = . CHE4 BCE 42 42 2 0,5 32a2 2S 2. Suy ra HF =∆CHE =2 = a. CE 32a Xét tam giác SHF có 1 1 1 114 3a = + = += ⇒HK = . HK2 SH 2 HF 222233 a a a 2 0,5 4 4 4 3aa 23 Ta có d( B,( SCM)) = d( H ,( SCM)) = HK = = 3 3 32 3 ⊥ ∈ ⇒⊥ ′′ Từ D kẻ DK AC( K AC) DK( ACC A ). 0,25 Từ K kẻ KI⊥ AA′( I ∈⇒ AA ′) (( ACC ′′ A),.( ADD ′′ A)) = DIK AD. DC 6. 3 Dễ có AC= AD22 + CD =⇒=3 DK = =2. AC 3 3.2 Xét tam giác vuông DIK có (1,5 điểm) DK DK 2 22 0,25 tanDIK = tanα = ⇒=IK = = . IK tanα 3 3 2 CD2 6 Xét tam giác vuông ADC có CK. AC= CD2 ⇒= CK ==2. AC 3 Gọi J là trung điểm của AA′, do tam giác CAA′ cân tại C nên CJ⊥ AA′ suy ra IK CJ. 0,25 AK IK 1 Do đó = =⇒==CJ3 IK 2 2. AC CJ 3 2 ⇒=AA′ 2 AJ = 2 AC222 − CJ =−3( 2 2) = 2. Dựng A′ H⊥ AC, do ( ACC′′ A) ⊥ ( ABCD) nên A′ H⊥ ( ABCD). CJ. AA′ 22.242 0,25 Ta có AH′ = = = . AC 33 Trang 4/5
11. Diện tích đáy ABCD là SABCD = AB. AD = 6. 3 = 3 2. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A′′′′ B C D là 0,5 42 V′′′′= S. AH′ = 3 2. = 8 (đvtt). ABCD. A B C D ABCD 3 Câu 4 (1,0 điểm): Hai bạn Quý và Mão mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một tập con khác rỗng từ tập E = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Tính xác suất để mỗi bạn chọn được một tập con có 3 phần tử và trong hai tập con đó có ít nhất hai phần tử giống nhau. Ý Đáp án Điểm Số tập con khác rỗng của tập E là CC12+ + + C 99 = 2 −= 1 511. 99 9 0,25 Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω= ) 5112 = 261121. Gọi biến cố A: “Mỗi bạn chọn được một tập con có 3 phần tử trong đó có nhiều nhất hai phần tử giống nhau”. TH1: Hai bạn chọn được một tập con có 3 phần tử trong đó có đúng 2 phần tử giống nhau. 2 0,25 - Chọn 2 phần tử giống nhau có C9 (cách). 4 - Bạn Quý chọn 1 phần tử còn lại có 7 (cách). (1,0 điểm) - Bạn Mão chọn 1 phần tử còn lại có 6 (cách). 2 ⇒ Có C9 .7.6= 1512 (cách). TH2: Hai bạn chọn được một tập con có cả 3 phần tử giống nhau. 3 0,25 ⇒ Có C9 = 84 (cách). nA( ) 1512+ 84 228 Xác suất của biến cố A là PA()= = = . n(Ω ) 261121 37303 0,25 HẾT Trang 5/5