Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Bình Phước (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Bình Phước (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÌNH PHƯỚC CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/11/2023 Câu 1. (4,0 điểm) 1 a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yxmxmx=−+++32(23)2023 đồng biến 3 trên . b) Cho hàm số y= f() x có đạo hàm f'( x )=− x ( x2 4) . Tìm các điểm cực trị của hàm số g( x )= f ( x2 − x ) + 2024. Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực dương xy, thoả mãn: 22 log(1697)log(82023)2.82023247xyxy++xyxy++++= Tính giá trị của biểu thức P x=+ y 2.22 Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số thực dương x,, y z thoả mãn điều kiện x y222 z+ + = 1. Tìm giá trị nhỏ 112 nhất của biểu thức P =++ . xxyyxy22++1+ z 22 yxyxxy−+−=++−+2(2 )3532 ( ) Câu 4. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình xyxy−+=24829. −++ u1 = 3 Câu 5. (2,0 điểm) Cho dãy số ()un xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số uunnn+1 =− 22,1 * ()vn với vunnn=− 24, là một cấp số nhân và tìm công bội của cấp số nhân đó. Câu 6. (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số này được lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau. Câu 7. (4,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Biết SOa= 2, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ()ABCD bằng 450 . a) Tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a. SAAK+ b) Gọi K là điểm di động trong mặt phẳng (ABCD ). Tìm SAK để biểu thức T = đạt SK giá trị lớn nhất. Câu 8. (2,0 điểm) Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 4 5. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy theo hai dây cung song song MN,'' M N thoả mãn MN==8, M ' N ' 4. Biết rằng tứ giác MNN'' M có diện tích bằng 54. Tính thể tích khối trụ đã cho. HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2023 - 2024 MÔN THI: TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu 1a Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 yxmxmx=−+++32(23)2023 đồng biến trên . 3 2.0 Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi yxmxmx'2230,=−++  2 yxmxmx'2230,=−++  2 =−− '23013.mmm2 − Vậy −13 m . Câu 1b Cho hàm số y f= x () có đạo hàm f x' x( ) x ( 4=− ) 2 . Tìm các điểm cực 2.0 trị của hàm số gxfxx()()2024.=−+ 2 Ta có fxxxx'()(2)(2)=−+ gxxfxx'()(21)'()=−− 2 =−−−−−+g'( xxxxxxxx )(21)()(2)(2) 222 =−−+−−+(21)xx (1)(1)(2)(2) xxxxx 2 1 x = 2 x = 0 gx'()0 = x =−1 x =1 x = 2. Bảng xét dấu x 1 − −1 0 1 2 + 2 gx'( ) − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + Kết luận: Hàm số gx() có 5 điểm cực trị là 1 x= −1, x = 0, x = , x = 1, x = 2. 2
3. Câu 2 Cho các số thực dương xy, thoả mãn 2.0 22 log(1697)log(82023)2.82023247xyxy++xyxy++++= Tính giá trị của biểu thức P x=+ y 2.22 16977xy22++ Nhận xét: Với  xy,0 ta có 820232023xy + 2477.xy + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1697216.97247xyxyxy2222++ +=+ 22 ++ +log(1697)log(247)8202382023xyxy++xyxy ++++log(1697)log(82023)xyxy22 82023247xyxy++ +++log(247)log(82023)82023247xyxy++xyxy Theo bất đẳng thức Cauchy ta có log(247)log(82023)82023247xyxy++xyxy+++ ++=2 log(247)82023247xyxy++ log(82023)2.xyxy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 169xy22= log(247)log(82023)182023247xyxy++xyxy+=+= 2 189 169169xyxy2222== x = 2 24782023126xyxyxy+=+= 2 y =168. Vậy Pxy=+=2357.22 Câu 3 Cho các số thực dương x,, y z thoả mãn điều kiện xyz222++= 1. 2.0 112 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =++ . xxyyxy22++1+ z Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 2 + 22 x++ xy y xy 4 ( x22++ xy)( y xy) 2 x22+ xy + y + xy 2 2 = xy+ 2
4. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có 222 = xy+ xyz222+−1 2 22 Khi đó P +. 1− z2 1+ z 22 Xét hàm số fzz(),(0;1)=+ 1− z2 1+ z 22z fz'() =−2 (1)1−−zz22(1)+ z 2121(1)1zzzzz++−−−( ) = (1)(1)1−+−zzz 22 2(331)zzz32−+− fz'( ) = (1)(1)121(1)−+−+zzzz +−− zzz22 1 ( ) 2(31)(1)zz−+2 = (1)(1)121(1)−+−+zzzz +−− zzz22 1 ( ) 1 fzz'()0.= = 3 Ta có bảng biến thiên
5. 192 Suy ra Pfzf =(). 34 Các dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 z = 2 3 xy== 3 xy= 1 xyz222++= 1 z = . 3 2 xy== 92 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 4 1 z = . 3 Câu 4 22 yxyxxy−+−=++−+2(2)3532,(1) ( ) Giải hệ phương trình 2.0 xyxy−+=24829,(2) −++ x 2 Điều kiện: y 0. (1(1)5) ++++yyxx (1) 1(2)522 =++++ (2) 1 2 Xét hàm số f( t )= t + 5 t + 1 với t 0 . 5 Ta có fttt'( )20,0.=+  21t + Do đó hàm số ft() đồng biến trên khoảng ( 0 ; )+ . Mà f(1)(2)121. yf+=+ + xyxyx =+ =+ Thế yx=+1 vào (2) ta được: x−2 + 4 x + 1 = − 7 x + 30 ( x −2 − 1) + 4( x + 1 − 2) + 7( x − 3) = 0 xx−−33 +4. + 7(x − 3) = 0 xx−2 + 1 + 1 + 2 14 (x − 3) + + 7 = 0 xx−2 + 1 + 1 + 2 = =xy34. 14 Vì + +7 0, x 2. xx−2 + 1 + 1 + 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (;)xy là (3;4) . Câu 5 u = 3 ()u 1 Cho dãy số n xác định bởi . Chứng minh rằng 2.0 unn+1 =2 u − 2,  n 1
6. * dãy số ()vn với vunnn=− 24, là một cấp số nhân và tìm công bội của cấp số nhân đó. Ta có vuuunnnn++11=−=−−=−242(22)448. Khi đó vu48− nn+1 = vunn24− 2(24)u − = n 24un − = 2,. n * Suy ra ()vn là cấp số nhân với công bội q = 2. Câu 6 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và các 2.0 chữ số này được lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau. 5 Không gian mẫu nA( )= . 9 Biến cố A : “Số được chọn từ tập S là số chẵn trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau” Xét ba trường hợp (kí hiệu l là chữ số lẻ, c là chữ số chẵn) 23 - TH1: Số có dạng lcclc , có AA54 (cách). - TH2: Số có dạng lclcc , có (cách). - TH3: Số có dạng clclc , có (cách). 23 Suy ra nAAA()3 =54 (cách). Xác suất của biến cố A là 23 nA()2 3 AA54 PA()=== 5 . nA()21 9 Câu 7a Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. có O là giao điểm của AC và BD. 2.0 Biết SO= a 2, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ()ABCD bằng 450 . a) Tính thể tích khối chóp SABCD. theo a.
7. Ta có S O A⊥ B() C D (SA,( ABCD )) = SAO = 450 Tam giác SAO vuông cân tại O == =AOSOaACa 222 Ta có ADDCACADaADa22222+= = = 282 Suy ra thể tích khối chóp S ABCD. là 1142 a3 VSOSaa=== 2(2) 2 (đvtt) S. ABCDABCD333 Câu 7b b) Gọi K là điểm di động trong mặt phẳng ().ABCD Tìm SAK để biểu 2.0 SAAK+ thức T = đạt giá trị lớn nhất. SK Áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác SAK , ta có: KSKSKS+ − − 2sin cos cos SA++ AKsin K sin S T = = =2 2 = 2 AAA SKsin A 2sin cos sin 2 2 2 KS− cos 1 Ta có: T = 2 . A SAK sin sin 2 2 Dấu bằng xảy ra khi SK= , hay tam giác SAK cân tại A . Ta có (SA,( ABCD )) == SAO 450
8. SAO SAK và 00 SAO SAK 180 0 0 0 90 0 . 22 SAK 11 0sin22,5sin( 0 ) 2 SAK sin22,5 0 sin ( ) 2 Dấu “=” xảy ra khi SA O SA= K 11 Do đó: T . SAK sin22,5 0 sin ( ) 2 1 Vậy T = khi K nằm trên đường thẳng AO sao cho AK SA= . max s i n 2( 2 ,5 0 ) Lúc này S A K = 4 50 . Câu 8 Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 4 5. Một mặt phẳng không 2.0 vuông góc với đáy và cắt hai đáy theo hai dây cung song song M N M, ' ' N thoả mãn MNMN==8,''4. Biết rằng tứ giác MNN M'' có diện tích bằng 54. Tính thể tích khối trụ đã cho. Gọi IK, lần lượt là trung điểm của MN'' và MN . Ta có: 4 điểm OOIK', , , đồng phẳng.
9. Gọi J là giao điểm của OO ' và IK . Khi đó IK là đường cao của hình thang MNN'' M . Khi đó diện tích hình thang là ('')(84)MNMNIKIK++ SIK = = = 549 MNN'' M 22 Mặt khác 2 OIOMMI''''2524=−=−= 222 ( ) 2 OKOMMK=−=−= 222 (2542) OKJOJK 1 Ta có OIOK' === OIJOJI''2 Khi đó 1 JKIK==3 3 =−=OJJKOK 225 ==OO'335OJ 2 Vậy thể tích khối trụ là V ==3525605 ( ) (đvtt).