Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI THCS C ẤP T ỈNH TỈNH KHÁNH HÒA NĂM H ỌC: 2016 – 2017 MÔN: TOÁN 8 Ngày thi: 11 – 4 – 2017 Th ời gian: 150 phút (không k ể th ời gian phát đề ) Bài 1. (4 điểm) a2+ 7b 2 + 6c 2 + 3 a) Tìm 3 s ố d ươ ng a, b, c th ỏa mãn = = và a2+ 2c 2 = 3c 2 + 19 . 4 5 6 b) Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức P=+ x4 2x 3 + 3x 2 ++ 2x 1 Bài 2. (3 điểm) Để tham gia ngày ch ạy Olympic vì s ức kh ỏe toàn dân, tr ường A đã nh ận được một s ố chi ếc áo và chia đều cho các l ớp. Bi ết r ằng theo thứ t ự, l ớp th ứ nh ất nh ận được 4 áo và 1 s ố áo còn l ại, r ồi đến l ớp th ứ n (n = 2; 3; 4; ) nh ận được 4n áo và 1 s ố áo còn 9 9 lại. C ứ nh ư th ế các l ớp đã nh ận h ết s ố áo. Hỏi tr ường A đã nh ận được bao nhiêu chi ếc áo? Bài 3. (3 điểm) Tìm t ất c ả các s ố nguyên d ươ ng n để (1+ n2017 + n 2018 ) là s ố nguyên t ố. Bài 4. (3 điểm) Một gi ải bóng chuy ền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn m ột l ượt (hai đội bất kì ch ỉ thi đấu v ới nhau m ột tr ận). Bi ết đội th ứ nh ất th ắng a 1 tr ận và thua b 1 tr ận, đội th ứ hai th ắng a 2 tr ận và thua b 2 tr ận, , đội th ứ 9 th ắng a 9 tr ận và thua b 9 tr ận. 222++++=++++ 2222 2 Ch ứng minh r ằng aaa123 abbb 9123 b 9 . Bài 5. (5 điểm) Cho đoạn th ẳng AB dài a (cm). L ấy điểm C b ất kì thu ộc đoạn th ẳng AB (C khác A và B). V ẽ tia Cx vuông góc v ới AB. Trên tia Cx l ấy hai điểm D và E sao cho CD = CA và CE = CB. a) Ch ứng minh AE vuông góc v ới BD. b) Gọi M và N l ần l ượt là trung điểm AE và BD. Tìm v ị trí c ủa điểm C trên đoạn th ẳng AB để đa giác CMEDN có di ện tích l ớn nh ất. c) G ọi I là trung điểm c ủa MN. Ch ứng minh r ằng kho ảng cách t ừ I đến AB không ph ụ thu ộc vào v ị trí c ủa điểm C. Bài 6. (2 điểm) Hình vuông có 3x3 ô (nh ư hình bên) ch ứa 9 s ố mà t ổng các s ố ở mỗi hàng, m ỗi c ột và m ỗi đường chéo đều b ằng nhau g ọi là hình vuông kì di ệu. Ch ứng minh r ằng s ố ở tâm (x) c ủa m ột hình vuông kì di ệu x bằng trung bình c ộng c ủa hai s ố còn l ại cùng hàng, ho ặc cùng c ột, ho ặc cùng đường chéo.
2. GỢI Ý GI ẢI: Bài 1. a) Từ gi ả thi ết a222+ 2c = 3b + 19⇒ a 222+ 2c − 3b = 19 a222+ 7 b + 6 c + 3 3b 2 + 18 2c 2222 + 6 a +++−− 7 2c 6 3b 18 14 Ta có === == 14 4 5 6 15 12 4+ 12 − 15 1 Suy ra: a2 = 49⇒ a= 7 b2 = 64⇒ b= 8 c2 = 81⇒ c= 9 2 b) Px=++++=+432 2x 3x 2x1( x 42 2x ++ 1) ( 2x 3 ++=++ 2x) x 22( x 1) 2xx( 22 ++ 1) x 2 =(x2 + x + 1 ) 113  12 33 3  2 9 Vì xx1x2x2++= 2 + ++=+  x +≥ nên P ≥  = 244  2 44 4  16 1 Dấu “=” x ảy ra khi và ch ỉ khi x = − . 2 Bài 2. Gọi s ố l ớp c ủa tr ường A được nh ận áo là x. Vì l ớp th ứ x nh ận áo cu ối cùng và s ố áo được phát h ết nên s ố áo l ớp th ứ x nh ận được là 4x. 1 Lớp th ứ x – 1 nh ận s ố áo là 4x()−+ 1 .4x = 4,5x − 4 . 8 Vì s ố áo các l ớp nh ận được nh ư nhau nên ta có ph ươ ng trình 4,5x−= 4 4x ⇔ x = 8 . ⇒ S ố áo m ỗi l ớp nh ận được: 4.8 = 32 (áo) Suy ra s ố áo tr ường A nh ận được: 32.8 = 256 (áo). Bài 3. Đặt A1n= +2017 + n 2018 . Với n = 1 thì A = 3 là s ố nguyên t ố. Với n > 1, ta có 1n+2017 + n 2018 =( n 2018 −+ n 2) ( n 2017 −+++ nnn1) ( 2 ) =nn2( 2016 −+ 1nn) ( 2016 −+++= 1) ( nn1 2) ( n 2016 − 1nn)( 2 ++++) ( nn1 2 ) 672 671 670 Ta l ại có n2016−= 1n( 3) − 1=n1n( 3 −) ( 3) +( n 3) +++ n1n1 3  ⋮ ( 3 − )   ⇒ (n2016− 1n)⋮( 2 + n1 + ) . Suy ra An⋮( 2 + n1 + ) , mà 1< n2 + n1 +< A nên A là h ợp s ố. Vậy n = 1 là s ố nguyên d ươ ng duy nh ất th ỏa điều ki ện bài toán. Bài 4. Mỗi đội bóng l ần l ượt thi đấu v ới 8 đội bóng khác và hai đội b ất kì ch ỉ g ặp nhau 1 tr ận nên m ỗi đội s ẽ thi đấu 8 tr ận ⇒ a i + b i = 8 (v ới i = 1, 2, 3, , 8). Đẳng th ức c ần ch ứng minh t ươ ng đươ ng v ới: 222++++=− 2 ()()()()2 +− 2 +− 2 ++− 2 aaa12391 a8a 8a 2 8a 3 8a 9 ⇔( ++++ ) = 16 a123 a a a 9 576 (1) Mặt khác, tổng s ố tr ận th ắng c ủa các đội b ằng t ổng s ố tr ận đấu nên: 9.8 aaa++++= a = 36 (2) 123 9 2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Bài 5.
3. x E M H D N A B C a) Gọi H là giao điểm c ủa BD và AE. ∆ACE = ∆DCB (c-g-c) ⇒ E= B Suy ra ∆DHE ∼ ∆DCB (g-g) ⇒ DHE= CDB = 90 0 111 1 1 b) Ta có S=+=+= S S S S AC.CE + CB.CD = AC.CB CMEDN CME CDN224 ACE BCD 4 2 2 ()AC+ CB a 2 Mặt khác, theo b đt AM – GM ta có: AC.CB ≤ = 4 4 a 2 Suy ra S ≤ . D ấu “=” x ảy ra khi và ch ỉ khi AC = CB hay C là trung điểm AB. CMEDN 8 c) x E M I D N A B M' C J N' Gọi J, M’, N’ l ần l ượt là hình chi ếu vuông góc c ủa I, M, N lên AB. MM'+ NN' Ta có IJ là đường trung bình c ủa hình thang MNN’M’ nên IJ = (1) 2 Ta l ại có MM’ là đường trung bình c ủa ∆ACE và NN’ là đường trung bình c ủa ∆BCD nên CE CB CD AC MM' = = và NN' = = (2) 2 2 2 2 AC+ CB AB a Từ (1) và (2) suy ra IJ =2 2 = = . 2 4 4 Vậy kho ảng cách c ủa điểm I đến đoạn AB không ph ụ thu ộc v ị trí c ủa điểm C. Bài 6. Gi ả s ử hình vuông kì di ệu điền các s ố a, b, c, d, e, f, g, h, i nh ư hình v ẽ. Đặt S = a + b + c + d + e + f + g + h + i.
4. a b c d e f g h i S Suy ra def++=++=++=++= behaeiceg (1) 3 4S Suy ra ()()()()def++ + beh ++ + aei +++++ ceg = 3 4S ⇒ ()()()()def++ + beh ++ + aei +++++ ceg = 3 4S S ⇒ S+ 3e = ⇒ e = (2) 3 9 2S Từ (1) và (2) ⇒ dfbhaicg+=+=+=+= = 2e . đpcm 9