Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Lạng Sơn

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 THCS - Sở giáo dục và đào tạo Lạng Sơn

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN - Lớp: 9 THCS ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 18 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm.) Cho biểu thức √ √ √ √  2 1 1 a3 + b a + a b + b3 A = √ + + : √ √ , với a > 0, b > 0 ab a b a3b + ab3 a) Rút gọn biểu thức A b) Biết ab = 81, tim a, b để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình x2 + mx + m − 3 = 0, với m là tham số. a) Chứng minh rằng luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn 1 1 2 2 + 2 = x1 x2 3 Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn: a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + ≥ 2 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1 b) Cho hình chữ nhật co độ dài hai cạnh là 2 và 4. Đặt vào bên trong hình chữ nhật đó 17 điểm phân biệt, bất kì. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất ba điểm trong số 17 điểm đó, tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 1. Bài 4: (6 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có Aˆ = Db = 90◦, tia phân giác trong của góc C đi qua trung điểm O của AD. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (O; OA ) tại một điểm E. b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a. c) Qua C, vẽ cát tuyến CD, 1 nằm giữa C và J, với đường tròn (O; OA). Vẽ dây cung DK song song với L. Xác định vị trí của điểm J để ∆CKJ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (2 điểm) a) Tim các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy2 + 2xy + x − 16y − 32 = 0 b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 98z2 = 111 1, ( có 666 chữ số 1) HẾT Biên soạn: Long Nguyễn