Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Trường THPT Bắc Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Trường THPT Bắc Sơn (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT BẮC SƠN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 12 THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu) Câu 1: (6,0 điểm). a. Cho hàm số y=−−+ x32 mx( 4m + 9) x + 5, với m là tham số. Có bao giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=++++ x43 4mx 3( m 1) x 2 1 có cực tiểu mà không có cực đại. c. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y= x2 + 2x +− m 4 trên đoạn [−2;1] bằng 4 . Câu 2: (4,0 điểm) x+ x22 += 1 y + y − 1 (1) a. Giải hệ PT sau trên tập số thực:  22 x+−= y xy 1 (2) tan2 x+ tan x 2 π b. Giải phương trình sau trên tập số thực: =sin x + . tan2 x+ 1 2 4 Câu 3: (2,0 điểm). Từ các số của tập A= { 0,1,2,3, 4,5,6} a. Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. b. Lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau. Câu 4. (6,0 điểm) a. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥ ( ABC) . Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 300 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC b. Cho khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= a, BC = 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng (BCB'C')và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' . Câu 5: (2,0 điểm). Một đội công nhân xây dựng phải xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng của đáy bằng 4. Biết rằng bể nước chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Tính chiều dài của đáy để người thợ xây tốn ít nguyên vật liệu nhất. Hết
2. TRƯỜNG THPT BẮC SƠN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 12 THPT ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM. (Đáp án gồm 04 trang) Câu Đáp án Thang điểm Ta có: +) TXĐ: D = +) y'=−− 3x2 2mx ++ 4m 9 . 0,5 Hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞) khi y '≤ 0, ∀ x ∈( −∞ ; +∞) 1a. a=−< 30 ⇔  0,5 ∆=2 + + ≤  ' m 3( 4m 9) 0 ⇔m ∈−[ 9; − 3] ⇒ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 1,0 Ta có: y′ =+ 4x32 12mx ++ 6( m 1) x . + TH1: m1= − , ta có: y′ =−= 4x3 12x 22 4x (x − 3) . Bảng xét dấu 1,0 Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất. 1b. x0= ′ = ⇔ Ta có: y0  2 2x+ 6mx + 3m += 3 0(*) + TH2: m1≠− Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) không có hai nghiệm phân biệt 2 17−+ 17 ⇔(3m) − 2( 3m + 3) ≤⇔ 0 ≤m ≤ . 33 1,0 1−+ 71 7 Vậy m∈ ;∪−{ 1.} 33 f( x) = x2 + 2x +− m 4 có f′( x) = 2x + 2, fx′( ) =⇔=− 0 x 1. Do đó max x2 + 2x +−= m 4 max{ m − 1 ; m − 4 ; m − 5} . [−2;1] 1c. 1,0 Ta thấy m5−<−<− m4 m1 với mọi m∈ , suy ra max y chỉ có [−2;1] thể là m5− hoặc m1− .
3. m5 −= 4 Nếu max y= m − 5 thì  ⇔=m1. −2;1 [ ]  m5−≥ m1 − m1 −= 4 Nếu max y= m − 1 thì  ⇔=m5. [−2;1]  m1−≥ m5 − 1,0 Vậy m∈{ 1; 5} . ĐK: y1≥ . (1)⇔ x − y = y22 −− 1 x + 1 ⇒x2 − 2xy + y 22 = y −+ 1 x 2 +− 1 2 ( y 2 − 1)(x 2 + 1) 0,5 2 2 22 22 2 2 2 2 ⇔xy = ( y − 1)(x +⇒ 1) x y = x y +−−⇔−=− y x 1 x y 1 Kết hợp với (2) ta được 2a. x22−=− y 1 x0= 0,5  ⇒2x2 −=⇔ xy 0 22  x+−= y xy 1 y= 2x x0=⇒ y2 =⇔=± 1 y 1 0,5 11 2 y= 2x ⇒ 3x22 =⇔ 1 x =⇔=±⇒=± x y 3 33 12 Thử lại ta có x= 0, y = 1 và x= ,y = thỏa mãn hệ pt Vậy hệ 0,5 33 có 2 nghiệm như trên π Điều kiện: cosx≠⇔≠ 0 xk +π (*) 2 22 Phương trình đã cho tương đương với: 2cosxx (tan+=+ tan x ) sin x cos x 0,5 ⇔2sin2 x + 2sin xxxx .cos =+⇔ sin cos 2sin xxx (sin + cos ) =+ sin xx cos ⇔(sinxx + cos )(2sin x −= 1) 0 2b. 0,5 π Với sinxx+ cos = 0 ⇔ tan x =−⇔ 1 x =−+ kπ 4 15ππ 0,5 Với 2sinx−= 1 0 ⇔ sin x = ⇔ x = + kx2ππ ; = + k2 26 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 0,5 ππ5 π x=−+ kxππ; =+ k 2; x = + k 2 π ( k ∈ ) 46 6 a. Gọi số cần lập x= abcd , a, b,c,d∈≠{ 0,1,2,3, 4,5,6} ;a 0 3 Chọn d: có 3 cách; chọn a có 5 cách; chọn b, c có 5.4 cách 1,0 Vậy có 300 số. b. Gọi Y= ( ab; ) , trong đó a,b là các số lẻ từ {1;3;5} , số cách chọn Y 2 và các phần tử trong Y là C3 .2! 0,5 Giả sử số cần tìm thỏa mãn đề bài có dạng X= Ycd e và các hoán vị. Khi đó có các trường hợp sau xảy ra:
4. 23 TH1: Số có dạng Ycd e có CA34.2!. cách chọn. 22 TH2: Số có dạng cYd e có 3.CA33 .2! cách chọn. 2 0,5 TH3: Số có dạng cedY có 3.3.C3 .2!2 cách chọn. 232 Vậy có tất cả CA343.2.( + 3A += 18) 360 số 0,5 4a. Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp ()SBC và mp ()ABC là SIA = 300 . 0,5 H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra 0,5 d() A,() SBC= AH = a . AH = = Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI0 2a . sin 30 Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao 3 4a suy ra 2a= x ⇒= x . 2 3 0,5 2 4a 3 4a2 3 Diện tích tam giác đều ABC là S.ABC = = . 0,5 3 43 2a Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra SA= AI.tan 300 = . 3 1 1 4a23 3 2a 8a Vậy VS.ABC= .S ABC .SA = . . = . 0,5 3 333 9 4b. 0,5 Ta có AC= a 3 . Từ H kẻ HIvuông góc với BC . 0,5
5. HI HC AB.HC a 3 Ta có ∆∆HIC BAC nên = ⇒=HI = . AB BC BC 4 Gọi K là trung điểm của A’C’ . từ K kẻ KM vuông góc với B’C’ . a3 0,5 Tứ giác KMIH là hình bình hành nên KM= IH = . 4 Gọi N là điểm trên B’C’ sao cho M là trung điểm của C’N a3 0,5 ⇒=A ' N 2KM =. 2 Do A 'H⊥ ( ABC) nên (A ' NIH) ⊥ ( ABC) . Mà A ' N> HI nên HIN là góc tù. Suy ra HIN =⇒= 12000 A ' NI 60 . 0,5 Gọi H’ là hình chiếu của I lên A’N suy ra H’ là trung điểm của A’N . 0 3a ⇒==A'H IH' NH'.tan60 =. 4 3a a23 3 3 3a 0,5 ⇒=V A ' H.S = . = . ABC 42 8 Gọi chiều cao của bể là h(m), chiều rộng và chiều dài của đáy là y (m) và x (m).  32 12 12 h= 4. ⇔ h = ⇔= h h= 4y  xh x x Theo đề ra ta có: ⇒ (*) 5 xyh= 3  13 0,5 yh= =  4 2x + Người thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất khi tổng diện tích các mặt bên và đáy là nhỏ nhất, hay S=++ 2xh 2hy xy đạt giá trị nhỏ nhất. 12 3 3 6 9 3 + Từ (*), ta có: S= 2 12 x + 2 +=+x x x2 x 2 x2 0,5 + Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si), ta được: 22 6 93 93 693  93 27 S=++≥ x x 333 x = 36  = 0,5 x 4 4 x4  4 2 6 93 4 Dấu “=” xảy ra khi: =xx ⇔= 0,5 x4 3